Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Bộ 2

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện BA VÌ 2019-2020) 
 x 3 8x2 3x 1 
 Cho biểu thức P 1 2 : 3 2 2 
 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 
 a) Rút gọn P .
 b) Tìm các giá trị của x để P 0; P 1.
 c) Tìm các giá trị của x để P 0 .
 Lời giải
 x 3 8x2 3x 1 
 Cho biểu thức P 1 2 : 3 2 2 
 x 5x 6 4x 8x 3x 12 x 2 
 x 4
 a)Sau khi biến đổi thu gọn ta được P 
 6
 b)Với P 0 x 4 t / m với P 1 x 2( không thỏa mãn đkxđ) 
 c) P 0 x 4 0 x 4 và x 0;2; 2; 3 .
Câu 2. (Đề thi HSG 9 VINH 2019-2020) 
 a 1 a 1 1 
 Cho biểu thức: P 4 a a .
 a 1 a 1 a 
 a) Rút gọn P. 
 b) Tính giá trị của P tại a 2 3 3 1 2 3
 Lời giải
 a 0
 a 0
 a) Điều kiện a 1 
 a 1
 a 0
 2 2
 a 1 a 1 4 a a 1 a 1
 P .
 a 1 a
 4 a 4 a a 1 4 a(1 a 1)
 4a
 a a
 Vậy P 4a .
 b) a 2 3 2 3 2 3 . 3 1 
 2
 2 3 . 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2 3 2 3 2
 . 
 Vậy a 2 do đó P 4a 4 2 .
Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 Với giá trị nào của x thì x2 9 có nghĩa?
 Lời giải
 2 2 x 3
 Để biểu thức x 9 có nghĩa thì x 9 0 
 x 3
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 Rút gọn biểu thức A 7 4 3 4 2 3
 Lời giải
 Ta có A 7 4 3 4 2 3
 A (2 3)2 ( 3 1)2
 A 2 3 3 1
 A 3
Câu 5. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 x2 x2
 Rút gọn biểu thức P x2 4 x2 4 với x 2 2
 4 4
 Lời giải
 x2 x2
 P x2 4 x2 4
 4 4
 x2 4 x2 4
 P x2 4 1 x2 4 1
 4 4
 2 2
 x2 4 x2 4 
 P 1 1 
 2 2 
 x2 4 x2 4
 P 1 1
 2 2
 x2 4 x2 4
 P 1 1 (Vì x 2 2 )
 2 2
 P 2
Câu 6.(Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011) 
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a 0, a 1 .
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 6
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên?
 M
 Lời giải
 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
 a) Do a 0; a 1 nên: và 
 a a a( a 1) a
 a2 a a a 1 (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
 a a a a(1 a) a(1 a) a
 a 1
 M 2
 a
 Do a 0; a 1 nên: ( a 1)2 0 a 1 2 a
 2 a
 M 2 4
 a
 6 3
 b) Ta có 0 N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
 M 2
 6 a
 Mà N = 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2)2 3 
 a 1 2 a
 a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp)
 Vậy N nguyên a (2 3)2
Câu 7.(Đề thi HSG 9 huyện HOÀNG HÓA 2019) 
 3x 9x 3 x 1 x 2
 Cho biểu thức P .
 x x 2 x 2 x 1
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 3 20 14 2 3 20 14 2
 Lời giải
 a/ ĐKXĐ: x 0 , x 1
 3x 3 x 3 x 1 x 2
 Ta có P 
 ( x 1)( x 2) x 2 x 1
 3x 3 x 3 ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2)
 ( x 1)( x 2)
 3x 3 x 3 x 1 x 4 x 3 x 2
 ( x 1)( x 2) x 1 x 2 
 x 1 x 2 x 1
 x 1 x 2 x 1
 b) Rút gọn P khi x 3 20 14 2 3 20 14 2 . CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Ta có x 3 20 14 2 3 20 14 2
 x3 40 33 20 14 2 20 14 2 3 20 14 2 3 20 14 2 
 x3 40 6x x3 6x 40 0
 2
 x 4 x2 4x 10 0 x 4 (vì x2 4x 10 x 2 6 0 )
 Thay x 4 vào biểu thức thu gọn ta được P 3
Câu 8. (Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020) 
 Tính giá trị của biểu thức:
 a) A 7 13 7 13 2 . 
 2 2
 x2 y2 4 x y x2 x y y2
 b) B (Điều kiện: x y 0). 
 xy x x y y x y 
 Lời giải
 a) A 7 13 7 13 2 2A 14 2 13 14 2 13 2 
 2 2
 2A 13 1 13 1 2
 2A 13 1 13 1 2
 A 0 .
 b) Vì x y 0 nên xy 0 và x y 0 . Khi đó: 
 2 2
 x2 y2 4 x y x2 x y y2 xy 2 y x x y x y 
 B 
 xy x x y y x y xy x x y y x y 
 1 2 1 2 . 
Câu 9. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 2 3 5 13 48
 Chứng minh rằng :A là số nguyên. 
 6 2
 Lời giải
 2 2 3 ( 6 2)2
 A = 1 ¢ . 
 6 2 6 2
Câu 10. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019) 
 Tính giá trị biểu thức: A 2 3 2 3 
 Lời giải CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2
 A2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 
 A2 4 2 4 3 4 2 2
 Vậy A 1. 
Câu 11. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019) 
 2
 2 2019 2019
 Tính giá trị của biểu thức: M 1 2019 
 2020 2020
 Lời giải
 2
 Ta có: 20202 2019 1 20192 2.2019.1 1 
 2 2
 1 2019 2020 2.2019 
 2 2
 2 2019 2019 2 2019 2019
 M 1 2019 2020 2.2019 2 
 2020 2020 2020 2020
 2
 2019 2019 2019 2019
 2020 2020 2020 
 2020 2020 2020 2020
Câu 12. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 Tính giá trị của biểu thức A 3 5 3 5 2 .
 Lời giải
 1 5 5 1 5 5
 A 3 5 3 5 2 2 2 2 
 2 2 2 2 2 2
 2 2
 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 
 2 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 10. 2 2 2 10 1 .
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 13. (Đề thi HSG 9 huyện BA VÌ 2019-2020) 
 Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc 1 . 
 1 1 1 1
 Chứng minh rằng: A 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2
 Lời giải
 Với a,b,c 0 , ta có: CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1
 A 
 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3
 1 1 1
 a2 b2 b2 1 2 b2 c2 c2 1 2 c2 a2 a2 1 2
 1 1 1
 2ab 2b 2 2bc 2c 2 2ca 2a 2
 1 1 1 1 abc b
 2A 
 ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b 1 bc c abc abc ab b
 (doabc 1) 
 1 ab b
 1 
 ab b 1 b 1 ab 1 ab b
 1
 A (đpcm)
 2
Câu 14.(Đề thi HSG 9 huyện HẢI LĂNG 2008-2009) 
 x2 4x 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A 
 x2
 Lời giải
 x2 4x 1 4 1
 Ta có: A 1 
 x2 x x2
 2
 4 1 1 
 3 4 2 3 2 3
 x x x 
 1 1
 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2 0 x 
 x 2
Câu 15. (Đề thi HSG 9 huyện CAM LỘ 2008-2009) 
 a4 b4
 a) Chứng minh rằng ab3 a3b a2b2.
 2
 1 1
 b) Cho hai số dương a,b và a 5 b . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P . 
 a b
 Lời giải
 a4 b4
 a) ab3 a3b a2b2 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2
 2
 a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0 
 (a4 2a3b a2b2 ) (b4 2ab3 a2b2 ) 
 (a2 ab)2 (b2 ab)2 0 
 1 1 a b 5 20 20 4
 b) P P 
 a b ab ab 4ab (a b)2 5 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 4 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a b . 
 5 2
Câu 16. (Đề thi HSG 9 VINH 2009-2010)
 Cho x, y là các số dương.
 x y
 a) Chứng minh: 2 .
 y x
 x y xy
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M .
 y x x2 y2
 Lời giải
 x y
 a) Vì x > 0, y > 0 nên 0 và 0
 y x
 Áp dụng bất đẳng thức a b 2 ab dấu "=" xảy ra a b
 x y x y
 ta có 2 . 2
 y x y x
 x y
 Vậy 2 .
 y x
 x y
 Dấu "=" xảy ra x2 y2 x y (vì x > 0, y > 0)
 y x
 x y 1 3a a 1
 b) Đặt a , ta có M a 
 y x a 4 4 a
 x y 3a 3
 Vì a 2 nên ; 
 y x 4 2
 a 1 a 1 1
 Ta có 2 . 2. 1
 4 a 4 a 2
 1 3a a 1 3 5 5
 Do đó M a 1 ; M a 2 x y
 a 4 4 a 2 2 2
 5
 Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi và chỉ khi x y .
 2
Câu 17. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 Chứng minh bất đẳng thức a(4a 5b) b(4b 5a) 3(a b) với a,b là các số không 
 âm. Dấu “=” xảy ra khi nào?
 Lời giải
 Ta có a(4a 5b) b(4b 5a)
 a. (4a 5b) b. (4b 5a)
 (a b)(4a 5b 4b 5a) (Bất đẳng thức Bunhia) CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 9(a b)2 
 3(a b)
 a 4a 5b
 Dấu “=” xảy ra 
 b 4b 5a
 a 4a 5b
 b 4b 5a
 4ab 5a2 4ab 5b2
 a b (Vì a,b 0 )
Câu 18. (Đề thi HSG 9 huyện CẨM XUYÊN 2019-2020) 
 1
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B x2 x 
 2
 Lời giải
 1
 Ta có B x2 x 
 2
 2
 1 3
 B x 
 2 4
 2
 3 1 1
 MaxB Dấu “=” xảy ra x x 
 4 2 2
Câu 19. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F 5x2 2y2 4xy 2x 4y 2020 .
 Lời giải
 F 2x 2 2.2x.y y2 x2 2x 1 y2 2.y.2 4 2015 
 2x y 2 x 1 2 y 2 2 2015 
 2 2 2
 Vì 2x y 0 , x 1 0 , y 2 0 , với x, y ¡ .
 Do đó F 2015 
 2x y 2 0
 2 x 1
 Vậy F đạt GTNN bằng 2015 khi x 1 0 .
 y 2
 y 2 2 0
Câu 20. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG KHÊ 2019) 
 Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x y và xy 1. Tìm GTNN của biểu thức 
 x2 y2
 A .
 x y CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 x y 2 2xy
 Ta có: A 
 x y
 2 2
 x y 2 x y 2 2
 Mà xy 1 thay vào A, ta có: A x y 
 x y x y x y x y
 2 2
 Vì x y nên x y 0 . Áp dụng BĐT Cô-si: A x y 2 x y . 
 x y x y
 hay A 2 2 .
 2 2
 Amin 2 2 khi x y x y 2 , kết hợp x y 0 x y 2 
 x y
 x 2 y 
 Mà xy 1, khi đó 2 y y 1 y2 2y 1 0 
 2
 Ta có Vy 2 4.1. 1 6 0 
 2 6
 y TM 2 6
 2 . khi đó x 2 
 2 6 2
 y L 
 2
 2 6 2 6
 Vậy A đạt GTNN bằng 2 2 khi x 2 , y 
 2 2
Câu 21. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 a 2 b c b2 a c 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P , trong đó a,b,c là độ dài ba 
 abc
 cạnh của một tam giác vuông ( c là độ dài cạnh huyền).
 Lời giải
 Vì c2 a 2 b2 2ab nên c 2ab .
 2 2
 a 2 b c b2 a c ab a b c a b a b c2 2 ab 2ab.c
 P 
 abc abc c ab c ab
 Ta có :
 2 ab 2ab.c 2 ab c 2 2 ab c 2 1 c 2 ab c 2 1 2ab
 2 . 
 c ab c ab c ab ab c ab ab
 2 2 .
 Vậy giá trị nhỏ nhất P 2 2.
Câu 22. (Đề thi HSG 9 huyện HƯƠNG SƠN 2019-2020) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 1 x 3 x
 Lời giải
 C 1 x 3 x CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ĐK: 3 x 1 (1)
 Vì C 0 nên C nhỏ nhất khi C2 nhỏ nhất.
 Ta có: C2 4 2 1 x 3 x .
 2
 C2 nhỏ nhất khi 1 x 3 x 3 2x x2 x2 2x 1 4 4 x 1 nhỏ nhất, 
 2 2
 tức là khi x 1 nhỏ nhất. Bởi điều kiện (1) nên x 1 nhỏ nhất khi x 3 hoặc x 1
 Khi đó C2 4 C 2.
Câu 23.(Đề thi HSG 9 huyện HOẰNG HÓA 2019) 
 Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn a b c 1. Tìm GTLN 
 của biểu thức: P a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc .
 Lời giải
 a2 abc abc a a a b c bc bc a a b a c bc 
 1 3 1 
 Theo BĐT cosi ta có: a 3. .a a 
 3 2 3 
 a b a c b c
 a b a c bc 1
 2 2
 2 3 1 
 Từ đó suy ra a abc abc a 
 2 3 
 Tương tự ta có: 
 2 3 1 2 3 1 
 b abc abc b ; c abc abc c 
 2 3 2 3 
 3
 a b c 1
 Mà abc .
 3 3 3
 3 1 3 1 3 1 6 5 3
 Từ đó P a b c .
 2 3 2 3 2 3 3 3 3
 1
 Dấu bằng xảy ra a b c .
 3
Câu 24.(Đề thi HSG 9 huyện NAM ĐÀN 2019-2020) 
 Cho a , b , c là các số dương thoả mãn: a b c 3.
 2 2 2 2 2 2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M a ab b b bc c c ca a . 
 Lời giải
 3
 Ta có: a2 ab b2 a b 1 
 2