Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 13

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Cho biểu thức P 2x 8x 4 2x 8x 4 , khẳng định nào dưới đây đúng ?
 1 B. P 2 với mọi x 1.
 A. P 2 với mọi x .
 2
 1
 C. P 2 2x 1 với mọi x 1. D. P 2 2x 1 với mọi x 1.
 2
 Lời giải
 Chọn đáp án B,D.
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018) 
 x 3 2 x 4 x 4 2017
 Rút gọn biểu thức P . Tìm x sao cho P .
 x 3 x 2 2018
 Lời giải
 Ta có:
 2
 x 3 2 x 4 x 4 x 3 2 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x 1
 P 
 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 
 2
 x 1 x 1
 .
 x 1 x 2 x 2
 2017 x 1 2017
 Mặt khác P x 2016 x 20162 .
 2018 x 2 2018
Câu 3.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 1 11 2
 Tính A 
 2 11 18 5 11
 Lời giải
 1 11 2 1 11 2 11 2 18 5 11 
 A 
 2 11 18 5 11 4 11 49
 9 11 5 11
 A 2
 7
Câu 4.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 x 2 x 1 x 1
 Tính Cho biểu thức A : với x 0 ; x #1
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 Rút gọn A và chứng minh A .
 3
 Lời giải
 + Rút gọn A 
 x 2 x 1 x 1
 A : Với x 0 ; x #1
 x x 1 x 1 x 1 x 2 x
 x 2 x x 1 1 x 1 x x 1
 A :
 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x
 2 
 x 1 2 x
 A .
 x 1 x 1 x x 1
 2 x
 A 
 x 1 x 
 2
 + Chứng minh A .
 3
 2 2 x 2
 Xét hiệu A 
 3 x 1 x 3
 2
 6 x 2x 2 x 2 2 x 1 
 A 0 với x 0 ; x #1
 3 x 1 x 3 x 1 x 
 2 2
 A 0 A 
 3 3
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Bình Thuận 2017-2018) 
 x2 x 3x 2 x 3(x 1) 
 Cho biểu thức: Q 25x : với x 1 và x > 0
 x x 1 x x 1 
 a) Rút gọn biểu thức Q
 b) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. 
 Lời giải
 a, Rút gọn. Với x 1 và x > 0, ta có:
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x2 x 3x 2 x 3(x 1) 
 Q 25x : 
 x x 1 x x 1 
 5 x : x( x 1) (3 x 2) 3( x 1) 
 5 x : (x x 3 x 2 3 x 3)
 5 x : (x x 1)
 5 x
 x x 1
 b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên.
 Dễ thấy Q>0.
 Phương trình sau có nghiệm x > 0, x 1
 5 x
 Q 
 x x 1
 Qx (Q 5) x Q 0 có nghiệm x > 0, x 1
 Qy2 (Q 5) y Q 0 có nghiệm y > 0, y 1
 (Q 5)2 4Q2 (3Q 5)( Q 5) 0
 5
 5 Q 
 3
 Mà Q nguyên và Q > 0 nên Q = 1 hoặc Q = 2
 Với Q = 1 Tìm được x 7 4 3 ( Thỏa mãn)
 Với Q = 2 phương trình vô nghiệm.
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 6.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an 
 toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để rào. Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào 
 AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng rau 
 an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ?
 A. 400 m2. B. 450 m2. C. 225 m2. D.550 m2.
 Lời giải
 Chọn đáp án B.
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 7.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ 
 A, B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A 
 đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được 
 bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).
 Lời giải
 Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A, B lên bờ sông. Đặt CE x 0 x 492 
 2
 Ta có CD 6152 487 118 492.
 Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB
 x2 1182 492 x 2 4872
 2 2
 Ta có với mọi a,b,c,d thì a2 b2 c2 d 2 a c b d (1).
 2 2
 Thật vậy 1 a2 b2 c2 d 2 2 a2 b2 c2 d 2 a c b d 
 a2 b2 c2 d 2 ac bd (2)
 Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac bd 0 bình phương hai vế ta được
 (2) trở thành ad bc 2 0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc.
 2 2
 Áp dụng (1) thì AE EB x 492 x 487 118 608089 779,8m
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 487x 118 492 x x 96m
 Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 8.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 3a b 3b c 3c a 
 Chứng minh rằng a b c 9 với a,b,c là độ dài ba cạnh 
 a2 ab b2 bc c2 ca 
 của một tam giác.
 Lời giải
 Giả sử a b c t và đặt a tx;b ty;c tz x y z 1.
 t 3x y t 3y z t 3z x 
 Ta chứng minht x y z 9
 2 2 2 2 2 2
 t x xy t y yz t z zx 
 3x y 3y z 3z x
 2 2 2 9.
 x xy y yz z zx
 4x x y 4y y z 4z z x 4 1 4 1 4 1
 9 9
 x x y y y z z z x 1 z x 1 x y 1 y z
 5x 1 5y 1 5y 1
 9
 x x2 y y2 z z2
 1 
 Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a b c x, y, z 0; .
 2 
 Ta có:
 5x 1 2 1 
 2 18x 3 3x 1 2x 1 0 đúng x 0; 
 x x 2 
 5y 1 2 1 
 2 18y 3 3y 1 2y 1 0 đúng y 0; 
 y y 2 
 5z 1 2 1 
 2 18z 3 3z 1 2z 1 0 đúng z 0; 
 z z 2 
 5x 1 5y 1 5y 1 5x 1 5y 1 5y 1
 Suy ra 18 x y z 9 9
 x x2 y y2 z z2 x x2 y y2 z z2
Câu 9.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hưng Yên 2017-2018) 
 1 3yz 4zx 5xy
 Cho x, y, z 0 thỏa mãn 2 y z . Chứng minh rằng 4
 x x y z
 Lời giải
 Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có
 3yz 4zx 5xy yz zx zy xy zx xy 
 2 3 2z 4y 6x
 x y z x y x z y z 
 1
 4 x y 2(z x) 8 xy 4 xz 4 x(2 y z) 4 x. 4 .
 x
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z .
 3
Câu 10.(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018) 
 Với x, y là hai số thực thỏa mãn y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 . Tìm giá trị lớn 
 nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018.
 Lời giải
 Điều kiện 3 x 3 .
 3
 y3 3y2 5y 3 11 9 x2 9x4 x6 y 1 3 2 y 1 9 x2 2 9 x2
 a3 2a b3 2b, a y 1;b 9 x2 
 a3 b3 2 a b 0 a b a2 ab b2 2 0 
 2
 2 2 1 3 2
 Do a ab b 2 a b b 2 0 .
 2 4
 Suy ra 
 a b 0 y 1 9 x2 0 y 9 x2 1
 x y x 9 x2 1 4 3 x 9 x2 4 
 3 x 0
 x 3 y 1.
 Đẳng thức xảy ra khi 2 Vậy giá trị lớn nhất của T là 2022 
 9 x 0
 tại x = 3; y=-1. 
 Ta lại có 
 x y 1 3 2 x 9 x2 1 1 3 2 x 3 2 9 x2 x2 6 2x 18 9 x2 
 2
 2x2 6 2x 9 0 2x 3 0 (Đúng).
 Suy ra T x y 2018 1 3 2 2018 2019 3 2 
 3 2
 Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2x 3 0 x (thỏa mãn). Suy ra 
 2
 3 2 3 2 2
 y 1 3 2 .
 2 2
 3 2 3 2 2
 Vậy GTNN T là 2019 3 2 tại x ; y .
 2 2
Câu 11.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Bình Dương 2016-2017) 
 a) Chứng minh với mọi số a,b,c,d ta luôn có: (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2
 a2 b2 1
 b) Cho a,b 0 chứng minh rằng: 
 (4a 3b)(3a 4b) 25
 Lời giải
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a) Ta có:
 (a2 c2 )(b2 d 2 ) (ab cd)2
 a2b2 a2d 2 c2b2 c2d 2 a2b2 c2d 2 2abcd
 a2d 2 c2b2 2abcd 0
 ad cb 2 0 luôn đúng.
 b) Ta có:
 a2 b2 1
 25a2 25b2 (4a 3b)(3a 4b)
 (4a 3b)(3a 4b) 25
 13(a2 b2 ) 25ab 13(a b)2 ab 0
 a2 b2 1
 Dấu “=” không xảy ra, vậy: 
 (4a 3b)(3a 4b) 25
Câu 12.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Giang 2017-2018)
 b2 c2 c2 a2 a2 b2
 Cho a,b,c 0 . Chúng minh rằng: 2 a b c . 
 a b c
 Lời giải
 b2 c2 c2 a2 a2 b2 bc ca ab 
 Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có 2 
 a b c a b c 
 bc ca ca ab ab bc 
 2 a b c .
 a b b c c a 
 Dấu bằng xảy ra khi a b c.
Câu 13.(Đề thi HSG 9 TP Hồ Chí Minh 2017-2018) 
 Cho hai số thực x , y . Chứng minh rằng 1 x2 1 y2 2x 1 y2 . 
 Lời giải
 Ta có 1 x2 1 y2 2x 1 y2 
 x2 y2 x2 y2 1 2x 2xy2
 x2 2x 1 x2 y2 2xy2 y2 0
 2 2
 x 1 xy y 0 ( bất đẳng thức đúng).
 Vậy 1 x2 1 y2 2x 1 y2 
Câu 14.(Đề thi HSG 9 TP Hà Nội 2017-2018) 
 Cho x ,y,z 0 thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x y z
 P 
 y 3 16 z 3 16 x 3 16
 Lời giải
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1
 Ta sẽ chứng minh P với dấu bằng đạt được tại x , y ,z 0,1,2 (và các hoán vị 
 6
 1
 vòng quanh của bộ này). Bất đẳng thức P tương đương với
 16
 16x 16y 16z 8
 y 3 16 z 3 16 x 3 16 3
 16x 16y 16z 8
 Hay x 3 y 3 z 3 x y z 
 y 16 z 16 x 16 3
 xy 3 yz 3 zx 3 1
 Một cách tương đương, ta phải chứng minh (1)
 y 3 16 z 3 16 x 3 16 3
 Không mất tính tổng quát, giả sử y nằm giữa x và z . Ta có:
 2
 y 3 16 y 4 y 2 12y 12y
 y xy 2
 nên .
 y 3 16 12
 yz 3 yz 2 zx 3 zx 2
 Đánh giá tương tự, ta cũng có ; 
 z 3 16 12 x 3 16 12
 xy 3 yz 3 zx 3 xy 2 yz 2 zx 2
 Suy ra 2 
 y 3 16 z 3 16 x 3 16 12
 Do y nằm giữa x và z nên ta có y z y z 0, suy ra y 2 zx xy yz và 
 xy 2 zx 2 xy 2 xyz . Từ đó, ta có đánh giá
 2 2 2
 xy 2 yz 2 zx 2 y x 2 xz z 2 y x z y 3 y 4 4 y y 1 4 3 
 1
 Từ (2) và (3), ta thu được (1). Vậy min P .
 6
Câu 15.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2017-2018) 
 Cho x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Tìm GTNN của 
 F 5x2 11xy 5y2 . 
 Lời giải
 Đặt F 5x2 11xy 5y2 f x; y , m là GTNN của F .
 Ta có m là số nguyên và f 0;1 f 1;0 5 m 5 .
 Vì x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 nên 5x2 11xy 5y2 0 hay F 0 .
 Xét x 2n ; y 2k . Ta có f x; y f 2n;2k 4 f n;k nên giá trị f 2n;2k không 
 thể là GTNN. Do đó GTNN của F xảy ra khi x , y không cùng chẵn, vì vậy m là số lẻ.
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 * Nếu m 1 suy ra tồn tại x , y để 5x2 11xy 5y2 1
 2
 100x2 220xy 100y2 20 10x 11y 221y2 20
 2 2
 10x 11y 20 221y2 M3. Suy ra 10x 11y chia 13 dư 6 hoặc dư 7 . Mà số 
 chính phương khi chia 13 chỉ có dư 0 , 1 , 3 , 4 , 9 , 10 , 12 . Do đó vô lý.
 * Nếu m 3 suy ra tồn tại x , y để 5x2 11xy 5y2 3
 2
 100x2 220xy 100y2 60 10x 11y 221y2 60
 2 2
 10x 11y 60 221y2 M3. Suy ra 10x 11y chia 13 dư 5 hoặc dư 8 . Mà số 
 chính phương khi chia 13 chỉ có dư 0 , 1 , 3 , 4 , 9 , 10 , 12 . Do đó vô lý.
 Vậy GTNN của F là 5 .
Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH
Câu 16.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 2
 Cho phương trình x mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có 
 nghiệm kép là
 A. 4; 4. B. 4. C. 4. D. 16.
 Lời giải
 Chọn đáp án A.
Câu 17.(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018) 
 Cho phương trình x2 2 2m 3 x m2 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của 
 m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 , (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức 
 1 1
 đạt giá trị nhỏ nhất.
 x1 x2
 Lời giải
 Phương trình có hai nghiệm khác 0 khi 
 2 2 m 1
 2m 3 m 0 m 3 m 1 0 
 m 3 .
 2 
 m 0 m 0 
 m 0
 x1 x2 2 2m 3 
 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có .
 2
 x1x2 m
 2 2
 1 1 x1 x2 2 2m 3 12m 18 2m 2m 12m 18
 Lại có 2 2 2
 x1 x2 x1x2 m 3m 3m
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 2 2 m 3 2
 .
 3 3m2 3
 Dấu bằng sảy ra khi m 3 .
Câu 18.(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018) 
 Giải phương trình x2 4x x2 4 20.
 Lời giải
 Ta có:
 x2 4x x2 4 20 x x 4 x 2 x 2 20 x2 2x x2 2x 8 20
 2
 x2 2x 4 4 x2 2x 4 4 20 x2 2x 4 16 20 .
 2
 2 x 2x 4 6
 x2 2x 4 36 .
 2
 x 2x 4 6
 Ta thấy phương trình x2 2x 4 6 vô nghiệm.
 x 1 11
 Mặt khác, x2 2x 4 6 x2 2x 10 0 .
 x 1 11
 Vậy phương trình có nghiệm là x 1 11 và x 1 11 .
Câu 19.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Giang 2017-2018) 
 2x 13x
 Giải phương trình: 6 .
 2x2 5x 3 2x2 x 3
 Lời giải
 3
 ĐKXĐ: x 1; x .
 2
 Xét x 0 không là nghiệm.
 2 13
 Xét x 0 , phương trình đã cho tương đương với 6 .
 3 3
 2x 5 2x 1 
 x x
 3 2 13
 Đặt 2x 5 t ta được 6 2t 2 7t 4 0 2t 1 t 4 0
 x t t 6
 1
 t 
 2
 t 4
 3
 1 3 1 x 
 Với t 2x 5 4 .
 2 x 2 
 x 2
 3
 Với t 4 2x 5 4 2x2 x 3 0 vô nghiệm.
 x
  Trang 10 