Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 11: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TỐN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
XI. Dạng 11: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương trình
A. Bài tốn
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện 
tích khơng đổi; ngồi ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình 
vuơng. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất 
 1 1
bán được 8 trứng và số trứng cịn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và số trứng cịn lại. 
 8 8
 1
Ngày thứ ba bán được 24 trứng và số trứng cịn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán 
 8
hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đĩ bán được là 
bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ?
Bài 3: Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đĩ đi nhanh hơn 
mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đĩ đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B 
muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vuơng cĩ số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng 
ba lần số đo chu vi.
Bài 5: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa.Sau đĩ 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hịa 
về Sài Gịn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc 
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của An 
 3
bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường
 4
Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB, tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
Bài 7: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa .Sau đĩ 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hịa về Sài Gịn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
Bài 8: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả 
cụ thể được ghi trong bằng sau, trong đĩ cĩ ba ơ bị mờ ở chữ số hàng đơn vị khơng đọc được (tại vị 
trí đánh dấu *).
 Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
 Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ơ đĩ.
Bài 9: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa .Sau đĩ 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hịa về Sài Gịn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
Bài 10: Một ơ tơ dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ơ tơ đi 
với vận tốc đĩ, khi cịn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm 
vận tốc 10km/h trên quãng đường cịn lại. Do đĩ ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính 
quãng đường AB. 
Bài 11: Cho tam giác vuơng cĩ độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số 
đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đĩ.
Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bĩng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 
26 – 3 . Biết rằng cĩ n đội tham gia thi đấu vịng trịn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng 
một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng được điểm nào. Kết thúc 
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hịa và tổng số điểm của các đội là 
336. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đội bĩng tham gia?
B. Lời giải
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện 
tích khơng đổi; ngồi ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình 
vuơng. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
 Lời giải
 Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x 1; y 4
 )
 Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích khơng đổi nên ta cĩ pt
 x 1 . y 2 xy (1)
 Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuơng nên ta 
 cĩ pt
 x 3 y 4 x y 7 (2)
 Thế (2) vào (1) ta cĩ:
 y 8 . y 2 y. y 7 
 y 16 ; x 9
 Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 )
Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất 
 1 1
bán được 8 trứng và số trứng cịn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và số trứng cịn lại. 
 8 8
 1
Ngày thứ ba bán được 24 trứng và số trứng cịn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán 
 8
hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đĩ bán được là 
bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ?
 Lời giải Gọi x là số trứng bán được x N, x 8 , thì:
 x 8
 Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 
 8
 x 8 
 x 16 8 
 8
 Số trứng bán được trong ngày thứ hai là : 16 
 8
 Theo bài ra ta cĩ phương trình :
 x 8 
 x 16 8 
 x 8 8
 8 16 
 8 8
 Giải phương trình ta được: x = 392.
 Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng
 392 8
 Số trứng bán được mỗi ngày là 8 56 
 8
 Số ngày là 392 : 56 = 7 ngày.
Bài 3: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đĩ đi nhanh hơn mỗi 
giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đĩ đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B 
muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
 Lời giải
Đổi 36 phút 0,6h ; 54 phút 0,9h 
Gọi vận tốc dự định là: v(km / h)(v 0) 
Gọi thời gian dự định là: t(h)(t 0) 
Nếu người đĩ đi thêm đc 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km / h) 
Khi đĩ người đĩ đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đĩ đi là: (t 0,6)(h) 
Vì quãng đường AB khơng đổi nên ta cĩ phương trình là: (v 10)(t 0,6) v.t (1) 
Nếu người đĩ đi chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km / h) 
Khi đĩ người đĩ đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đĩ đi là: (t 0,9)(h) 
Vì quãng đường AB khơng đổi nên ta cĩ phương trình là:
 (v 10)(t 0,9) v.t (2) 
 (v 10)(t 0,6) v.t
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình: 
 (v 10)(t 0,9) v.t
 vt 10t 0,6v 6 v.t
 vt 10t 0,9v 9 v.t
 10t 0,6v 6
 10t 0,9v 9
 t 3,6
 v 50
Vậy quãng đường AB là: 50.3,6 180(km) 
Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vuơng cĩ số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng 
ba lần số đo chu vi.
 Lời giải
Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh gĩc vuơng của vuơng.
 Khi đĩ: a, b, c N và a 5; b, c 3 a 2 b2 c2 (1)
 Ta cĩ hệ phương trình: 
 bc 3(a b c) (2)
 (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)
 a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9
 (a + 3)2 = (b + c – 3)2
 a + 3 = b + c – 3
 a = b + c – 6
 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
 (b – 6)(c – 6) = 18
 Nên ta cĩ các trường hợp sau:
 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15
Bài 5: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa.Sau đĩ 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hịa 
về Sài Gịn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc 
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của An 
 3
bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường
 4
 Lời giải
Gọi x, y, z là vận tốc của An, Bình, Cường
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường.Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta cĩ hệ phương 
trình
 S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình là 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc 
 DB, tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10km / h ; vận tốc xuống 
dốc (cả đi lẫn về) là 20km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15km / h .
 Lời giải C s2 D
 s3
 s1
 A B
 AB=30 km
Gọi AC s1;CD s2 ; BD s3s1 0;s2 0;s3 0
Ta cĩ: s1 s2 s3 30 km .
Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là v1;v2 ;v3 .
 53
Thời gian đi và về là: 4h 25 h .
 12
 s s s s s s 53
Theo đề bài, ta cĩ phương trinh: 1 2 3 1 2 3 
 v1 v2 v3 v3 v2 v1 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 v1 v3 v1 v3 v2 12
 1 1 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 20 10 15 12
 1 1 2s2 53
 s1 s3 
 10 20 15 12
 3 2s 53
 30 s 2 
 20 2 15 12
 s2 5 km 
Vậy quãng đường ngang CD là 5 km .
Bài 7: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa .Sau đĩ 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hịa về Sài Gịn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
 Lời giải 
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường 
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta cĩ hệ phương 
trình S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 8: 
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể 
được ghi trong bằng sau, trong đĩ cĩ ba ơ bị mờ ở chữ số hàng đơn vị khơng đọc được (tại vị trí 
đánh dấu *).
 Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
 Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ơ đĩ.
 Lời giải
Tổng các số tại các ơ bị mờ số là 100 40 9 7 44
Tổng số điểm trong 100 lần bắn là 8,35.100 835
Tổng số điểm tại các vị trí ơ khơng bị mất số là 9.40 6.9 5.3 449
Suy ra tổng số điểm bắn được tại vị trí các ơ bị mất là 835 449 386 , đây là số chẵn
Suy ra tại ơ 7 điểm số lần bắn chỉ cĩ thể là số chẵn, vì vậy chỉ cĩ 3 khả năng là 10, 12, 14.
Gọi x, y lần lượt là số lần bắn được 10 điểm và 8 điểm
Điều kiện: x, y N;20 x 30;10 x 20
Trường hợp 1: Ơ 7 điểm nhận giá trị 10, khi đĩ theo đề bài ta cĩ hệ phương trình.
 x y 34 x y 34 x 22
 thỏa điều kiện
 449 10x 8y 70 835 10x 8y 316 y 12
Trường hợp 2: Ơ 7 điểm nhận giá trị 12, khi đĩ theo đề bài ta cĩ hệ phương trình
 x y 32 x y 32 x 23
 loại
 449 10x 8y 84 835 10x 8y 316 y 9
Trường hợp 3: Ơ 7 điểm nhận giá trị 14, khi đĩ x = 20 và y = 10 suy ra
Tổng số điểm bắn được là:
 20.10 9.40 8.10 7.14 6.9 5.7 827 khơng phù hợp 
Vậy chữ số hàng đơn vị tại các ơ 10 điểm, 8 điểm, 7 điểm lần lượt là 2, 2, 0
Bài 9: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa .Sau đĩ 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên 
Hịa về Sài Gịn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận 
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gịn –Biên Hịa dài 39 km CD 6 km ; Vận tốc của 
 3
An bằng 1,5lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường 
 4
 Lời giải 
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường 
 2 4
Suy ra y x và z x
 3 3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD 6 km suy ra quãng 
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39 S 6 33 S Theo đề bài ta cĩ hệ phương 
trình S 39 S 1
 x 4 12
 x
 3
 Giải hệ này cho ta x 48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình 
 S 6 33 S 1
 2
 x x 12
 3
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 10: Một ơ tơ dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ơ tơ đi 
với vận tốc đĩ, khi cịn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm 
vận tốc 10km/h trên quãng đường cịn lại. Do đĩ ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính 
quãng đường AB
 Lời giải
Gọi x là quãng đường AB (x>0)
 x
Quãng đường ơ tơ đi với vận tốc ban đầu là : 60 
 2
 x
Quãng đường ơ tơ đi với vận tốc tăng lên là 60 
 2
 x 120
Thời gian ơ tơ đi lúc ban đầu là: 
 80
 x 120
Thời gian ơ tơ đi lúc tăng vận tốc là: 
 100
Theo đề bài ta cĩ phương trình:
 x 120 x 120 x
 1 
 80 100 40
Giải phương trình được x = 280 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy quãng đường AB dài 280 km.
Bài 11: Cho tam giác vuơng cĩ độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số 
đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đĩ.
 Lời giải
Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuơng là a, b, c (a là độ dài cạnh huyền).
Theo giả thiết và định lý Pitago, ta cĩ: 
 a b c bc 1 
 2 2 2
 b c a 2 
 b2 c2 2bc 2 a b c a2
 2 2 2 2
 b c 1 a 1 b c 1 a 1 0
 (b c 1 a 1)(b c 1 a 1) 0
 (b c a)(b c a 2) 0
 b c 2 a
 a b c 0 loại 
Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được: 
 2 + bc - 2b - 2c = 0 b-2 c 2 2
Vì b, c là các số nguyên dương nên ta cĩ các trường hợp sau: Trường hợp b - 2 c - 2 B c a Kết luận
 1 1 2 3 4 5 Nhận
 2 2 1 4 3 5 Nhận
 3 -1 -2 1 0 -1 Loại
 4 -2 -1 0 1 -1 Loại
Vậy tam giác cần tìm cĩ các cạnh là 3; 4; 5.
Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bĩng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 
26 – 3 . Biết rằng cĩ n đội tham gia thi đấu vịng trịn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng 
một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hịa được 1 điểm và đội thua khơng được điểm nào. Kết thúc 
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hịa và tổng số điểm của các đội là 
336. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đội bĩng tham gia?
 Lời giải
Gọi số trận hịa là x ( x N *) tổng số điểm của các trận hịa là 2x, (1 trận hịa cĩ 2 đội, mỗi đội 
được 1 điểm)
Theo giả thiết số trận thắng là 4x tổng số điểm của các trận thắng là 12x
Tổng số điểm các đội là 336 2x + 12x = 336 x = 24
Vậy ta cĩ tất cả 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn ra
Từ giả thiết cĩ n đội, mỗi đội đấu với n – 1 đội cịn lại nên số trận đấu diễn ra là n(n – 1) , nhưng 
đây là tính cả trận lượt đi và lượt về, giả thiết mỗi đội đấu với nhau đúng 1 lần nên tổng số trận 
 n(n 1)
giảm đi một nửa, do đĩ cĩ tất cả trận đấu
 2
 n(n 1)
Do đĩ: 120 n(n 1) 240 n 16, (n 15 loại)
 2
Vậy cĩ tất cả 16 đội bĩng tham gia.