Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức. Chứng minh đẳng thức đại số. Tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức. Chứng minh đẳng thức đại số. Tỉ lệ thức, tính chất của dãy 
tỉ số bằng nhau
A. Bài toán
 1 8 10
Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 
 2 1 2 5
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức T 2 3 1 3 2 1 13 4 3 19 6 2
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: B 3 85 62 7 3 85 62 7
Bài 4: 
 1) Cho a b 29 12 5 2 5 . Tính giá trị của biểu thức: 
 A a2 (a 1) b2 (b 1) 11ab 2015
 2) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy (1 x2 )(1 y2 ) 1. Chứng minh rằng: 
 x 1 y2 y 1 x2 0. 
 2(3 5) 2(3 5)
Bài 5: Rút gọn biểu thức: A 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 1 1
Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn x 3 Tính giá trị biểu thức P x3 .
 x x3
Bài 7: Cho các số a,b,c, x, y, z đều khác 0 và thõa mãn các đều kiện 
 x y z a b c x2 y2 z2
 1 và 0 . Chứng minh rằng 1
 a b c x y z a2 b2 c2
 a b c 1
Bài 8: Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 
 b2 ca c2 ab a2 bc 2019
Bài 9: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
 a b c 3
 1 a 1 b 1 c 2
 Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu x 2 3 x 4 y2 y2 3 x 2 y4 a thì 3 x 2 3 y2 3 a 2
Bài 11: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa : ab + bc+ ca =1. Tính giá trị biểu thức
 1 b2 1 c2 1 a2 1 c2 1 b2 1 a2 
 P a b c
 1 a2 1 b2 1 c2 
Bài 12: Cho tam giác ABC có và độ dài ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c là ba số nguyên 
 khác nhau
 a) Chứng minh : a2 b2 c2 bc
 b) Giả sử b < c . Chứng minh: b 3 1 1 1 2017
Bài 13: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c 2018 và . Tính giá 
 b c c a a b 2018
 a b c
 trị của biểu thức P 
 b c c a a b
Bài 14: 
 2017
 a. Cho x 4 7 4 7 . Tính A x4 x3 x2 2x 1 .
 b. Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
 1 1 1
 Chứng minh rằng: A là bình phương của một số hữu tỉ.
 a b 2 b c 2 c a 2
 a b c d e f
Bài 15: Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn + + = 1 và + + = 0.
 d e f a b c
 a2 b2 c2
Tính giá trị của biểu thức B = + + .
 d2 e2 f 2
 1 1 1
Bài 16: Cho a = x + , b = y + , c = xy + . Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc
 x y xy
Bài 17: Cho (x + x 2 + 2015)(y + y2 + 2015) = 2015. Hãy tính giá trị của biểu thức
 A x y 2016.
 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu ax 3 = by 3 = cz3 và 1 thì 
 x y z
 3 ax 2 + by2 + cz2 = 3 a + 3 b + 3 c .
 3 6 3 - 10
Bài 19: Cho x = 2 + 3 - . Tính giá trị của biểu thức 
 3 + 1
 2015
 A = (x 4 + x 3 - x 2 - 2x - 1) .
Bài 20: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tính 
 a b b c c a
 H 
 1 c 1 a 1 b
 5 + 3 + 5 - 3
Bài 21: Tính giá trị biểu thức P = + 11- 6 2
 5 + 22
Bài 22: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2, x2 y2 z2 18 
 1 1 1
và xyz = - 1. Tính giá trị của S = + + ×
 xy + z - 1 yz + x - 1 zx + y - 1
 2
Bài 23: Cho biểu thức: A x 2 x 1 2013 . Tính giá trị của A khi 
 3 3
 x 
 3 1 1 3 1 1
Bài 24: Cho (x + x 2 + 2013 ).(y + y2 2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0 2 3 + 5 - 13 + 48
Bài 25: Chứng minh rằng :A= là số nguyên
 6 + 2
Bài 26: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : 
 a2006 + b2006 = a2007 + b2007 = a2008 + b2008 
Hãy tính tổng: S=a2009 + b2009 
Bài 27: Tính giá trị của biểu thức P 
 P = 3x 2013 + 5x 2011 + 2006 với x = 6 + 2 2. 3 - 2 + 2 3 + 18 - 8 2 - 3
 (x 2 - 9)(y2 - y - 2)
Bài 28: Tính giá trị biểu thức A = biết x 2 + 16y2 - 7xy = xy - x - 4 
 (x 3 - 6x 2 + 9x)(y + 1)
 2 1 1 x2 y2
Bài 29: Cho x, y là các số thực sao cho .Tính giá trị của biểu thức 
 x y 2x y y2 x2
Bài 30: Cho a,b,c là các số thực sao cho a b c 2 và ab 2c2 3c 1.Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức P a2 b2
Bài 31: Tính giá trị biểu thức A x3 y3 3 x y , biết rằng
 x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2
 1 2 2 3
Bài 32: Tính A .
 2 3 3 3 3
 2 2 2 
Bài 33: Cho S 1 1  1 . Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối 
 2.3 3.4 2020.2021 
giản).
 2 1 1 x2 y2
Bài 34: Cho x, y là các số thực sao cho .Tính giá trị của biểu thức 
 x y 2x y y2 x2
Bài 35: Cho a b c 0 và a2 b2 c2 1. 
 Tìm giá trị của biểu thức M a4 b4 c4 .
 3 3
Bài 36: Cho a 7 50 , b 7 50. Không dùng máy tính, chứng minh rằng các biểu thức 
 M a b và N a7 b7 có giá trị đều là số chẵn. 
Bài 37: Cho các số a,b,c thỏa mãn ab bc ca 2019abc và 2019 a b c 1 . Tính 
 A a2019 b2019 c2019 .
 3 3
Bài 38: Cho a 7 50 , b 7 50. Không dùng máy tính, hãy chứng minh các biểu thức 
 M a b và N a7 b7 có giá trị đều là số chẵn. 
Bài 39: Tính giá trị biểu thức A x3 y3 3 x y , biết x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; 
 y 3 17 12 2 3 17 12 2
 2 1 1 x2 y2
Bài 40: Cho x, y là các số thực sao cho .Tính giá trị của biểu thức 
 x y 2x y y2 x2 Bài 41: Cho a,b,c là các số thực sao cho a b c 2 và ab 2c2 3c 1.Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức P a2 b2
Bài 42: Cho a b c 0 và a2 b2 c2 1. Tìm giá trị của biểu thức M a4 b4 c4 .
 2 1 2 1
Bài 43: Cho a ;b . Tính a7 b7 
 2 2
 2
 2 y
 x xy 2017 (1)
 3
 2
 2 y
Bài 44: Cho x, y, z là các số thực thỏa: z 1009 (2) (x 0,z 0,x z) 
 3
 x2 xz z2 1008 (3)
 2z y z
Chứng minh rằng 
 x x z
Bài 45: Cho đa thức P(x) = x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d là các hằng số). Biết rằng P(1) = 10, P(2) = 
 P(12) P( 8)
20, P(3) = 30. Tính giá trị của biểu thức 25
 10
 4 3 2 2 10
Bài 46: Tính giá trị biểu thức A 
 1 2 3 2 1
 2 2
Bài 47: Cho biểu thức: P 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x với x 1;1 
 1
Tính giá trị của biểu thức P với x .
 2012
 2 1
Bài 48: Cho x là số thực âm thỏa mãn x + 2 = 23, tính giá trị của 
 EMBED Equation.DSMT4 x
biểu thức 
 3 1
 A = x + 3 .
 EMBED Equation.DSMT4 x
 a 3 3a 2
 P 
Bài 49: Tính gía trị biểu thức 3 2 , biết EMBED 
 EMBED Equation.3 a 4a 5a 2
 3 3
Equation.3 a 55 3024 55 3024
Bài 50: Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn EMBED Equation.3 
 x 3 3x 1; y3 3y 1,z 3 3z 1
 2 2 2
 Chứng minh rằng EMBED Equation.3 x y z 6
Bài 51: Cho biểu thức:
 EMBED Equation.DSMT4 
 P 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 với 
 EMBED Equation.DSMT4 
 x  1;1
 1
 Tính giá trị của biểu thức P với x .
 EMBED Equation.DSMT4 2012 Bài 52: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, 
 a2 b2 c2
c2 + a2 ¹ b2. Tính giá trị biểu thức P = + + .
 a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2
Bài 53: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, 
 a2 b2 c2
c2 + a2 ¹ b2. Tính giá trị biểu thức P = + + .
 a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2
Bài 54: a. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 a b c
 1 1 1 1 1 1
 b. Tính giá trị của biểu thức: B = 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
 4(x 1)x2018 2x2017 2x 1
Bài 55: Tính giá trị của biểu thức P 
 2x2 3x
 1 3
tại x .
 2 3 2 2 3 2
 1
Bài 56: Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 7 . Tính giá trị các biểu thức 
 x2
 1 1
 A x5 ; B x7 .
 x5 x7
Bài 57: Cho f (x) (x3 12x 31)2015 . 
 Tính f(a) với a 3 16 8 5 3 16 8 5 .
 x4 y4 1
Bài 58: Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: x2 y2 1 và . 
 a b a b
 x2016 y2016 2
 Chứng minh rằng: 
 a1008 b1008 (a b)1008
 1 1 1
Bài 59: Cho x;y;z dương sao cho 6
 x y y z z x
 1 1 1
 Tìm giá trị lớn nhất của P .
 3x 3y 2z 3y 3z 2x 3z 3x 2y
 2 a 1 2 a 
Bài 60: Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0
 a 1 1 a a a a a 1 
 Tính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 .
Bài 61: Cho ba số x, y, z thỏa mãn
 x y z 2010
 1 1 1 1 
 x y z 2010
Tính giá trị của biểu thức P x2007 y2007 y2009 z2009 z2011 x2011 
Bài 62: Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3 1 1 1
 Tính giá trị biểu thức H= 
 ab c 6 bc a 6 ca b 6
 4 3 4 3
Bài 63: Tính giá trị của biểu thức N= 27 10 2
 4 13
 3
 10 6 3( 3 1) 2017
Bài 64: Cho x . Tính giá trị của P 12x2 + 4x – 55 .
 6 2 5 5
 2
Bài 65: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y x y z , x y z
 2
 x x z x z
 và y z. Chứng minh đẳng thức 2 .
 y y z y z
Bài 66: Cho hai số thực a,b thỏa mãn a2 4ab 7b2 0 ( a b và a b ). Tính giá trị của biểu 
 2a b 3a 2b
thức Q 
 a b a b
 1
Bài 67: Cho số x x ¡ ; x 0 thỏa mãn điều kiện: x2 7 . Tính giá trị các biểu thức: 
 x2
 1
 B x5 .
 x5
 ( 3 1) 3 10 6 3 
Bài 68: Tính giá trị biểu thức B (x2 4x 2)2019 tại x .
 21 4 5 3
 1 1 1 1
Bài 69: Tính tổng S ... .
 3 1 5 3 7 5 20192 20192 2
Bài 70: 
 1/ Cho ba số thực dương a,b,c thõa mãn a b c=1. Chứng minh rằng 
 a b c
 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
 2/ Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn 2 a b+b c+2 c a=0 . Hãy tính giá trị của biểu thức 
 bc ca ab
 A 
 8a2 b2 c2
Bài 71: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x x2 1 y y2 1 2. Tính giá trị 
của biểu thức Q x y2 1 y x2 1.
 Bài 72: . Chứng minh rằng:
 1 1 1 44
 ... 
 2 1 1 2 3 2 2 3 2025 2024 2024 2025 45 .
 1 1
 Bài 73: Cho x là số thực âm thỏa mãn x2 23. Tính giá trị của biểu thức: A x3 
 x2 x3
 2018 1 2 1
Bài 74: Tính giá trị biểu thức: P 4x5 4x4 5x3 5x 2 2019 tại x .
 2 2 1 Bài 75: Cho x 3 5 2 3 3 5 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P x 2 x 
Bài 76: Cho ba số a,b,c thỏa mãn ab bc ca 2019 . Chứng minh 
 a2 bc b2 ca c2 ab
 0 .
 a2 2019 b2 2019 c2 2019
Bài 77: Gọi a , b , c là ba nghiệm của phương trình 2x3 9x2 6x 1 0
 Không giải phương trình, hãy tính tổng:
 a5 b5 b5 c5 c5 a5
 S 
 a b b c c a
 a b b c c a
Bài 78: Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca 1.Tính H= 
 1 c 1 a 1 b
Bài 79: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a2 (b-2c) b2 (c -a) 2c2 (a -b) abc .
 2) Cho x, y thỏa mãn x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . 
Tính giá trị của biểu thức A x4 +x3y+3x2 +xy- 2y2 +1.
 x2 yz y2 zx z2 xy
Bài 80: Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . 
 a b c
 a2 bc b2 ca c2 ab
Chứng minh rằng 
 x y z
Bài 81: Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
 (1 y2 )(1 z2 ) (1 z2 )(1 x2 ) (1 x2 )(1 y2 )
Hãy tính giá trị biểu thức: A = x y z
 (1 x2 ) (1 y2 ) (1 z2 )
Bài 82: Cho a2 b c b2 c a 2018 với a,b,c đôi một khác nhau và khác không. Tính giá trị 
của biểu thức c2 a b .
Bài 83:
 1 1 1
a) Cho a,b 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng a b a 2018 b 2018 .
 a b 2018
b) Cho a là nghiệm dương của phương trình 6x2 3x 3 0 .
 a 2
Tính giá trị của biểu thức A .
 a4 a 2 a2
B. Lời giải
 1 8 10
Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 
 2 1 2 5
 Lời giải
 1 8 10 2 1 2 2 5 
 A 2 1 2 1
 2 1 2 5 2 1 2 5 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức T 2 3 1 3 2 1 13 4 3 19 6 2
 Lời giải
 T 2 3 1 12 4 3 1 3 2 1 18 6 2 1
 2 2
 T 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1 
 T 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1 12 1 18 1 187
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: B 3 85 62 7 3 85 62 7
 Lời giải
 Đặt a 3 85 62 7 ; b 3 85 62 7
 a3 b3 85 62 7 85 62 7 170
 2
 ab 3 85 62 7 3 85 62 7 3 852 62 7 3 19683 27
 B a b
 B3 a b 3 a3 b3 3ab a b 170 3.27B
 B3 81B 170 0
 B3 2B2 2B2 4B 85B 170 0
 B2 B 2 2B B 2 85 B 2 0
 B 2 B2 2B 85 0
 B 2 0 (vì B2 2B 85 B2 2B 1 84 B 1 2 84 0 )
 B 2
Bài 4: 
 1) Cho a b 29 12 5 2 5 . Tính giá trị của biểu thức: 
 A a2 (a 1) b2 (b 1) 11ab 2015
 2) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy (1 x2 )(1 y2 ) 1. Chứng minh rằng: 
 x 1 y2 y 1 x2 0. 
 Lời giải
 2
 1) a b 29 12 5 2 5 3 2 5 2 5 3
 A a3 b3 a2 b2 11ab 2015 a b a2 b2 ab a2 b2 11ab 2015
 A 3 a2 b2 ab a2 b2 11ab 2015 4 a2 2ab b2 2015
 A 4 a b 2 2015 2051
 2) xy 1 x2 1 y2 1 1 x 2 1 y 2 1 xy
 1 x2 1 y2 1 xy 2
 1 x2 y2 x2 y2 1 2xy x2 y2
 x2 y2 2xy 0
 (x y)2 0 x y
 x 1 y2 y 1 x2 y 1 y2 y 1 y2 0
 2(3 5) 2(3 5)
Bài 5: Rút gọn biểu thức: A 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 Lời giải
 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 
 A 
 2 2 3 5 2 2 3 5 4 6 2 5 4 6 2 5
 3 5 3 5 3 5 3 5 
 A 2 2 
 2 2 5 5 5 5 
 4 5 1 4 5 1 
 3 5 5 5 3 5 5 5 15 3 5 5 5 5 15 3 5 5 5 5 
 A 2 2 
 5 5 5 5 25 5 
 20
 A 2 2
 20
 1 1
Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn x 3 Tính giá trị biểu thức P x3 .
 x x3
 Lời giải
 3
 1 1 3 3 1 1 
 x 3 x 3 x 3 3 x 27
 x x x x 
 3 1 1 
 P x 3 27 3 x 27 3.3 18
 x x 
Bài 7: Cho các số a,b,c, x, y, z đều khác 0 và thõa mãn các đều kiện 
 x y z a b c x2 y2 z2
 1 và 0 . Chứng minh rằng 1
 a b c x y z a2 b2 c2
 Lời giải
 x y z x2 y2 z2 xy xz yz 
 1 2 2 2 2 1
 a b c a b c ab ac bc 
 x2 y2 z2 xyc xzb yza
 2 1
 a2 b2 c2 abc
 a b c ayz bxz cxy
 0 0 ayz bxz cxy 0
 x y z xyz
 x2 y2 z2
 Vậy 1
 a2 b2 c2
 a b c 1
Bài 8: Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 
 b2 ca c2 ab a2 bc 2019
 Lời giải
 Giả sử tồn tại bộ số thực a;b;c thỏa mãn yêu cầu đề bài
 a2 bc ; b2 ca ; c2 ab
 Nếu a b c thì a2 bc a2 a2 0 a2 bc (mâu thuẫn a2 bc )
 Do đó trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 2 số khác nhau. Khi đó: a b 2 b c 2 c a 2 0
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 a b c a b c 1
 2 2 2 
 1 2 2 2
 b ca c ab a bc a b b c c a 2019
 2 
 a b c 0
 Nếu tồn tại 2 số bằng nhau, giả sử a b , ta có:
 a b
 b2 ca c2 ab
 b2 ca c2 ab 0
 (a b c)(b c) 0
 b c
 a b c (mâu thuẫn a2 bc )
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 a b c a b b c c a 1
 b2 ca c2 ab a2 bc b2 ca c2 ab c2 ab a2 bc a2 ab b2 ca 2019
 a b b c c a 1
 b c a b c c a a b c a b a b c 2019
 Đặt x2 yz ; y2 zx ; z2 xy
 x2 y2 z2 xy yz zx
 x y 2 y z 2 z x 2 0
 x y z
 a b 2c a b 2c a b 2c
 c b 2a c b 2a c b 2a a b c (mâu thuẫn)
 a c 2b a b 2b 2a 3 a b 0
 Vậy không tồn tại bộ 3 số thỏa mãn theo yêu cầu.
Bài 9: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
 a b c 3
 1 a 1 b 1 c 2
 Chứng minh tam giác ABC đều.
 Lời giải
 a b c 3 a a a 3
 Từ giả thiết ta suy ra a > 0 ; b > 0 ; c > 0 và 
 1 a 1 b 1 c 2 b c b c b c 2
 1 1 1 1 1 1 
 2 a b c 9 x y z 9 
 a b a b a b x y z 
 x y y z z x 
 (với x a b 0; y b c 0; z c a 0 ) 2 2 2 0
 y x z y x z 
 x y 2 y z 2 z x 2
 0 x y z a b c . Vậy tam giác ABC đều.
 xy yz zx
Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu x 2 3 x 4 y2 y2 3 x 2 y4 a thì 3 x 2 3 y2 3 a 2
 Lời giải