Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 6: Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức - Năm 2020 (Có đáp án)

 CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
 I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để chứng minh bất đẳng thức A B . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất 
đẳng thức trên thành một bất đẳng thức phổ biên là các dạng sau:
+ Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức : A B A B 0
+ Dạng tổng bình phương: A B mX 2 nY 2 kZ 2 0 , với các số m,n,k không âm
+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu: A B X.Y 0 hoặc A B X 2n .Y 0
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là số thực bất kỳ.
 2
 a, a2 b2 2ab b, 2 a2 b2 a b 
 2
 c, a b 4ab d, a2 b2 c2 ab bc ca.
 e,3( a2 b2 c2 ) a b c 2 f , a b c 2 3(ab bc ca).
 a2 b2 c2
 g, a2 b2 c2 3 2 a b c . h, a b c với a,b,c 0
 b c a
Lời giải:
a, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 2ab * 
 a2 2ab b2 0 a b 2 0 rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu đẳng thức xẩy ra 
khi và chỉ khi a b .
b, Cộng hai vế (*) với a2 b2 ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
c, Cộng 2 vế (*) với 2ab ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
d, Từ a2 b2 2ab , tương tự ta cũng có: b2 c2 2bc;c2 a2 2ca cộng 3 bất đẳng thức cùng 
chiều ta có: 2 a b c 2 2(ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca ** 
Ngoài ra ta cũng có thể làm cách khác :
 a2 b2 c2 ab bc ac 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 a b 2 b c 2 c a 2 0. 
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
e. Nhân hái vế (**) với 2 rồi cộng hai vế với a2 b2 c2 . Ta thu được bất đẳng thức cần 
chứng minh .
f. cộng 2 vế (**) với 2 ab bc ca ta thu được điều phải chứng minh.
g. Ta viết lại bắt đẳng thức cần chứng minh thành : a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1 0 
 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 
h. Với mọi số thực dương a, b, c và số thực k thỏa mãn 0 k 1. ta có :
 a b 2 0 1 k a b 2 0 a b 2 k a b 2 a2 b2 2ab k a b 2 
 2
 a2 a b 
Chia hai vế cho b 0 ta thu được : b 2a k , tương tự ta cũng có hai băt dẳng 
 b b
thức nửa và cộng lại thì ta thu được :
 2 2 2
 a2 b2 c2 a b b c c a 
 a b c 2a 2b 2c k 
 b c a b c a 2 2 2
 a2 b2 c2 a b b c c a 
Hay a b c k a b c 
 b c a b c a 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2.
 Cho các số thực không âm a, b . Chứng minh các đẳng thức sau:
 a. a3 b3 ab(a b).
 b. 4 a3 b3 a b 3 .
 c. ax by 2 a2 b2 x2 y2 .
 1 1 2
 d. với a.b 1.
 a2 1 b2 1 1 ab
 1 1 2
 e. với a.b 1.
 a2 1 b2 1 1 ab
 1 1 1
 f. .
 a 1 2 b 1 2 ab 1
 2
 x2 y2 x y 
 g. với a,b, x, y 0.
 a b a b
 h. ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 .
 2
 x2 y2 z2 x y z 
 i. với a,b,c, x, y, z 0.
 a b c a b c
 1 1 1 3
 j. với a,b,c 1.
 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc
 k. a4 b4 c4 abc a b c .
 Lời giải:
 a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : a3 b3 ab a b 0 
 a b a2 ab b2 ab 0 a b a b 2 0 . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng . 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
 b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 4 a3 b3 a b 3 0 
 2
 a b 4 a2 ab b2 a b 2 0 a b 3 a b 0.
 Bất đẳng thức cuối cùng 
 luôn đúng . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
 c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 a2 b2 x2 y2 ax by 2 0 a2 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 x2 2abxy b2 y2 0 
 Hay a2 y2 2abxy b2 x2 0 ay bx 2 0. Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng . Dấu đẳng 
 thức xảy ra khi và chỉ khi ax = by. 
 d. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 a2 b2 2 2
 a2 b2 2 1 ab 2 a2 1 b2 1 
 a2 1 b2 1 1 ab
 a2 b2 a3b ab3 2ab 2 2a2b2 2a2 2b2 2 a3b 2a2b2 ab3 a2 2ab b2 0 a3b 2a2b2 ab3 a2 2ab b2 0 ab a2 2ab b2 a2 2ab b2 0
 ab 1 a b 2 0. Bất đẳng thức luôn đúng với mọi số thực a,b và a.b 1. 
 e. Làm tương tự câu d.
 f. Áp dụng bất đẳng thức ở câu c ta có :
 2
 2 a a ab 1 a b 1 b
 a 1 ab. 1.1 ab 1 1 
 2 .
 b b b a 1 a b ab 1 
 1 a
 Tương tự ta cũng có : , cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta thu 
 b 1 2 a b ab 1 
 được:
 1 1 b a 1
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
 a 1 2 b 1 2 a b ab 1 a b ab 1 ab 1
 khi a = b =1.
 g. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
 2 2 2
 bx ay x y 2
 a b bx2 ay2 ab x y 
 ab a b
 abx2 aby2 b2 x2 a2 y2 abx2 aby2 2abxy b2 x2 2abxy a2 y2 0 bx ay 2 0 .
Rõ ràng bất đẳng thức cuối luôn đúng . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx .
h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 0 
 a2 x2 y2 z2 b2 x2 y2 z2 c2 x2 y2 z2 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2abxy 2bcyz 2cazx 0.
 a2 y2 2abxy b2 x2 b2 z2 2bcyz c2 y2 c2 x2 2cazx a2 z2 0 
 ay bx 2 bz cy 2 cx az 2 0. Bất đẳng thức này luôn đúng . Dấu đẳng thức xảy ra 
 ay bx
 a b c
khi và chỉ khi bz cy . 
 x y z
 cx az
i ) Áp dụng bất đẳng thức ở câu g liên tục hai lần ta có :
 2 2
 x2 y2 z2 x y z2 x y z 
 ( đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 a b c a b c a b c
 a b
 ay bx x y a b c
 . 
 c x y z a b a b c x y z
 x y z
Cách khác : Áp dụng bất đẳng thức ở câu h ta có : 
 2 2 2 2
 2 x y z x y z 
 x y z . a . b . c a b c 
 a b c a b c 
 2
 x2 y2 z2 x y z 
Hay (đpcm).
 a b c a b c
Các bất đẳng thức ở câu g, h, i còn có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Đây là những bất đẳng thức cơ sở để giải quyết hầu hết các bài toán chứng minh bất đẳng thức Học 
sinh cần nắm chắc phần này .
j. Áp dụng bắt đẳng thức ở câu d) liên tục hai lần ta có :
 1 1 1 1 2 2 4 4
 . 
 3 3 3 3 3 4
 1 a 1 b 1 c 1 abc 1 a b 1 abc 1 a3b3 abc4 1 abc
 1 1 1 3
Hay , Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 
 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc
k) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2
 a b c a bc b ac c ab 0 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab 0 
 2 2 2
 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0. 
 2 2 2
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc 2 bc ac 2 ab ac 2 0. 
 a4 b4 c4 abc a b c . Vậy đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 a b c .
Cách khác :
Áp dụng bắt đẳng thức x2 y2 z2 xy yz zx . với x a2 , y b2 , z c2 ta thu được 
 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 ab.bc bc.ca ca.ab abc a b c . 
Ví dụ 3.
Chứng minh rằng :
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 a. với các số thức dương a, 2b, a c b c 
 ab bc ca
 b. vớia b 1 b a 1 ab a,b 1.
 4a2b2 a2 b2
 a,b 0.
 c. với 2 2 2 3
 a2 b2 b a
 a2b 2 a2 2ab
 d. với . a,b 0
 2a3 b3 3 2a2 b2
 k 1 1 16 4k
 e. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với a,b 0. 
 a3 b3 a3 b3 a b 3
 2ab a2 b2 a b
 f. với ab a,b 0.
 a b 2 2
 Lời giải
 a. Trước hết ta chứng minh bắt đẳng thức x3 y3 xy x y với x, y là các số dương .
 Thật vậy x3 y3 xy x y x y x2 y2 xy xy x y x y 2 0. 
 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :
 a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab a b bc b c ca c a 
 2 a b c 
 ab bc ca ab bc ca
 a3 b3 b3 c3 c3 a3
 2 a b c 
 ab bc ca
 b. Đặt x a 1; y b 1 khi đó x 0; y 0. 
 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x2 1 y y2 1 x x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 2 x2 1 y x2 1 y2 1 2 y2 1 x 0. 
 x2 1 y 1 2 y2 1 x 1 2 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng.Vậy bất đẳng thức 
 được chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 hay a = b = 2.
c. Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với . 
 2 2 2 2 2
 4a2b2 a2 b2 4a b a b a4 2a2b2 b4
 2 1 2 2 2 0 2 2 2 0. 
 a2 b2 b a a2 b2 a b
 2 2
 a2 b2 a2 b2 
 2 2 2 1 1 
 2 2 2 0 a b 2 2 2 0. 
 2 2 a b a b 2 2 
 a b a b 
 2 2
 a2 b2 a2 b2 a2b2 2 2 2 4 4 2 2
 a b a b a b 
 2 0 2 0. 
 a2b2 a2 b2 a2b2 a2 b2 
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng . Vậy bắt đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức 
 xảy ra khi và chỉ khi a b .
 2
 2 2 2
 4a2b2 a b 2ab 
 t 
 Cách 2. Bất đẳng thức được viết lại thành 2 2 2 5. Đặt 2 2 . 
 a2 b2 a b a b 
 2 2 2 2
 a b a2 b2 4
 Khi đó ta được 0 t 1 . Suy ra 2 2 4 . Bất đẳng thức cần chứng minh 
 a b 2ab t
 4
 trở thành t 5 t 2 5t 4 0 t 1 t 4 0. Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng 
 t
 0 t 1 .
 Vậy bắt đẳng thức được chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
d. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 a2b 2 a2 2ab a2b 1 a2 2ab
 1 
 2a3 b3 3 2a2 b2 2a3 b3 3 2a2 b2
 2 2 
 a b 2a b a b 2 1 2a b
 a b 0. 
 3 3 2a2 b2 2a2 b2 3 3
 3 2a b 3 2a b 
 2 3 3 2 2 
 a b 3 2a b 2a b 2a b 0 
 a b 2 2a3 2b3 2a2b 2ab2 0 a b a b 4 0. 
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bắt đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức 
 xảy ra khi và chỉ khi a = b.
 k 1 1 16 4k
e. Biến đổi tương đương bắt đẳng thức cần chứng minh ta được 
 a3 b3 a3 b3 a b 3
 . k 4k 1 8 1 8
 0
 a3 b3 (a b)3 a3 (a b)3 b3 (a b)3
 2
 a b 7b2 4ab a2 7a2 4ab b2 3k a b (a b)
 0
 3 3 3 3 3 3 
 (a b) b a a b (a b)
 2 4 3 2 2 3 4
 a b a 5a b 12a b 5ab b 3k(a b)2
 0
 a3b3 a2 ab b2
 2 4 3 2 2 3 4 2 2 3 3 2
 a b a 5a b 12a b 5ab b a ab b 3ka b 0 . Vì a b 0 nên bất 
đẳng thức đúng khi và chỉ khi a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 3ka3b3 0 .
Cho a b thì bất đẳng thức trên trở thành 24a6 3ka6 0 k 8 . Ta chứng minh k 8 
là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
+ Với k 8 thì a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 3ka3b3 0 .
+ Với k 8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành 
 a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 24a3b3 0 . Ta có a4 b4 2a2b2 ;a2 b2 2ab 
nên a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a4 b4 5ab(a2 b2 ) 12a2b2 24a2b2
Và a2 ab b2 ab . Do đó ta có a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 24a3b3 . Suy 
ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8.
f, Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau:
 2 
 a2 b2 a b 2ab a b 1 1
 ab 0
 2 2 a b 2 a2 b2 a b 
 ab 
 2 
 a b 2 2a 2b 2 a2 b2 2 ab 0
 2
Vì a b 0 nên ta cần chứng minh 2a 2b 2 a2 b2 2 ab 0
Thật vậy, ta có 
 2 2
 a b 2 a b 
a b 2 a2 b2 ;a b 2 ab a b
 2
 2 a2 b2 a b a b 
Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với 
 2 1 1 
 a b 2 0
 2 2 
 a b 2 a b a b 
 2
 a b 2 2 a2 b2 a b a b 0 a b 2 2 a2 b2 2 ab 0
 2 2 4
 2 2 a b 4ab 2 a b 
 a b 0 0
 2 a2 b2 2 ab 2 a2 b2 2 ab
Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng 
thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
Ví dụ 4. Chứng minh các bất đẳng thức:
a,a bc b ca c ab 1 ab bc ca với a,b,c 0;a b c 1. 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 b, a b c với a,b,c 0 .
 ab 3b2 bc 3c3 ca 3a2
 1 1 1 1
 c, . Với a,b,c 0 
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
 1 1 1 33
 d, 3 2 với a,b,c 0 và a b c 3. 
 a b c ab bc ca
 Lời giải
 a, Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét sau:
 1
 + Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
 + Khi thay 1 bằng a b c vào bất đẳng thức và chuyển vế thì ta được các nhóm
 a bc a bc; b ca b ca; c ab c ab . Do va trò a,b,c như nhau nên ta dự 
 đoán mỗi nhóm trên không âm. Để chứng minh dự đoán trên ta có thể bình phương 
 làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình phương.
 + Để ý giả thiết a b c 1, khi đó ta có a bc (a b)(a c) . Dễ dàng nhận ra 
 (a b)(a c) a bc . Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại 
 thì bất đẳng thức được chứng minh.
 Cách 1: Bất đẳng thức cần được chứng minh tương đương với
 a bc b ca c ab a b c ab bc ca
 a bc a bc b ca b ca c ab c ab 0
 Ta cần chứng minh
 a bc a bc 0; b ca b ca 0; c ab c ab 0
 Thật vậy, ta có
 2
 a bc a bc 0 a bc a bc a bc a 2a bc bc 
 2
 1 a 2 bc a b c a 2 bc b c 0 
 Chứng minh tương tự ta được b ca b ca 0; c ab c ab 0 .
 1
 Đến đây bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 
 3
.
 Cách 2: Kết hợp với giả thiết a b c 1 ta có
 a bc (a b)(a c) ; b ca (a b)(b c) ; c ab (c a)(b c)
 Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành
 (a b)(a c) (a b)(b c) (c a)(b c) 1 ab bc ca
 Mặt khác, ta có:
 (a b)(a c) a bc a2 ab bc ca a2 2a bc bc
 2
 b c 2 bc b c 
 Chứng minh tương tự ta được (b c)(a b) b ca; (c a)(b c) c ab 
 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được
 (a b)(a c) (a b)(b c) (c a)(b c) a b c ab bc ca 
 Hay (a b)(a c) (a b)(b c) (c a)(b c) a b c ab bc ca . 1
 Vậy bất đẳng thức chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
 3
 5b3 a3
 b, Ta sẽ chứng minh 2b a với a,b là các số thực dương.
 ab 3b2
 Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được
 5b3 a3 (2b a)(ab 3b2 ) 5b3 a3 2ab2 6b3 a2b 3ab2 a3 b3 a2b ab2 
 (a b)(a b)2 0 . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được 
 5c3 b3 5a3 c3
 chứng minh. Chứng minh tương tự ta được 2c b; 2a c 
 bc 3c3 ca 3a2
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b c 
 ab 3b2 bc 3c3 ca 3a2
 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
 Cách 3: Ta có
 a3 5b3 2b(ab 3b2 ) a3 b3 2ab2 (a3 ab2 ) (b3 a2b) 2ab2 (a2b ab2 ) 
 a3 5b3
 2a2b 2ab2 2ab2 (a2b ab2 ) a(ab 3b2 ) . Do đó ta có 2b a hay ta được
 ab 3b2
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
 2b a . Áp dụng tương tự ta được 2c b ; 2a c .
 ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2
 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3
Công vế các bất đẳng thức trên ta được a b c .
 ab 3b2 bc 3c2 ca 3a2
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
c, Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 . Suy ra:
 a3 b3 ab(a b) a b a2 ab b2 a b a b 2 0 . Suy ra điều phải chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có: a3 b3 abc ab(a b) abc ab(a b c) .
 1 1
Suy ra . Tương tự ta có:
 a3 b3 abc ab(a b c)
 1 1 1 1
 ; . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta 
 b3 c3 abc bc(a b c) c3 a3 abc ca(a b c)
suy ra:
 1 1 1 1
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
d, Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
 1 1 1 ab bc ca 
 3 ab bc ca 2 ab bc ca 33 3 2 ab bc ca 15 .
 a b c c a b 
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc x y z 2 3 xy yz zx ta có:
 2
 ab bc ca ab bc bc ca ca ab 2 2 2
 3 . . . 3 a b c ta chứng minh bất đẳng thức mạnh 
 c a b c a a b b c 
hơn là: 3 3 a2 b2 c2 2 ab bc ca 15(*) . Đặt
 t 3 a2 b2 c2 t 2 3 a2 b2 c2 3 a b c 2 6(ab bc ca) 27 6(ab bc ca)
Do a,b,c 0 suy ra t 2 27 t 3 3 , lại có 3(ab bc ca) (a b c)2 9 ab bc ca 3 t 2
 dẫn đến t 2 9 t 3 , vậy 3 t 3 3 . Ta có (*) 3t 9 15 t 3 t 6 0 , bất đẳng 
 3
 thức này luôn đúng với mọi 3 t 3 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 t 3 a b c 1.
 II. BẤT ĐẲNG THỨC AM –GM
 1. Bất đẳng thưc AM – GM
 Trong chương trình toán THCS ta thường dùng, bất đẳng thức AM – GM cho 2 số thực 
 không âm hoặc 3 số thực không âm. Phạm vi chuyên đề này chỉ đề cập các bài toán trong 
 khuôn khổ trên.
 a, Cho các số thực không âm a,b khi đó ta có: a b 2 ab dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
 khi a b .
 b, Cho các số thực không âm a,b,c , khi đó ta có: a b c 33 abc dấu đẳng thức xảy ra khi và 
 chỉ khi a b c .
 2. Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức AM – GM
 a,Với a,b 0 từ a b 2 ab 4ab a b 2 (*) .
 1 1 1 a b 1 1 4 1 1 1 1 
 b, Với a,b 0 từ 2 lại có ab suy ra 
 a b ab 2 a b a b a b 4 a b 
 đây là kết quả rất hay dùng trong chứng minh các bài toán BĐT.
 c, Với a,b,c 0 từ a b c 33 abc 27abc a b c 3 .
 1 1 1 3
 d, Với a,b,c 0 từ , vì a b c 33 abc suy ra 
 a b c 3 abc
 1 1 1 9 1 1 1 1 1 
 đây cũng là kết quả rất hay dùng trong chứng 
 a b c a b c a b c 9 a b c 
 minh các bài toán BĐT.
 e, a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn 3 với a,b,m,n, x, y 0 .
 Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
 a3 x3 m3 3axm
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 b3 y3 n3 3byn
 3 3 3 3 3 3 
 a b x y m n 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra:
 3axm 3byn 3
 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 axm byn .
 3 a3 b3 x3 y3 m3 n3 
 + Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
 a3 b3 c3 x3 y3 z3 m3 n3 p3 axm byn czp 3 .
 3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
 a b c 3
a) 
 b c c a a b 2
b) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
c) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8(a + b + c)(ab + bc + ca). 3
d) Cho (a + b)(b + c)(c + a) = 1. Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ .
 4
 ( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội, năm 2014)
 x y c
e) Cho các số thực x, y , z > 2. Tìm GTNN của: P .
 y z 4 z x 4 x y 4
 ( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán - THPT chuyên KHTN, năm 2015).
 ab bc 1 1
f) Cho các số thực dương a, b. Chứng minh ( )( ) 2 .
 a b b c a b b c
 ( Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên KHTN, năm 2018).
g) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 1. Chứng minh: 
 1 1 1 1
 x2 2y2 3 y2 2z2 3 z2 2x2 3 2
 1 1 1
h) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 3 . Tìm giá trị lớn nhất cuả
 x y z
 1 1 1
 P .
 2x2 y2 3 2y2 z2 3 2z2 x2 3
 ( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán – THPT chuyên TP Hà Nội, năm 2018)
 Lời giải
a. Ta có 
 a b c a b c 1 1 1
 3 ( 1) ( 1) ( 1) (a b c)( ) và
 b c c a a b b c c a a b b c c a a b
 1 1 1 1 1 1 1
 (a b c)( ) (a b b c c a)( )
 b c c a a b 2 b c c a a b
 1 a b a b b c b c c a c a
 (1 1 1 ).
 2 b c c a a b c a a b b c
 a b b c
 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 suy ra 
 b c a b
 a b a b b c b c c a c a a b c 9
 6 nên 3 hay 
 b c c a a b c a a b b c b c c a a b 2
 a b c 3
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
 b c c a a b 2
 Cách khác: Đặt 
 x y z x y z x y z y z x
 a b x,b c y,c a z a b c a ,b ,c , thay 
 2 2 2 2
 vào ta có bất đẳng thức chứng minh trở thành:
 1 x y z x y z 3 x y y z x z x y
 ( x) 6 . Do 2 theo bất đẳng thức 
 2 y z 2 y x z y z x y x
 AM– GM nên ta suy ra bất đẳng thức cuối cùng đúng.
b. Cách 1: Ta có a b 2 ab,b c 2 bc,c a 2 ca (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
 Cách 2: a b b c c a a b c ab bc ca abc .Theo bất đẳng thức