Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 3: Số học

 CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
III. Dạng 3: Số học
1. Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, lập phương
A. Bài toán
Bài 1: Tìm các số nguyên k để k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương.
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:
 a b 2
 là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố
 b c 2
Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k 
nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt 
a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.
Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy 
với xxyy là số chính phương.
Bài 5: Tìm tất cả các cặp số a;b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
 1) a,b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1.
 2) Số N ab ab 1 2ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương.
Bài 6: 
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương m,n, p với p nguyên tố thỏa mãn
 m 2019 n 2019 p 2018
Bài 7: Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương.
Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
 20abc 30(ab bc ca) 21abc
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
 4 n
Bài 11: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 là hợp số.
Bài 12: Tìm x nguyên dương để 4x3 14x2 9x 6 là số chính phương
Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, , 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít 
nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.
Bài 14: Tìm n N* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương.
Bài 15: Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương x y 2019
Bài 16: Bài 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z sao cho là số hữu tỉ và 
 y z 2019
x2 y2 z2 là số nguyên tố.
Bài 17: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ 
số của A thêm 1 đơn vị thì ta được số chính phương B cũng có 4 chữ số.Tìm hai số A; B
Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p3 4p 9 là số chính phương. 
Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n 11 là tích của k k ¥ ,k 2 số tự 
nhiên liên tiếp.
Bài 20: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C = 2019n +2020 là số chính phương
Bài 21: Cho n N * . Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n 
chia hết cho 40.
Bài 22: Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
 i) p2q p chia hết cho p2 q
 ii) pq2 q chia hết cho q2 p
 6 4 3 2
Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng A n n 2n 2n không phải là số chính 
phương, trong đó n N,n 1 .
Bài 24:
 n5 29n
a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì cũng là số nguyên.
 30
 2 2
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x; y sao cho 2 x y 3x 2y 1 và 
 2 2
5 x y 4x 2y 3 đều là số chính phương.
Bài 25: Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số 
chính phương.
Bài 26: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào 
chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng 
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương.
 3 5 3 5
Bài 27: Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt S = an +bn , với a = ; b = .
 n 2 2
 n + 1 n + 1 n n
 a) Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có Sn + 2 = (a + b)( a +b ) – ab(a +b )
 b) Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
 n n 2
 5 1 5 1 
 c) Chứng minh S – 2 = . Tìm tất cả các số n để S – 2 là số 
 n 2 2 n
chính phương. Bài 28: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Bài 29 : Cho x 1 3 2 3 4 . Chứng minh rằng: P x 3 3x 2 3x 3 là một số chính 
phương.
Bài 30:
 a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = 
6m 1, với m là số tự nhiên.
 b) Tìm số nguyên tố p sao cho 8p 2 1 là số nguyên tố.
Bài 31: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính 
phương thì n là bội số của 24.
Bài 32: Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương.
Bài 33: Cho A a2015 b2015 c2015 d 2015 , với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn 
ab=cd. Chứng minh rằng A là hợp số.
Bài 34: Cho số nguyên dương n và các số A = 444....4 (A gồm 2n chữ số 4); B = 888.....8 (B 
 2n n
gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
Bài 35: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 a 3b2 b . 
Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương
 2
Bài 36: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 17 là một số chính phương.
Bài 37: Tìm các số nguyên tố a,b,c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình 
a2 + b2 + 16c2 = 9k2 + 1.
Bài 38: Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của 
một số nguyên.
Bài 39: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương p;q;n , trong đó p , q là các số nguyên tố 
thỏa mãn: p p 3 q q 3 n n 3 
Bài 40: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k 
nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt 
a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.
Bài 41: Tìm số các số nguyên n sao cho B n2 n 13 là số chính phương
 2
Bài 42: Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn a2 b2 2 a b + (1 ab)2 4ab
Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ
Bài 43: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương
 1 1 1
Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng 
 a b c
A a2 b2 c2 là số hữu tỉ.
 b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 1 1 1
B là số hữu tỉ.
 (x y)2 (y z)2 (z x)2
 2
Bài 45: Tìm số thực x để 3 số x 3; x2 2 3; x là số nguyên
 x
Bài 46: Tìm x nguyên dương để 4x3 14x2 9x 6 là số chính phương
Bài 47: Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
 1 1 1
Chứng minh rằng bằng bình phương của một số
 a b 2 b c 2 c a 2
 2012 2002
Bài 48: Tìm số tự nhiên n để: A n n 1 là số nguyên tố.
 2
Bài 49: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x x 6 là một số chính 
phương
Bài 50: Cho A = n6 n4 2n3 2n2 (với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số 
chính phương.
Bài 51: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 17 là một số chính phương.
Bài 52: Chứng minh rằng: 3 70 4901 3 70 4901 là một số nguyên.
Bài 53: Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p a3 b3 với a, b là hai số nguyên dương 
phân biệt. Chứng minh rằng : Nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số 
là bình phương của một số nguyên lẻ.
B. Lời giải
Bài 1: Tìm các số nguyên k để k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương.
 Lời giải
 Đặt M k 4 8k 3 23k 2 26k 10
 M k 4 2k 2 1 8k k 2 2k 1 9k 2 18k 9
 2
 M k 2 1 8k k 1 2 9 k 1 2 k 1 2 . k 3 2 1 
 M là số chính phương khi và chỉ khi (k 1)2 0 hoặc (k 3)2 1 là số chính phương.
 TH 1: (k 1)2 0 k 1.
 TH 2: (k 3)2 1 là số chính phương.
 2
 Đặt k 3 1 m2 m ¢ 
 m2 (k 3)2 1 (m k 3)(m k 3) 1
 Vì m,k ¢ m k 3 ¢ ,m k 3 ¢ 
 m k 3 1 m k 3 1
 Nên hoặc 
 m k 3 1 m k 3 1
 k 3 Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì k 4 8k 3 23k 2 26k 10 là số chính phương
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:
 a b 2
 là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố
 b c 2
Giải: 
 a - b 2 x
Đặt = (x, y Z, xy 0) Þ ay – bx = (by – cx) 2 (*)
 b- c 2 y
Vì a, b, c, x, y Z Þ ay – bx Z Þ (by – cx) 2 Z
 ïì ay- bx = 0 ïì ay = bx
Mà 2 I nên từ (*)Þ í Þ í
 îï by- cx = 0 îï cx = by
Þ acxy = b2xy Þ ac = b2 (vì xy ≠ 0)
a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b)
Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b<a+c+b
 2 2 2
Þ a+b – c = 1 Þ a + b + c = a + b + c (1)
Mà a, b, c nguyên dương nên a a2, b b2, c c2 (2)
Từ (1) và (2) Þ a = b = c = 1, thử lại: Thỏa mãn, kết luận
Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k 
nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt 
a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.
Giải: 
 2) Ta xét tập T gồm các số chẵn thuộc tập A . Khi đó |T |= 8 và với a , b thuộc T 
 ta có a2 + b2 , do đó k ³ 9
 Xét các cặp số sau: 
 A = {1;4} È {3;2} È {5;16} È {6;15} È {7;12} È {8;13} È {9;10} È {11;14}
 Ta thấy tổng bình phương của mỗi cặp số trên đều là số nguyên tố
 Xét T là một tập con của A và |T |= 9 , khi đó theo nguyên lí Dirichlet T sẽ chứa 
 ít nhất 1 cặp nói trên.
 Vậy kmin = 9
Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy 
với xxyy là số chính phương.
 Giải
 a) Ta có: xxyy 11x0y là số chính phương nên x0y  11 100x y  11 99x x y  11
 x y 11
 x y  11 
 x y 0
 x y 0
 x y 11
 Ta có: xxyy 11x0y 11(99x x y) 11(99x 11) 112 (9x 1)
 9x 1 là số chính phương.
 x 7 y 4
 Vậy xxyy 7744; xxyy 0000
Bài 5: Tìm tất cả các cặp số a;b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:
 1) a,b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a,b là 1.
 2) Số N ab ab 1 2ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương..
 Giải: 
2. Ta có: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho các số: 1; a ;b ab 1 2ab 1 ; b ;
 a ab 1 2ab 1 ; ab 1; ab 2ab 1 ; 2ab 1 ; ab ab 1 ; N ; ab ; ab 1 2ab 1 ;b ab 1 ;
 a 2ab 1 ; a ab 1 ; b 2ab 1 có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương 
 thì a; b; ab 1; 2ab 1 là số nguyên tố Do a, b 1 ab 1 2 
Nếu a;b cùng lẻ thì ab 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng 
quát, giả sử a chẵn b lẻ a 2 .
Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab 1 4b 1 và ab 1 2b 1 chia hết cho 3 
 là hợp số (vô lý) b 3. 
 Vậy a 2; b 3.
Bài 6: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương m,n, p với p nguyên tố thỏa 
mãn m 2019 n 2019 p 2018
Giải: 
Giả sử tồn tại bộ số (m,n,p) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Dễ thấy 0 m , n p . Phương trình 
đã cho có thể được viết lại thành 
 m n A p 2018 , (1)
 trong đó A m 2018 m 2017n m 2017n 2 ... mn 2017 n 2018 
 Nếu A không chia hết cho p thì từ (1), ta có A 1 và
 m n p 2018 m 2019 n 2019.
 Từ đó dễ thấy m n 1 và p 2018 2 , mâu thuẫn. Vậy A chia hết cho p .
 Do m n 1 nên từ (1) suy ra m n chia hết cho p . Khi đó, ta có
 A  2019m 2018 mod p . Do A chia hết cho p và 0 m p nên từ kết quả trên, ta suy ra 2019 chia hết cho 
 p , hay p 2019 . Từ đây, dễ thấy m và n khác tính chẵn lẻ, hay m n. 
 673 673
 Bây giờ, ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng\ m 3 n 3 20192018, 
 hay m n m 2 mn n 2 20192018 ,
 672 671 671 672
 trong đó, B m 3 m 3 n 3 ... m 3 n 3 n 3 . Do m n nên 
 2
 m 2 mn n 2 m n mn 1 , từ đó ta có m 2 mn n 2 chia hết cho 2019 . Tuy 
 nhiên, điều này không thể xảy ra do
 m 2 mn n 2  3n 2 mod 2019 
 m 2 mn n 2  0 mod 2019 .
 Vậy không tồn tại các số m,n, p thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 7: Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương.
 Giải: Đặt A n4 n3 1.
 Với n 1 thì A 3 không thỏa mãn.
 Với n 2 ta có 4A 4n4 4n3 4.
 2 2
 Xét 4A 2n2 n 1 3n2 2n 3 0 4A 2n2 n 1 .
 2 2
 Xét 4A 2n2 n 4 n2 0 4A 2n2 n .
 2
 Vậy 4A 2n2 n n 2.
Với n 2 thì A 25 thỏa mãn bài toán.
Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a,b,c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
 20abc 30(ab bc ca) 21abc
 Giải: 
 2 1 1 1 7
+ Từ giả thiết suy ra: . Không giảm tính tổng quát giả sử a b c 1. Suy 
 3 a b c 10
 2 3
ra 2c 9
 3 c
Do đó c {2;3}
 2 1 1 1 7 1 1 1 1 1 2 1 1
+ Với c 2 suy ra (1) và 
 3 2 a b 10 6 a b 5 6 b b 5
Do đó b {7;11}
 1 1 2
+ Với b 7 từ (1) suy ra a {19;23;29;31;37;41}
 42 a 35
 5 1 6
+ Với b 11 từ (1) suy ra a 13 ( do a>b)
 66 a 55 1 1 1 11 1 2
+ Với c 3 từ giả thiết suy ra (*) b 6 b 5 ( do b>c)
 3 a b 30 3 b
 15
Thay b 5 vào (*) được 6 a a 7 .
 2
Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn:
 (19;7;2),(23;7;2),(29;7;2),(31;7;2),(37;7;2),(41;7;2),(13;11;2),(7;5;3) và các hoán vị 
 của nó.
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
 Lời giải 
Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k ¥ )
 (n – 7)2 – k2 = 305
 (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305
Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61) 
và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:
 n 7 k 1
 n 7 k 305
 n 7 k 305
 n 7 k 1
 n 7 k 5
 n 7 k 61
 n 7 k 61
 n 7 k 5
 n 160
 k 152
 n 146
 k 152
 n 40
 k 28
 n 26
 k 28
Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40.
Bài 10: 
 Lời giải 
Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2
 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên
n2 – 2n + 2 = 1
 n = 1
 4 n
Bài 11: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 là hợp số.
 Lời giải 
n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 
0.
 4 n 4 2k 4 n
- Với n = 2k, ta có n 4 (2k) 4 lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó n 4 là 
hợp số.
-Với n = 2k+1, tacó 
 n4 4n n4 42k.4 n4 (2.4k )2 (n2 2.4k )2 (2.n.2k )2
 n2 2.4k 2.n.2k n2 2.4k 2.n.2k
 (n 2k )2 4k (n 2k )2 4k 
Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số
Bài 12: Tìm x nguyên dương để 4x3 14x2 9x 6 là số chính phương
 Lời giải 
Vì 4x3 14x2 9x 6 là số chính phương, nên ta có 4x3 14x2 9x 6 =k2 với k N
Ta có 4 x3 14x2 9x 6= = x 2 4x2 6x 3 nên ta có x 2 4x2 6x 3 = k 2
Đặt x 2,4x2 6x 3 d với d N *
Ta có x 2d x 2 4x 2 d 4x 6x 4d
Ta lại có 4x2 6x 3d 4x2 6x 3 4x2 6x 4 1d d 1
Vậy x 2,4x2 6x 3 1 
mà x 2 4x2 6x 3 = k 2 nên ta có 
x+2 và 4x2 6x 3 là số chính phương x 2 a2và 4x2 6x 3 b2 với a,b N *
 2 2
Vì x>0 nên ta có 4x2 b2 4x2 12x 9 2x b2 2x 3 
 2
Vì b lẻ nên b2 2x 1 4x2 6x 3 4x2 4x 1 x 2
Với x=2 ta có 4x3 14x2 9x 6 =100=102 là số chính phương
Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, , 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít 
nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.
 Lời giải -Nếu n là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên bài toán chứng minh xong
-Nếu n không là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên, ta luôn tìm được 1 số nguyên dương k 
 2
sao cho k 2 n k 1 .Vì n nguyên dương và n k 2 n k 2 1, vậy ta có:
 2 2 2
2n k 1 2(k 2 1) k 1 ... k 2 2k 1 k 1 0 
 2
Vậy mọi k nguyên dương , nên ta có k 2 n k 1 2n
Vậy trong dãy luôn có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.
Bài 14: Tìm n N* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương.
 Lời giải 
Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2
 2
 n 4 n 3 1 n 2 K n 4 2Kn 2 K 2 (K N* )
 n 3 2Kn 2 K 2 1 n 2 (n 2k) K 2 1 0
Mà K 2 1n 2 K 2 1 hoặc n 2 K 2 1
Nếu K 2 1 K 1 n 2 (n 2) 0 n 2 
Thử lại 24 23 1 52 ( thỏa mãn)
Khi K 1 K 2 K 2 1 n 2 K n
 n 2k 0 mâu thuẫn với điều kiện n 2 n 2K K 2 1 0 
Vậy n = 2
Bài 15: Tìm các số tự nhiên n sao cho A n2 2n 8 là số chính phương
 Lời giải 
Đặt n2 2n 8 a2 a n 1 . a n 1 7 với a nguyên dương
 a n 1 7 a 4
Vì a n 1 a n 1 nên 
 a n 1 1 n 2
 x y 2019
Bài 16: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z sao cho là số hữu tỉ và 
 y z 2019
x2 y2 z2 là số nguyên tố.
 Lời giải
 x + y 2019 m
Ta có: = (m,n Î ¥ *,(m,n) = 1) 
 y + z 2019 n
 ïì nx- my = 0 x y m
Þ mx- my = (mz - my) 2019 Þ íï Þ = = Þ xz = y2 
 îï mz - my = 0 y z n
x2 + y2 + z2 = (x + z)2 - 2xz + y2 = (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x + z - y)