Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Chuyờn đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIấN QUAN
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020) 
 2
 x y x y x x y y 
 Cho biểu thức B . 
 x x y y x y x y 
 a) Rỳt gọn B.
 b) So sỏnh B và B .
 Lời giải
 a) x , y 0 ,x y .
 Ta cú : 
 2
 x y x y x y x y x xy y 
 B . 
 x y x xy y x y x y x y 
 x y x xy y 
 B . x y 
 x xy y x y 
 x y x 2 xy y x xy y
 B .
 x xy y x y
 x y xy
 B .
 x xy y x y
 xy
 B 
 x xy y
 2
 y 3y
 b) Vỡ x , y 0 xy 0 và x xy y x 0 ,x, y 0
 2 4
 Nờn B 0 với mọi x, y thỏa món điều kiện đó cho 
 2
 Lại cú: x y 0 x y xy xy 
 1 1
 x y xy xy
 xy xy
 1
 x y xy xy
 Dấu “ = “ khụng xảy ra vỡ x y 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vậy 0 B 1 , nờn B B 
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020) 
 Cho biểu thức D 4 10 2 5 4 10 2 5 2 2 3 14 5 3 
 Chứng minh D là nghiệm của phương trỡnh D2 14D 44 0 
 Lời giải
 Ta cú: 
 D 4 10 2 5 4 10 2 5 2 2 3 14 5 3 
 D 4 10 2 5 4 10 2 5 4 2 3 28 10 3
 D 4 10 2 5 4 10 2 5 3 1 5 3
 D 6 4 10 2 5 4 10 2 5 , với D 6 0 
 2
 D 6 8 2 16 10 2 5
 2
 D 6 8 2 5 1 6 2 5
 2 2
 D 6 5 1 
 D 6 1 5 hay D 7 5
 Ta cú: D2 14D 44 0
 2
 7 5 14 7 5 44 0
 54 14 5 98 14 5 44 0
 Vậy bài toỏn được chứng minh
Cõu 3.(Đề thi HSG 9 huyện Nụng Cống 2019-2020) 
 2 5 x 1 x 1
 Cho biểu thức : A 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 a) Rỳt gọn biểu thức 
 1 2 x
 b) Tỡm x để A 
 2
 Lời giải
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 5 x 1 x 1
 a) A 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 1
 Với biểu thức cú nghĩa. Ta cú: 
 ≠ 1; ≠ 4; ≥ 0 
 2 5 x 1 x 1
 = 1 :
 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1
 2(2 x 1) 5 x 2 x 1 x 1
 1 :
 (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1)2
 x 1 (2 x 1)2
 1 :
 (2 x 1)(2 x 1) x 1
 2 x 1
 1 
 2 x 1
 2
 2 x 1
 1 2 x 2 1 2 x
 b) Ta cú : A 
 2 2 x 1 2
 (2 x 1) 2 4 (2 x 1 2)(2 x 1 2) 2 x 3
 0 0 0
 2 x 1 2 x 1 2 x 1
 9
 x 
 2 x 3 0 4 9
 TH1: x 
 1 4
 2 x 1 0 x 
 4
 9
 0 x 
 2 x 3 0 4 1
 TH2: 0 x 
 1 4
 2 x 1 0 0 x 
 4
 1 1
 Vậy 0 hoặc 
 ≤ 9
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Định 2012-2013) 
 x 2 x 2 x2 2x 1
 Cho A .
 x 1 x 2 x 1 2
 a) Rỳt gọn A .
 b) Tỡm x để A 0. 
 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A .
 Lời giải
 a) ĐKXĐ: x 0, x 1
 A x( x 1)
 b) 
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A 0 x( x 1) 0 x( x 1) 0
 x 0 (vỡ x x 1)
 0 x 1
 x 1 0
 c)
 1 1 1 1 1
 A x( x 1) x x ( x )2 
 4 4 2 4 4
 1
 A 
 4
 1 1 1
 Vậy GTLN của A = khi x x (t / m)
 4 2 4
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 huyện Chư Sờ 2019-2020) 
 Rỳt gọn biểu thức: M = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 .
 Lời giải
 M = 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 = 4 + 5 3 + 5 48 - 10(2 + 3)
 = 4 + 5 3 + 5 28 - 10 3 = 4 + 5 3 + 5(5 - 3)
 = 4 + 25 = 9 = 3.
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 
 Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: A 4 10 2 5 4 10 2 5 
 Lời giải
 A 4 10 2 5 4 10 2 5 0
 A2 4 10 2 5 4 10 2 5 2 16 10 2 5 
 2
 A = 8+ 2 6- 2 5 
 2
 A2 = 8+ 2 ( 5 - 1)
 2
 A = 6+ 2 5 
 2
 A2 = ( 5 + 1)
 A = 5 + 1 (Do A 0 ). 
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) 
 1 1 2x x 1 2x x x x 
 Cho biểu thức: P : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 a) Rỳt gọn P .
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b) Chứng minh: P 1.
 Lời giải
 a) Điều kiện: P cú nghĩa: x 0; x 1
 2 x 1 x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 1 
 P : 
 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 
 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 
 : 
 1 x x 1 x 1 x x 
 2 x 1 2 x 1
 :
 1 x x 1 x 1 x x 
 1 x x
 .
 x
 1 x x 1 1
 b) P x 1 2 . x 1 1 (BĐT Cauchy)
 x x x
 1
 Vỡ đẳng thức xảy ra x x 1khụng thỏa món điều kiện xỏc định nờn 
 x
 P 1.
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019) 
 x y x y x y
 1. Rỳt gọn biểu thức: A với x, y 0, x y
 2 x 2 y 2 x 2 y y x
 2x 3 x 2 x3 x 2x 2
 2. Cho A ; B . Tỡm x sao cho A B .
 x 2 x 2
 Lời giải
 x y x y x y x y x y x y
 1. A 
 2 x 2 y 2 x 2 y y x 2 x y 2 x y x y
 x y x y x y
 2 x y 2 x y x y x y 
 x y x y x y x y 2 x y 
 2 x y x y 
 2
 4 xy 2x 2y 2 x y x y
 2 x y x y 2 x y x y x y
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x y
 Vậy A 
 x y
 2x 3 x 2
 2. + Ta cú: A xỏc định khi x 0; x 4.
 x 2
 2x 3 x 2 x 2 2 x 1 
 A 2 x 1
 x 2 x 2
 x3 x 2x 2
 + Ta cú: B xỏc định khi x 0.
 x 2
 x3 x 2x 2 x 2 x 1 
 B x 1
 x 2 x 2
 Ta cú A B nờn 2 x 1 x 1 x 2 x 0 x x 2 0
 x 0 x 0
 2 x 0 x 4
 Kết hợp với điều kiện suy ra x 0
 Vậy x 0 khi A B .
Cõu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Bỡnh Giang 2019) 
 1 1 x
 Cho biểu thức A 
 x 2 x 2 4 x
 1) Tỡm x để A 1.
 1 x 3
 2) Biết A  19 8 3 19 8 3 1, hóy tớnh giỏ trị của B : 2A .
 2 2 x
 x 3
 3) Tỡm giỏ trị của x nguyờn để biểu thức P A: nhận giỏ trị nguyờn?
 2 x
 4) Tỡm x để A. x 2 5 x x 4 x 16 9 x
 Lời giải
 1 1 x
 Rỳt gọn: A điều kiện: x 4; x 0
 x 2 x 2 4 x
 x 2 x 2 x
 A 
 x 2 x 2 
 x 2 x
 A 
 x 2 x 2 
 x
 A 
 x 2 
 Do A 1 
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x
 1 
 x 2
 x
 1 0
 x 2
 2
 0
 x 2
 x 2 0 x 4
Kết hợp điều kiện x 4; x 0 ta cú: 0 x 4
 1 1 2 2 
Ta cú: A  19 8 3 19 8 3 1  4 3 4 3 1
 2 2 
 1
 A  4 3 4 3 1 3
 2 
 x
 3 x 3 x 6 2 x 6 x 3 x 9
 x 2 
 x 3
Thay x 9, A 3vào biểu thức B : 2A ta được 
 2 x
 9 3 6 1 1
 B : 2.3  
 2 9 7 6 7
 x 3 x x 3 x 3
Ta cú: P A: : 1 
 2 x x 2 2 x 3 x 3 x
 3
Để P nguyờn thỡ Z 3 x 3; 1;1;3
 3 x
Ta cú bảng sau:
 3 x 3 1 1 3
 x 6 4 2 0
 x 36 16 4 0
Do x 4 nờn x 0;16;36
 x
Thay A vào biểu thức A. x 2 5 x x 4 x 16 9 x ta được:
 x 2 
 x
 . x 2 5 x x 4 x 16 9 x
 x 2
 x 5 x x 4 x 16 9 x
 x 6 x 4 x 16 9 x
 2
 5 x 3 x 16 9 x
Với x 4; x 0 , ta cú:
 2
VT 5 x 3 5 , dấu “=” xảy ra x 3 0 x 9
VP x 16 9 x x 16 9 x 5 , dấu “=” xảy ra x 9
Do VT 5;VP 5 VT VP x 9
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vũng 2 năm 2020) 
 x y xy
 Cho H .
 x y xy y x xy x y x 1 xy y
 Tỡm x, y nguyờn để H 20.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x, y 1; x, y 0 .
 Ta cú: x y xy y x y y x y x y 1 y 
 x xy x y x x y x y x y x 1 
 x 1 xy y x 1 y x 1 x 1 1 y 
 x x 1 y 1 y xy x y 
 Khi đú H 
 x y 1 y x 1 
 x x x y y y xy x xy y
 H 
 x y 1 y x 1 
 x y x y x xy y xy 
 H 
 x y 1 y x 1 
 x y x xy y xy
 H 
 1 y x 1 
 x x y xy y 1 x 1 x 
 H 
 1 y x 1 
 x x 1 y x 1 y 1 x 1 x 
 H 
 1 y x 1 
 x y y 1 x x y y y x
 H 
 1 y 1 y
 x 1 y 1 y y 1 y 
 H 
 1 y
 H x 1 y y x xy y
 Ta cú H 20 x xy y 20 x y 1 y 1 19
 y 1 x 1 19 19.1 1.19 1 . 19 19 . 1 
 y 1 1 y 0
 TH1: 
 x 1 19 x 400
  Trang 8  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 y 1 19 y 324
 TH2: 
 x 1 1 x 4
 y 1 1
 TH3: loại
 x 1 19
 y 1 19
 TH4: loại
 x 1 1
 Vậy với x 400; y 0 hoặc x 4, y 324 thỡ H 20.
Cõu 11. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2012-2013) 
 x 2 x 3 x 2 x 
 Cho biểu thức : A : 2 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 1/ Rỳt gọn biểu thức A.
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 Lời giải
 1/ Rỳt gọn biểu thức A.
 x 2 x 3 x 2 x 
 A : 2 (ĐK: x x 0, x 4, x 9 ) 
 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 
 x 1
 A ... 
 x 4
 1 5
 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để 
 A 2
 1 5 x 4 5
 2x 8 5 x 5
 A 2 x 1 2
 1 1
 2x 5 x 3 0 3 x 0 x 
 2 2
 1
 0 x 
 4
 1
 Kết hợp với ĐK 0 x 
 4
Cõu 12. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
 x 2 x 2
Cho biểu thức: P 
 x x x 2 x ( x 1)(x 2 x)
 a. Rỳt gọn P .
 b. Tớnh P khi x 3 2 2 .
 c. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn.
 Lời giải
 a)
  Trang 9  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 x 2
 P 
 x( x 1) x( x 2) x( x 1)( x 2)
 x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2x 2 x 2 x 2
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2)
 x x 2x 2 x x x( x 1)( x 2) ( x 1)
 x( x 1)( x 2) x( x 1)( x 2) ( x 1)
 b) x 3 2 2 x 2 2 2 1 ( 2 1)2 2 1
 ( x 1) 2 1 1 2 2
 P 1 2
 ( x 1) 2 1 1 2
 c) ĐK: x 0; x 1: 
 ( x 1) x 1 2 2
 P 1 
 ( x 1) x 1 x 1
 Học sinh lập luận để tỡm ra x 4 hoặc x 9
Cõu 13. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Húa 2011-2012)
 ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
 Cho biểu thức P = ỗ + ữ:ỗ - ữ
 ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ
 1) Rỳt gọn P 
 3 2 2 3 2 2
 2) Tớnh giỏ trị của P khi x 4 4
 3 2 2 3 2 2
 Lời giải
 ổ x- 1 x + 8 ử ổ 3 x- 1+ 1 1 ử
 ỗ ữ ỗ ữ
 1) P = ỗ + ữ:ỗ - ữ(ĐK: x > 1; x ạ 10; x ạ 5 )
 ốỗ3+ x- 1 10- xứữ ốỗx- 3 x- 1- 1 x- 1ứữ
 Đặt x 1 a ( a 0 )
 3a + 9 ộ1 2a + 4ự 3(a + 3) a(a- 3) 3a
 ị P = : ờ . ỳ= . = -
 (a + 3)(3- a) ởờa a- 3 ỷỳ (a + 3)(3- a) 2(a + 2) 2(a + 2)
 3 x- 1 3 x- 1( x- 1- 2)
 P = - = -
 2( x- 1+ 2) 2(x- 5)
 2)
 3+ 2 2 3- 2 2
 x = 4 - 4 = 4 (3+ 2 2)2 - 4 (3- 2 2)2 = 3+ 2 2 - 3- 2 2
 3- 2 2 3+ 2 2
 = 1+ 2 - ( 2 - 1) = 2 (T/M)
 a x 1 2 1 1 (T/m)
 3a 3.1 1
 ị P = - = - = -
 2(a + 2) 2(1+ 2) 2
  Trang 10 