Các dạng bài tập thi HSG Toán Lớp 9 - Dạng 7: Các bài toán về đa thức

 (CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 7: Các bài toán về đa thức:
1. Xác định đa thức
A. Bài toán (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho đa thức P(x) ax2 bx c a  * thỏa mãn P 9 P 6 2019.
Chứng minh P 10 P 7 là một số lẻ.
Bài 2: Cho các đa thức EMBED Equation.DSMT4 
P (x) = x 3 + ax2 + bx + c; Q (x) = x2 + 2016x + 2017 thỏa mãn EMBED 
Equation.DSMT4 P (x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và EMBED Equation.DSMT4 
P (Q (x)) = 0 vô nghiệm. 
Chứng minh rằng EMBED Equation.DSMT4 P (2017)> 10086. 
Bài 3: Xác định các hệ số a và b để đa thức P x x4 2x3 3x2 ax b là bình phương 
của một đa thức.
B. Lời giải (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho đa thức P(x) ax2 bx c a  * thỏa mãn P 9 P 6 2019.
Chứng minh P 10 P 7 là một số lẻ.
 Lời giải
 có: 
 P 9 P 6 2019
 8ba 9b c 36a 6b c 2019
 45a 3b 2019 1 
 Lại có: P 10 P 7 100a 10b c 29a 7b c 51a 3b
 Đặt P 10 P 7 t 51a 3b t 2 
 Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a t 2019 , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có 
 điều phải chứng minh
Bài 2: Cho các đa thức EMBED Equation.DSMT4 
P (x) = x 3 + ax2 + bx + c; Q (x) = x2 + 2016x + 2017 thỏa mãn EMBED 
Equation.DSMT4 P (x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và EMBED Equation.DSMT4 
P (Q (x)) = 0 vô nghiệm. 
Chứng minh rằng EMBED Equation.DSMT4 P (2017)> 10086. 
Giải: Gọi x ,x ,x là ba nghiệm của P x ta có 
 EMBED Equation.DSMT4 1 2 3 EMBED Equation.DSMT4 ( ) 
 P x = x - x x - x x - x 
EMBED Equation.DSMT4 ( ) ( 1)( 2 )( 3 )
Suy ra, P Q (x) = Q (x)- x Q (x)- x Q (x)- x
 EMBED Equation.DSMT4 ( ) ( 1)( 2 )( 3 )
Do P Q (x) = 0 vô nghiệm nên các phương trình 
 EMBED Equation.DSMT4 ( ) EMBED 
 Q x - x = 0 i = 1,2,3 vô nghiệm.
Equation.DSMT4 ( ) i ( )
Hay các phương trình x 2 + 2016x + 2017 - x = 0 i = 1,2,3 vô 
 EMBED Equation.DSMT4 i ( )
nghiệm
Bài 3: Xác định các hệ số a và b để đa thức P x x4 2x3 3x2 ax b là bình phương 
của một đa thức.
 Lời giải 
Ta có P(x) là bình phương của một đa thức thì:
 2
 P(x) = x2 cx d = x4 2cx3 c2 2d x2 2cdx d 2 , x ¡ .
 Mà: P(x) = x4 2x3 3x2 ax b
 Do đó ta có hệ phương trình: 
 2c 2 c 1
 2 
 c 2d 3 d 1
 2cd a a 2
 2 
 d b b 1
 Vậy: a 2,b 1.