Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 10

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019) 
 x 1 2 
 1. Cho biểu thức: P 1 : 1.
 x 1 x 1 x x x x 1 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Tìm x để Q x P nhận giá trị nguyên.
 2. Cho x x2 1 2y 4y2 1 1. Tính giá trị biểu thức x3 8y3 2019.
 Lời giải:
 1. ĐKXĐ: x 0, x 1.
 x 1 2 
 a) Ta có: P 1 : 1.
 x 1 x 1 x x x x 1 
 x 1 x 1 2 
 : 1
 x 1 x 1 x x 1 x 1 
 x 1 x 1 2
 : 1
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x 1 x x 1 2 x 1 x x 1
 : 1 : 1
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x 1 x x 1 x 1 x x 1 
 : 1 . 1
 x 1 x 1 x 1 x 1 
 x 1 x x 1 x x 1 x
 1 
 x 1 x 1 x 1
 x x x x x 1
 b) Ta có: Q x P x 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1
 x 1 1 (TM )
 Để Q ¢ thì 1 x 1 x 0. 
 x 1 1(KTM )
 Vậy x 0 Q ¢ .
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2. Xét biểu thức: x2 1 1  x.
 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0.
 Với x = 0 x x2 1 1 (1)
 Tương tự: 2y 4y2 1 1 khi y 0 (2)
 Từ (1) và (2) x x2 1 2y 4y2 1 1 x y 0.
 Với x y 0 x3 8y3 2019 2019.
 Vậy x3 8y3 2019 2019.
Câu 2.(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019) 
 2 3 6 8 4
 Thu gọn biểu thức: A .
 2 3 4
 Lời giải
 2 3 6 8 4
 Ta có A 
 2 3 4
 2 3 4 2 2 3 4 
 1 2 .
 2 3 4
Câu 3.(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019) 
 2
 a) Cho x . Tính giá trị của biểu thức 
 1 1
 2 1 11 2 1 1
 2018
 B 1 2x x2 x3 x4 .
 b) Cho x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 2 2 . Tính giá trị của biểu 
 thức:
 C x3 y3 3 x y 2018 .
 Lời giải
 2 2
 a) Ta có: x 2 . Thay x 2 
 1 1 2
 2 1 11 2 1 1 2 1 1 2 1 1 
 vào biểu thức, ta được:
 2 3 4 2018 2018
 B 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2018 1.
 b) Ta có :
 3
 x3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3x 3 2 2 6 3x .
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3
 y3 3 17 12 2 3 17 2 2 17 12 2 3y 17 12 2 34 3y .
 Cộng vế theo vế ta được: x3 y3 40 3x 3y x3 y3 3 x y 2018 2058 .
 Vậy C 2058 khi x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 2 2 .
Câu 4.(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019) 
 1. Tính giá trị biểu thức A 4 15 10 6 4 15
 2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
 2018 2019
 M N 
 x2 2x 3 x 2x 3
 Lời giải
 1. Ta có A 4 15 10 6 4 15 4 15 4 15 4 15 . 10 6 
 A 4 15.1. 2 5 3 8 2 15. 5 3 
 A 5 3 . 5 3 5 3 2
 Điều kiện xác định của M là x2 2x 3 0
 x 1 0 x 1 0
 hoặc 
 x 3 0 x 3 0
 x 3
 x 1
 2x 3 0
 2. Điều kiện xác định của N là x 2x 3 0 (*)
 x 2x 3 0
 2 2 x 3
 x 2x 3 x 2x 3 0 (**)
 x 1
 Từ (*) và (**) ta được x 3 là điều kiện xác định của M
Câu 5.(Đề thi HSG 9 huyện Thạch Hà 2018-2019) 
 1 1 1 1 1 1
 Tính giá trị của biểu thức: B 1 1 .... 1 
 12 22 22 32 20182 20192
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Theo câu 1) Ta có (*)
 a2 b2 c2 a b c a b a b
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Áp dụng (*) ta có:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 (Vì 0)
 12 22 12 12 ( 2)2 1 1 ( 2) 1 1 2 1 1 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Tượng tự 1 ; 1 ; .
 22 32 1 2 3 32 42 1 3 4
 1 1 1 1 1
 1 
 20182 20192 1 2018 2019
 1 4076360
 Suy ra: B 2019 
 2019 2019
Câu 6.(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành) 
 x 2 x 1 x 1
 1. Cho biểu thức: A : .
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a, Rút gọn biểu thức A .
 b, Chứng minh rằng: 0 A 2 .
 2 x 2 x
 2. Cho biểu thức: 2 với 2 x 2 và x 0 . 
 2 x 2 x
 x 2
 Tính giá trị của biểu thức: .
 x 2
 Lời giải
 1. a, Ta có: x 0, x 1. Khi đó:
 x 2 x 1 x 1 x 2 x x x x 1 2
 A : .
 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 x x 1 x 1
 x 2 x 1 2 2
 . 
 x 1 x x 1 x 1 x x 1
 b, Vì x 0, x 1 ta luôn có A 0
 2
 Lại có: x x 1 1 2 hay A 2 .
 x x 1
 Vậy: 0 A 2 .
 a c a b c d
 2. Áp dụng tính chất: . Ta có:
 b d a b c d
 2 x 2 x 2 2 x 2 1
 2 
 2 x 2 x 2 2 x 2 1
 Từ giả thiết 2 x 2 suy ra:
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 2 x 2 x 2 1 2 x 2 x 2
 0 3 2 2 17 12 2
 2 x 2 x 2 1 2 x x 2
Câu 7.(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019) 
 1. Cho biểu thức: 
 1 1 1 2 1 1 x y
 A . . :
 3 
 x y x y 2 xy x y x y xy xy
 a) Rút gọn biểu thức A . 
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 5 ; y = 3 5
 a b b c c a c a b
 2. Cho 2 biểu thức: P ;Q với a,b,c 0 thỏa 
 c a b a b b c c a
 mãn: a b c và a3 b3 c3 3abc . Chứng minh rằng: P.Q 9
 Lời giải
 1. a) ĐKXĐ: x 0; y 0; x y
 1 1 1 2 1 1 x y
 A . . :
 3 
 x y x y 2 xy x y x y xy xy
 x y 2 x y xy xy
 2 3 .
 xy x y x y x. y x y
 x y 2 xy xy xy
 2 .
 xy x y x y
 1 xy xy xy
 . 
 xy x y x y
 b) Với x 3 5 ; y 3 5 ta có: x y do đó:
 xy
 A 0
 x y
 2
 2 
 xy 3 5 3 5 42
 Mà A2 8
 2
 x y 2 xy 2 6 2.2
 (3 5) (3 5) 2 3 5 
 Vậy A 8 2 2
 2. Ta có: a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 0
 a b c a2 b2 c2 ab ac bc 0 (1)
 1
 Mà a2 b2 c2 ab ac bc (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 (Do a b c )
 2 
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Do đó: (1) a b c 0 a b c;a c b;b c a (2)
 Mặt khác:
 a b b c c a ab(b a) bc(b c) ac(c a)
 P 
 c a b abc
 ab(a b) b2c bc2 ac2 a2c (a b)(b c)(a c)
 P (3)
 abc abc
 Hơn nữa:
 a b z x y a b 2c 3c
 Đặt b c x Ta có: y z b c 2a 3a (do (2) )
 c a y z x a c 2b 3b
 Vì thế:
 c a b 1 x y y z z x 
 Q 
 a b b c c a 3 z x y 
 1 (x y).(y z).(x z)
 . (Biến đổi tương tự rút gọn P)
 3 xyz
 1 ( 3c).( 3a).[ ( 3b)]
 .
 3 (a b).(b c).(c a)
 9abc
 (4)
 (a b).(b c).(c a)
 (a b).(b c).(a c) 9abc
 Từ (3), (4) ta có: P.Q . 9
 abc (a b).(b c).(c a)
 Vậy P.Q 9 
Câu 8.(Đề thi chọn HSG 2018-2019) 
 2 a 1 2 a 
 Cho biểu thức: A 1 : , với a 0 .
 a 1 1 a a a a a 1 
 1. Rút gon biểu thức A .
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a 2010 2 2009 .
 Lời giải
 1. Điều kiện a 0 . Ta có:
 2 a 1 2 a 
 A = 1 : 
 a 1 1 a a a a a 1 
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a 2 a 1 1 2 a 
 = : 
 a 1 1 a (a 1)(1 a) 
 2
 a 1 a 1 2 a
 = :
 a 1 (a 1)(1 a)
 2
 a 1 (a 1)(1 a)
 = 1 a .
 (a 1)( a 1) 2
 2
 2. a 2010 2 2009 2019 1 
 A 1 ( 2009 1)2 2009 .
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 9.(Đề thi HSG 9 tỉnh Điện Biên 2018-2019) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A 5x2 9y2 12xy 24x 48y 82.
 Lời giải:
 Ta có: A 5x2 9y2 12xy 24x 48y 82
 4x2 9y2 12xy x2 24x 48y 82
 2
 [ 2x 3y 2. 2x 3y .8 64] x2 8x 16 2
 2 2
 2x 3y 8 x 4 2 2 (x, y).
 A 2 x, y.
 x 4
 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi 16
 y 
 3
 x 4
 Vậy MinA 2 16
 y 
 3
Câu 10.(Đề thi HSG 9 huyện Hoài Nhơn 2018-2019) 
 Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn x2019 y2019 z2019 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
 thức: E x2 y2 z2 .
 Lời giải
 Cách 1.
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2019 2019 2
 x x 1 1 1 ... 1 2019x . Dấu “ ” xảy ra khi x 1. 
 2017 so 1
 2019 2019 2
 y y 1 1 1 ... 1 2019y . Dấu “ ” xảy ra khi y 1.
 2017 so 1
 2019 2019 2
 z z 1 1 1 ... 1 2019z . Dấu “ ” xảy ra khi z 1.
 2017 so 1
 Khi đó: 
 2019 2019 2019
 6 x2019 y2019 z2019 6051 2019 x2 y2 z2 x y  z  3 x2 y2 z2 3.
 Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
 Cách 2.
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có các đánh giá sau:
 2019 3 2019 3
 x 1 1 1 ... 1 673x ; y 1 1 1 ... 1 673y và 
 672 so 1 672 so 1
 2019 3
 z 1 1 1 ... 1 673z
 672 so 1
 2019 2019
 x 1 1 1 ... 1 2019x ; y 1 1 1 ... 1 2019y và 
 2018 so 1 2018 so 1
 2019
 z 1 1 1 ... 1 2019z
 2018 so 1
 Khi đó:
 2019 2019 2019
 + x2019 y2019 z2019 2016 673 x3 y3 z3 x y  z  3 x3 y3 z3 3 .
 Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 2019 2019 2019
 + x2019 y2019 z2019 6054 2019 x y z x y  z  3 x y z 3.
 Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 Cosi
 Suy ra 6 x3 x y3 y z3 z 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3.
 x3 x
 3
 Dấu “ ” xảy ra khi y y x y z 1.
 3
 z z
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
 Cách 3. (Sử dụng BĐT HOLDER)
 Áp dụng bất đẳng thức HOLDER, ta có
 2019
 x2019 y2019 z2019 x2019 y2019 z2019 32017 x2 y2 z2 
 2019 2019 2019 2019
 x  y  z  3 32019 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 .
 Dấu “ ” xảy ra khi x y z 1.
 Vậy E đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x y z 1.
Câu 11.(Đề thi HSG 9 huyện Vũ Quang 2018-2019) 
 Tìm x, y để biểu thức F 5x2 2y2 2xy 4x 2y 3 đạt giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 Ta có 
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 F 5x2 2y2 2xy 4x 2y 3
 y2 4x2 1 4xy 4x 2y x2 y2 2xy 2
 y 2x 1 2 x y 2 2
 Do đó F 2 .
 1 1 
 Dấu " " xảy ra x; y ; 
 3 3 
 Vậy min F 2 
Câu 12.(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành) 
 Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 1. Chứng minh rằng: 
 x y z 9
 x yz y zx z xy 4
 Lời giải
 Ta có x yz x x y z yz x y z x .
 Tương tự ta có y zx x y y z , z xy y z z x .
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
 x y y z z x 2 xy.2 yz.2 zx 8xyz
 Suy ra:
 x y z x y z y z x z x y 2 x y y z z x xyz 
 x yz y zx z xy x y y z z x x y y z z x 
 2xyz 2xyz 9
 2 2 
 x y y z z x 8xyz 4
 (đpcm).
 1
 Đẳng thức xảy ra x y z .
 3
Câu 13.(Đề thi chọn HSG 2018-2019) 
 a2 b2
 Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab 6 . Chứng minh: 4 3.
 a b
 Lời giải
 a2 b2 (a b)2 2ab 12
 Ta có: a b .
 a b a b a b
 12 12
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a b 2 a b. 4 3 .
 a b a b
Câu 14.(Đề thi chọn HSG 9 Bắc Từ Liêm 2018-2019) 
 1 1 1
 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: 6. 
 x y y z z x
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng .
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 Lời giải
 1 1 1
 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: 6. 
 x y y z z x
 1 1 1 3
 Chứng minh rằng .
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2
 1 1 4 1 1 1 1 
 Áp dụng BĐT (Với a,b > 0) => 
 a b a b a b 4 a b 
 Ta có: 
 1 1 1 1 1 
 3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 4 x y x z (x y) (y z) 4 4 x y x z x y y z 
 1 2 1 1 
 16 x y x z y z 
 1 1 2 1 1 
 Tương tự: 
 3x 2y 3z 16 x z x y y z 
 1 1 2 1 1 
 2x 3y 3z 16 y z x y x z 
 Cộng vế theo vế, ta có:
 1 1 1 1 4 4 4 
 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z 
 4 1 1 1 1 3
 .6 
 16 x y x z y z 4 2
Câu 15.(Đề thi chọn HSG huyện Lục Nam) 
 Cho a,b,c 0 và a b c 3 . Chứng minh rằng:
 1 1 1
 a5 b5 c5 6
 a b c
 Lời giải
 1 1 1
 Áp dụng BĐT Côsi ta có: a5 2a2 ; b5 2b2 ; c5 2c2 .
 a b c
 1 1 1
 Từ đó suy ra: a5 b5 c5 2 a2 b2 c2 1 .
 a b c
  Trang 10 