Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 11

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đỡnh 2016-2017) 
 x x 1 x x 1 1
 Cho biểu thức A 4 . 2 
 x 1 1 x x x
 a) Rỳt gọn A.
 b) Tớnh giỏ trị biểu thức A khi x 2 3 2 3 3 5 3 5 
 Lời giải
 a) Với x 0, x 1, ta cú: 
 1
 A x x 1 x x 1 4 . 2
 x x 1 
 2x 2
 A 2
 x x 1
 2 x 1 
 A 2
 x
 2
 A .
 x
 b) x 2 3 2 3 3 5 3 5 
 4 2 3 4 2 3 6 2 5 6 2 5 
 2 2 2 2 
 3 1 3 1 5 1 5 1 
 2 2 2 2 
 2 2
 . 2.
 2 2
 Thay x 2 vào A ta được A 2. 
Cõu 2.(Đề thi HSG 9 huyện Ba Đỡnh 2017-2018) 
 Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
 A 29 12 5 2 3 16 8 5 
 a a2 b2 a a2 b2 a4 a2b2
 B : (với a 0;b 0; a b )
 2 2 2 2 2
 a a b a a b b
 Lời giải
 A 29 12 5 2 3 16 8 5 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A (3 2 5)2 3 128 64 5
 A (3 2 5)2 3 (2 2 5)3
 A (3 2 5) (2 2 5)
 A 1
 a a2 b2 a a2 b2 a4 a2b2
 B : (với a 0;b 0; a b )
 2 2 2 2 2
 a a b a a b b
 2 2
 2 2 2 2
 a a b a a b a4 a2b2
 B : 2
 a a2 b2 a a2 b2 b
 a2 2a a2 b2 a2 b2 a2 2a a2 b2 a2 b2 a2 (a2 b2 )
 B : do a b
 a2 a2 b2 b2
 4a a2 b2 b2
 B 2 .
 b a (a2 b2 )
 4a
 B 
 a
 Vậy B 4 nếu a 0 hoặc B 4 nếu a 0 . 
Cõu 3.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2018-2019) 
 x x x 1 x 2 x 5 
 Rỳt gọn P biểu thức P . , 
 x 2 x 2 x x 1 x x 2 
 với x 0, x 4. 
 Lời giải
Cõu 4.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2018-2019) 
 Cho a 3 7 50 , b 3 7 50 . Khụng dựng mỏy tớnh, hóy chứng minh cỏc 
 biểu thức M a b và M a3 b3 cú giỏ trị đều là số chẵn.
 Lời giải
Cõu 5.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2014-2015) 
 Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x:
 6x (x 6) x 3 3 1
 A = . 
 2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2
 Điều kiện x 0 , x 4; x 9 ; x 1
 Lời giải
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 6x (x 6) x 3 3 1
 A 
 2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2
 6x (x 6) x 3 3 1
 A 
 2(2 x)( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x)( x 1)
 Do x 0; x 1; x 4; x 9
 6x (x 6) x 3 3( x 1) 2( x 3)
 A = 
 2( x 1)( x 3)(2 x)
 6x x x 6 x 3 3 x 3 2 x 6
 A = 
 2( x 1)( x 3)(2 x)
 (2x 6 x) 2( x 3) x( x 3) x( x 3)
 A = 
 2( x 1)( x 3)(2 x)
 ( x 1)( x 3)(2 x) 1
 A = = => ĐPCM
 2( x 1)( x 3)(2 x) 2
Cõu 6.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2014-2015) 
 2 3 2 3
 Rỳt gọn biểu thức: B = 
 2 2 3 2 2 3
 Lời giải
 B 2 3 2 3 2 3 2 3
 2 2 4 2 3 2 4 2 3 3 3 3 3
 B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 3 3 3 3
 2 (3 3)(3 3) 6
 B
 1 B 2
 2
Cõu 7.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2015-2016) 
 x x 2x x 2 x x 2x x 2
 Cho P = + 
 x x 3 x 2 x x 3 x 2
 1. Rỳt gọn P. Với giỏ trị nào của x thỡ P > 1
 2. Tỡm x nguyờn biết P đạt giỏ trị nguyờn lớn nhất
 Lời giải
 1. Điều kiện x > 0; x 1; 4
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ( x 2)( x 1)( x 1) ( x 2)( x 1)( x 1)
 P = + 
 ( x 2)( x 1) 2 ( x 2)( x 1) 2
 x 1 x 1
 = + 
 x 1 x 1
 2(x 1)
 = 
 x 1
 2(x 1) 2(x 1) 2x 2 x 1
 P > 1 > 1 - 1 > 0 > 0
 x 1 x 1 x 1
 x 3
 > 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0
 x 1
 x – 1 > 0 x > 1 
 Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4
 Suy ra x > 1; x 4 thỡ P > 1
 2(x 1) 4
 2. P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4
 x 1 x 1
 P nguyờn x – 1 là ước của 4
 P đạt giỏ trị nguyờn lớn nhất x – 1 = 1 x = 2
 Vậy P đạt giỏ trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2
Cõu 8.(Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2015-2016) 
 x 2 x 1 x 1
 Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1.
 x x 1 x x 1 1 x 2
 a) Rỳt gọn biểu thức P.
 2
 b) Tỡm x để P .
 7
 c) So sỏnh: P2 và 2P.
 Lời giải
 a) Điều kiện: x 0, x 1.
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 x 1 x 1
 P :
 x x 1 x x 1 1 x 2
 x 2 x 1 x 1
 :
 3 
 x 1 x x 1 x 1 2
 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1
 :
 x 1 x x 1 2
 x 2 x 1 2
 .
 x 1 x x 1 x 1
 2
 x x 1
 b) Với x 0, x 1. Ta cú:
 2
 P 
 7
 2 2
 x x 1 7
 x x 1 7
 x x 6 0
 ( x 2)( x 3) 0
 Vỡ x 3 0 nờn x 2 0 x 4(t/m) 
 2
 Vậy P = khi x = 4
 7
 c) Vỡ x 0 x x 1 1
 2
 0 2
 x x 1
 0 P 2
 P(P 2) 0
 P2 2P 0
 P2 2P
 Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
 2
 Vậy P 2P
Cõu 9.(Đề thi HSG 9 huyện Yờn Định 2008-2009) 
 2x 4 1
 Cho biểu thức : P . 
 x - 2 x2 - 5x 6 x - 3
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
 b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên.
 Lời giải
 x 2 ; x 3
 a) Điều kiện : 2 x 2 và x 3 
 x - 5x 6 0
 2x 4 1
 P 
 x - 2 x2 - 5x 6 x - 3
 2x(x - 3) 4 (x - 2) 2x2 - 7x 6
 = = 
 (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x 3)
 (2x - 3)(x - 2 ) 2x - 3
 = = 
 (x - 2)(x 3) x 3
 2x - 3
 Vậy : P = với x 2 , x 3 .
 x 3
 2x - 3 (2x - 6) 3 3
 b) Ta có P = = = 2 + 
 x 3 x 3 x 3
 3
 nên P nguyên nguyên x - 3 là ước của 3 
 x 3
 x - 3 3 x 6
 x - 3 1 x 4
 x - 3 - 3 x 0 . 
 x - 3 -1 x 2 ( loại )
 Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0
Cõu 10.(Đề thi HSG 9 huyện Yờn Định 2008-2009) 
 Chứng minh rằng: 2 3 4 5... 2000 3
 Lời giải
 2 3 4 5... 2000 2 3... 1999.2001 2 3... 1998 20002 1
 2 3... 1998.2000 2 3... 1997 19992 1
 2 3... 1997.1999 ... 2.4 3
Cõu 11.(Đề thi HSG 9 quận Ba Đỡnh 2016-2017) 
 Tỡm số thực x để biểu thức 3 1 x 3 1 x là số nguyờn.
 Lời giải
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Đặt M 3 1 x 3 1 x x 0 
 2 2
 Ta cú M3 2 3 3 1 x 3 1 x 33 1 x 3 1 x 2 3.M.3 1 x 2 3M 
 (Vỡ 3 1 x 1 x 0) 
 M3 3M 2 0
 M 1 M2 M 2 0
 M 1 2 M 2 0 
 M 1
 M 2
 3
 a 1 x
 Đặt a 1,b 1 
 3
 b 1 x
 a b 1 a 1 b
 +) Với M 1, ta cú 3 3 2 3 3 
 a b 2 1 3b 3b b b 2
 a 1 b
 hệ vụ nghiệm
 2
 b b 1 0
 +) Với M 2 a b 2 a b 3 8 a3 b3 3ab a b 8 
 ab a b 2 ab a b a3 b3 a b a b 2 0 
 a b
 a b 0
 Nếu a b 2a3 2 a 1 x 0 
 Nếu a b 0 0 M 2. Vỡ M nguyờn nờn M 0;1;2 
 a b 0 a b
• M 0 hệ vụ nghiệm
 3 3 
 a b 2 0 2
 a b 1 a 1 b a 1 b
• M 1 
 3 3 2 2 2 2 2
 a b 2 a ab b 2 1 2b b b b b 2
 3 21
 a 
 6
 3 21 
 b 3 21
 6 b 
 a 1 b 6
 2 3 21 
 3b 3b 1 0 b 3 21
 6 a 
 6
 a 1 b 
 3 21
 b 
 6
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 21 9 2 21
 a 1 x 
 6 9 28
 Kết hợp điều kiện ta được x (TM )
 3 21 9 2 21 27
 b 1 x 
 6 9
 a b 2 a 2 b 4 4b b2 2b b2 b2 1
 • M 2
 3 3 2 2 
 a b 2 a ab b 1 a 2 b
 b 1
 x 0 (TM )
 a 1
 28
 Vậy với x 0 hoặc x thỏa món yờu cầu bài toỏn. 
 27
Cõu 12. (Đề thi HSG 9 quận Ba Đỡnh 2017-2018) 
 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x để x 19 ; 2x 10 ; 3x 13 ; 4x 37 đều là số nguyờn
 Lời giải
 13
 Điều kiện: x 
 3
 a x 19 0 a2 x 19
 2
 b 4x 37 0 b 4x 37
 4a 2 b2 39
 (2a b)(2a b) 39
 Do a,b Z;a,b 0;2a b 2a b 
 2
 2a b 1 a 10 10 x 19
 2
 2a b 39 b 19 19 4x 37 x 81
 2 x 3
 2a b 3 a 4 4 x 19 
 2a b 13 b 5 2
 5 4x 37
 Với x=81 ta cú
 x 19 = 100 10
 2x 10 = 172 khụng thỏa món
 3x 13 = 256 16
 4x 37 = 361 19
 Với x= - 3 ta cú
 x 19 = 16 4
 2x 10 = 4 2
 3x 13 = 1 1
 4x 37 = 25 5
 Vậy x= - 3 thỡ x 19 ; 2x 10 ; 3x 13 ; 4x 37 đều là số nguyờn
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Cõu 13.(Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2018-2019) 
 Cho a,b,c là cỏc số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 4 4 4
 a b c 
 P .
 a b b c c a 
 Lời giải
 1 1 1
 Ta cú: P 
 b c a
 (1 )4 (1 )4 (1 )4
 a b c
 b c a
 Đặt: x , y , z x, y, z 0, xyz 1.
 a b c
 1 1 1
 P 
 (1 x)4 (1 y)4 (1 z)4
 2
 1 1 1 1 
 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta cú: P 2 2 2 
 3 (1 x) (1 y) (1 z) 
 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta cú:
 2 
 2 x 2 1 y
 1 xy 1 1 x
 2 
 y 1 xy x y
 1 x 
 1 x
 Tương tự: 
 (1 y)2 (1 xy)(x y)
 Từ 2 BĐT trờn ta cú:
 1 1 1
 (1 x)2 (1 y)2 1 xy
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
 1 1 1 1 1 1
 Tương tự: 
 (1 z)2 (1 1)2 1 z (1 z)2 1 z 4
 1 1 1 1 1 1 z 1 1 3
 (1 x)2 (1 y)2 (1 z)2 1 xy 1 z 4 1 z 1 z 4 4
 3 3
 Ta cú: P , P x y z 1 a b c
 16 16
 3
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là: 
 16
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 14.(Đề thi HSG 9 quận Ba Đỡnh 2016-2017) 
 Cho a,b,c là cỏc số dương thỏa món a 2b 3c 8. 
 6 3 8
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M . 
 a b c
 Lời giải
 6 3 8 3
 Ta cú M a 2b 3c 12 
 a b c 2
 6 3 3 8 9 
 a 3b c 12 
 a 2 b c 2 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 số khụng õm ta được:
 M 2 9 2 9 2 36 12 12 
 a 2 4 a 2
 2 
 Dấu " " xảy ra khi b 1 b 1 
 16 4
 c2 c 
 9 3
 4
 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M 12 khi a 2,b 1,c .
 3
Cõu 15.(Đề thi HSG 9 quận Ba Đỡnh 2016-2017) 
 Tỡm số thực x để biểu thức 3 1 x 3 1 x là số nguyờn.
 Lời giải
 Đặt M 3 1 x 3 1 x x 0 
 2 2
 Ta cú M3 2 3 3 1 x 3 1 x 33 1 x 3 1 x 2 3.M.3 1 x 2 3M 
 (Vỡ 3 1 x 1 x 0) 
 M3 3M 2 0
 M 1 M2 M 2 0
 M 1 2 M 2 0 
 M 1
 M 2
 3
 a 1 x
 Đặt a 1,b 1 
 3
 b 1 x
 a b 1 a 1 b
 +) Với M 1, ta cú 3 3 2 3 3 
 a b 2 1 3b 3b b b 2
 a 1 b
 hệ vụ nghiệm
 2
 b b 1 0
  Trang 10 