Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 1

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 huyện ABC 2019-2020) 
 1 1 x
 Cho biểu thức A : x 0 
 x x x 1 x 2 x 1
 a) Rút gọn biểu thức A.
 1
 b) Tìm các giá trị của x để A  
 2
 Lời giải
 a) Rút gọn biểu thức A.
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 2.(Đề thi HSG NGHỆ AN 2019-2020) 
 Cho hàm số f (x) (x3 12x 31)2010
 Tính f (a) tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 Lời giải
 a 3 16 8 5 3 16 8 5
 a3 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 3 16 8 5 3 16 8 5 )
 a3 32 3.( 4).a
 a3 32 12a
 a3 12a 32 0
 a3 12a 31 1
 f (a) 12010 1
Câu 3. (Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 Tính giá trị biểu thức A 4 15 10 6 4 15
 Lời giải
 Ta có A 4 15 10 6 4 15 4 15 4 15 4 15 . 10 6 
 A 4 15.1. 2 5 3 8 2 15. 5 3 
 A 5 3 . 5 3 = 5 - 3 = 2
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 4. (Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
 2018 2019
 M N 
 x2 2x 3 x 2x 3
 Lời giải
 Điều kiện xác định của M là x2 2x 3 0
 (x 1)(x 3 0
 x 1 0 x 1 0
 hoặc 
 x 3 0 x 3 0
 x 3
 x 1
 2x 3 0
 Điều kiện xác định của N là x 2x 3 0 (*)
 x 2x 3 0
 2 2 x 3
 x 2x 3 x 2x 3 0 (**)
 x 1
 Từ (*) và (**) ta được x 3 là điều kiện xác định của M
Câu 5.(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:
 1 1 1 1 1 1
 a2 b2 c2 a b c
 Lời giải
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Ta có: 2 2 2 2 
 a b c a b c ab bc bc 
 1 1 1 c a b 1 1 1 2(a b c)
 2 2 2 2 2 2 2 
 a b c abc abc abc a b c abc
 1 1 1
 a2 b2 c2
 1 1 1 1 1 1
 Vậy 
 a2 b2 c2 a b c
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 6.(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 1 1 1 1 1 1
 Tính giá trị của biểu thức: B = 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Theo câu a) Ta có (*)
 a2 b2 c2 a b c a b a b
 Áp dụng (*) ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 (Vì 0)
 12 22 12 12 ( 2)2 1 1 ( 2) 1 1 2 1 1 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Tượng tự 1 ; 1 ; .
 22 32 1 2 3 32 42 1 3 4
 1 1 1 1 1
 1 
 20182 20192 1 2018 2019
 1 4076360
 Suy ra B 2019 
 2019 2019
Câu 7.(Đề thi HSG 9 BÌNH ĐỊNH 2016-2017) 
 2m 16m 6 m 2 3
 Cho biểu thức: P = 2 
 m 2 m 3 m 1 m 3
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
 Lời giải
 m 1
 Rút gọn được P = (với m 0, m 1)
 m 1
 m 1 2
 P = = 1 + 
 m 1 m 1
 2
 Ta có: P N N m 1 là ước dương của 2 m 4; 9 (TMĐK)
 m 1
 Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
Câu 8.(Đề thi HSG 9 THANH HÓA 2017 - 2018 ) 
 x 2 x x 1 1 2x 2 x
 1. Cho biểu thức P , với x 0, x 1. Rút 
 x x 1 x x x x x2 x
 gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. 
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 4(x 1)x2018 2x2017 2x 1
2. Tính giá trị của biểu thức P tại 
 2x2 3x
 1 3
x .
 2 3 2 2 3 2
 Lời giải
 1. Với điều kiện x 0, x 1, 
 x 2 x x 1 2x 2 x 1
 ta có: P 
 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 
 x x 2 x x 1 x 1 2x 2 x 1
 x x 1 x x 1 
 x x x 2 
 x x 1 x x 1 
 x 1 x 2 x 2
 .
 x 1 x x 1 x x 1
 Ta có với điều kiện x 0, x 1 x x 1 x 1 1
 x 2 x 2 1
 0 P 1 2
 x x 1 x 1 x 1
 x 2
 Do P nguyên nên suy ra P 1 1 x 1 (loại). 
 x x 1
 Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
 Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau
 x 2
 P Px P 1 x P 2 0 , coi đây là phương trình bậc hai của x . 
 x x 1
 Nếu P 0 x 2 0 vô lí, suy ra P 0 nên để tồn tại x thì phương trình trên có 
 2 4 2 4
 P 1 4P P 2 0 3P2 6P 1 0 P2 2P 1 P 1 
 3 3
 Do P nguyên nên P 1 2 bằng 0 hoặc 1
 +) Nếu P 1 2 0 P 1 x 1 không thỏa mãn.
 2 P 2
 +) Nếu P 1 1 P 2 2x x 0 x 0 không thỏa mãn
 P 0
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 9.( Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Đề 2. Tính giá trị của biểu thức :
thi 
 4 x 1 x2018 2x2017 2x 1 1 3
HSG P tại x .
9 2x2 3x 2 3 2 2 3 2
TỈNH 
 1 3 3 1
AN Vì x 
GIA 2 3 2 2 3 2 2
NG 
 3 1
2017 nên x là nghiệm của đa thức 2x2 2x 1.
 2
-
 2017 2
2018 2x 2x 2x 1 2x 1 2x 1
) Do đó P 3 3.
 2x2 2x 1 x 1 x 1
 C 
 h
 1 1 2x x 1 2x x x x 1
 o biểu thức P : với x 0, x 1, x 
 1 x x 1 x 1 x x 4
 4
 Tính giá trị của P tại x 3 5 3 5
 10 
 Lời giải
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 a) Ta có P : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 
 P : 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 1 x 
 : 2 x 1 
 x 1 x 1 x x x 1 
 2 x 1 2 x 1
 : 
 x 1 x 1 x x x 1 
 x x 1
 x
 Lại có :
 4
 x 3 5 3 5
 10 
 5 1 5 1 4
 . 4
 2 10
 4 4 1 3
 Vậy P 
 4 2
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 10.(Đề thi HSG 9 TỈNH BẾN TRE - 2017-2018 ) 
 2 3 5 2 3 5 
 Rút gọn biểu thức: A .
 2 2 3 5 2 2 3 5
 Lời giải
 2 3 5 2 3 5 
 Ta có: A 
 2 2 3 5 2 2 3 5
 2 2
 2 3 5 2 3 5 5 1 5 1 
 A 
 2 2
 4 6 2 5 4 6 2 5 4 5 1 4 5 1 
 2 2
 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5
 2 .
 5 5 5 5 5 5 5
Câu 11.(Đề thi HSG 9 TỈNH BẮC NINH 2017-2018 ) 
 x 2 x 1 x 2 x 1
 Rút gọn biểu thức: P , với x 2 .
 x 2x 1 x 2x 1
 Lời giải
 æ 2 2 ö
 2.ç ( x- 1+ 1) + ( x- 1- 1) ÷
 x- 1+ 2 x- 1+ 1+ x- 1- 2 x- 1+ 1 èç ø÷
 P = =
 2 2
 2x- 1+ 2 2x- 1+ 1- 2x- 1- 2 2x- 1+ 1 ( 2x- 1+ 1) - ( 2x- 1- 1)
 2
 2.( x- 1+ 1+ x- 1- 1) 2.2 x- 1
 = = = 2. x- 1.
 2x- 1+ 1- 2x- 1+ 1 2
Câu 12.(Đề thi HSG 9 HẠ HÒA 2015 -2016 ) 
 a) Cho f (x) (x3 12x 31)2015 . 
 Tính f(a) với a 3 16 8 5 3 16 8 5 .
 Lời giải
 a 3 16 8 5 3 16 8 5
 a3 32 33 (16 8 5)(16 8 5).( 3 16 8 5 3 16 8 5 )
 a3 32 3.( 4).a a3 32 12a a3 12a 32 0
 a3 12a 31 1 f (a) 12015 1
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 13.(Đề thi HSG 9 cấp Huyện ) 
 2 a 1 2 a 
 Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0
 a 1 1 a a a a a 1 
 1. Rút gon biểu thức A.
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 .
 Lời giải
 1. Với điều kiện a 0;a 1. Ta có:
 2 a 1 2 a 
 A = 1 : 
 a 1 1 a a a a a 1 
 a 2 a 1 1 2 a 
 = : 
 a 1 1 a (a 1)(1 a) 
 2
 a 1 a 1 2 a
 = :
 a 1 (a 1)(1 a)
 2
 a 1 (a 1)(1 a)
 = 1 a
 (a 1)( a 1) 2
 2. Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2
 Thì A = 1 + ( 2009 1) 2 2009
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 14.(Đề thi HSG NGHỆ AN 2019-2020) 
 Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
 1 1 1
 Tìm giá trị lớn nhất của biể thức: A 
 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1
 Lời giải
 Ta có (x y)2 0 x;y
 x2 xy y2 xy
 Mà x; y > 0 =>x+y>0
 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
 x3 + y3 ≥ (x + y)xy
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz
 x3 + y3 + 1 ≥ xy(x + y + z) > 0
 Tương tự:y 3 + z3 + 1 ≥ yz(x + y + z) > 0
 z3 + x3 + 1 ≥ zx(x + y + z) > 0
 1 1 1
 A 
 xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z)
 x y z 1
 A A 1
 xyz(x y z) xyz
 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 x = y = z = 1
Câu 15.(Đề thi HSG 9 THẠCH HÀ 2018-2019) 
 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 a b c
 a) 2
 b c c a a b
 1 1 1
 b) ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
 a b b c c a
 Lời giải
 a) Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a
 a(b c) a2 a(b c) ab ac a2 ab ac
 a 2a
 2a(b c) a(a b c) 
 b c a b c
 b 2b c 2c
 Tượng tự ta cũng có: ; 
 c a a b c b a a b c
 a b c 2a 2b 2c
 Suy ra: 2 (dpcm)
 b c c a a b a b c b c a a b c
 b) Ta có a + b > c 
 1 1 1 1 2 2 1
 b c c a b c a c a b a b c (a b) (a b) a b
 1 1 1 1 1 1
 Chứng minh tương tự ta có ; 
 c a a b b c a b b c c a
 1 1 1
 Vậy ; ; là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Đpcm)
 a b b c c a
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 16. Đề thi HSG 9 BÌNH ĐỊNH 2016-2017) 
 1 1 4
 Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 
 x y x y
 Lời giải
 1 1 4 a b 4 2 2
 a b 4ab a b 0 (đúng)
 x y x y ab a b
Câu 17. Đề thi HSG 9 BÌNH ĐỊNH 2016-2017) 
 Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
 Lời giải
 Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x2 và yz, ta có:
 1 1 1 1
 x2 + yz 2 x2 yz 2x yz . 
 x2 yz 2x yz 2 x yz
 1 1 1 1 1 1
 Tương tự, ta có: . và .
 y2 xz 2 y xz z2 xy 2 z xy
 1 1 1 1 1 1 1 
 Suy ra: (1)
 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 x yz y xz z xy 
 1 1 1 yz xz xy
 Ta có: = (2)
 x yz y xz z xy xyz
 Ta có: yz xz xy x + y + z (3)
 Thật vậy: (*) 2 yz 2 xz 2 xy 2x 2y 2z 
 2 2 2
 x y z x y x 0 (BĐT đúng)
 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
 1 1 1 x y z 1 1 1
 Từ (2) và (3) suy ra: (4)
 x yz y xz z xy xyz yz xz xy
 1 1 1 1 1 1 1 
 Từ (1) và (4) suy ra: 2 2 2 
 x yz y xz z xy 2 xy yz zx 
Câu 18.(Đề thi HSG 9 THANH HÓA 2017 - 2018 ) 
 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z. Chứng minh rằng
 xz y2 x 2z 5
 .
 y2 yz xz yz x z 2
 Lời giải
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 xz y 2z
 2 1 
 xz y x 2z yz yz
 Ta có P x
 y2 yz xz yz x z y2 xz z
 1 1 1 
 yz yz x
 x y 2z
 1 2 2 2
 y a b 1 2c
 z x , 
 y x z 2 2 2
 1 1 1 b 1 a 1 1 c
 z y x
 x y z
 trong đó a2 , b2 , c2 a,b,c 0 
 y z x
 x 1
 Nhận xét rằng a2. b2 1 do x z .
 z c2
 2 2 2 2 2 2 2
 a2 b2 2ab a a 1 ab 1 b b 1 ab 1 2aba a 1 b 1 
 Xét 
 b2 1 a2 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 
 2
 ab a2 b2 a b a3 b3 a b 2
 0
 a2 1 b2 1 ab 1 
 2
 a2 b2 2ab 2
 Do đó c 1 . Đẳng thức xảy ra khi a b .
 2 2 1
 b 1 a 1 ab 1 1 1 c
 c
 2 2 2
 2 1 2c2 5 2 2 1 c 1 c 1 2c 5 1 c 1 c 
 Khi đó 
 1 c c2 1 2 2 1 c 1 c2 
 3
 1 3c 3c2 c3 1 c 
 0 do c 1 2 
 2 1 c 1 c2 2 1 c 1 c2 
 Từ 1 và 2 suy ra điều phải chứng minh.
 Đẳng thức xảy ra khi a b, c 1 x y z.
Câu 19.(Đề thi HSG 9 TỈNH AN GIANG 2017-2018 ) 
 Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 12 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S 4 a3 b3 c3 a4 b4 c4 
 Lời giải
 Ta có :
  Trang 10 