Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức – min, max

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020) 
 Biết x2 y2 x y. 
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C x y. 
 Lời giải
 Ta có: 
 C x y x y 2y
 x2 y2 2y
 2
 x2 y 1 1 1
 Dấu “ = “ xảy ra x 0 , y 1 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của C 1 x 0; y 1 
 Lại có:
 C x y 2x (x y)
 2x x2 y2 
 x2 2x 1 y2 1
 2
 x 1 y2 1 1
 Dấu “ = “ xảy ra x 1, y 0 
 Vậy giá trị lớn nhất của C 1 x 1; y 0 
Câu 2.(Đề thi HSG 9 huyện Nông Cống 2019-2020) 
 Cho , , thỏa mãn ≥ 4; ≥ 5;6 ≤ ≤ 7; 2 + 2 + 2 = 90. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 biểu thức = + + 
 Lời giải
 Theo bài ra ta có:
 x2 36
 x 
 13
 4 x 9 (x 4)(9 x) 0 
 y2 40
 5 y 8 (y 5)(8 y) 0 y 
 13
 6 z 7 (z 6)(7 z) 0 
 z2 42
 z 
 13
 2 + 2 + 2 + 118 90 + 118
 => + + ≥ = = 16
 13 13
 Do 2 + 2 + 2 = 90 dấu bằng xảy ra khi = 4; = 5; = 7
 Vậy GTNN của = 16 ℎ푖 = 4; = 5; = 7
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Yên Định 2012-2013) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 1 x10 y10 1
 Q (x16 y16 ) (1 x 2 y 2 ) 2
 2 2 
 2 y x 4
 Lời giải
 ĐK: x≠0, y≠0
 1 x10 y10 1
 Q (x16 y16 ) (1 x 2 y 2 ) 2
 2 2 
 2 y x 4
 10 10
 1 x y 1 16 16 2 2 2 3
 1 1 (x y 1 1) (1 x y ) 
 2 2 
 2 y x 4 2
 Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
 1 x10 y10 
 1 1 2x 2 y 2
 2 2 
 2 y x 
 1
 (x16 y16 1 1) x 4 y 4
 4
 3 5
 => Q 2x 2 y 2 x 4 y 4 1 2x 2 y 2 x 4 y 4 
 2 2
 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1.
Câu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020) 
 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng 
 1
 ab bc ca abc 3 .
 abc
 Lời giải
 Áp dụng BĐT cauchy ta có (a + b + c)(ab + bc + ca)³ 33 abc.33 a2b2c2 = 9abc 
 ab + bc + ca
 Þ abc £ .
 3
 1 ab + bc + ca
 Ta chứng minh ab + bc + ca + ³ + 3 
 abc 3
 ab + bc + ca ab + bc + ca 1
 Û + + ³ 3. Thật vậy:
 3 3 abc
 (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2
 VT ³ 33 ³ 33 
 9abc 9abc
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 5.(Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019) 
 bc ac ab
 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng a b c . 
 a b c
 Đẳng thức xảy ra khi nào?
 Lời giải
 bc ac ab
 Vì a,b,c 0 nên 0; 0; 0
 a b c
 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm, ta có:
 bc ac bc ac
 + 2 . 2c 1 
 a b a b
 ac ab ac ab
 + 2 . 2a 2 
 b c b c
 ab bc ab bc
 + 2 . 2b 3 
 c a c a
 bc ac ab
 Lấy (1) cộng (2) cộng (3) vế theo vế ta được a b c (ĐPCM)
 a b c
Câu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019) 
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ. Chứng minh đẳng thức: 
 3 3 
 Lời giải
 Ta có: 
 2 2
 a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c 
 3 3 3 9
 3 a2 b2 c2 a b c 2
 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 
 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 
 a b 2 b c 2 c a 2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.
 Dấu “=” xảy ra a b c
Câu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Bình Giang 2019) 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y x 2 1 x với 0 x 1.
 Lời giải
 Đặt 1 x t với 0 t 1 suy ra x 1 t 2 , thay vào y x 2 1 x ta được: s
 2
 2 1 3 3
 y 1 t 2t t 
 2 2 2
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3 1 1
 GTLL của y là y khi t x 
 2 2 2
Câu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tín 2019-2020) 
 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 x2 y2 z2
 thức: P .
 y z z x x y
 Lời giải
 Áp dụng BĐT Cauchy ta có
 x2 y z y2 z x z2 x y
 x; y; z .
 y z 4 z x 4 x y 4
 Cộng từng vế ta được 
 x y z x y z
 P x y z P 1.
 2 2
 2
 Dấu " " xảy ra khi x y z . 
 3
Câu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vòng 2 năm 2020) 
 Cho a,b là các số dương thỏa mãn 1 a 1 b 4,5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 thức Q a4 1 b4 1.
 Lời giải
 7
 Ta có: 1 a 1 b 4,5 a b ab .
 2
 Ta xét 4 số thực a,b, x, y ta có bất đẳng thức sau:
 2
 a2 b2 x2 y2 a2 b2 x2 y2 2 a2 b2 x2 y2 
 a2 b2 x2 y2 2 ax by a2 b2 x2 y2 2ax 2by a x 2 b y 2
 a2 b2 x2 y2 a x 2 b y 2
 Áp dụng vào bài toán ta có:
 2 2 2
 Q a2 12 b2 12 a2 b2 1 1 2 
 2
 2 3 2 3 2 
 Mà a 2a. 3 2 2 a (1)
 2 2 
 2
 2 3 2 
 b 3 2 2 b (2)
 2 
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a2 b2 3 2 2
 ab a2 b2 3 2 2 ab (3)
 2 2 
 Cộng (1), (2) và (3) lại ta được:
 2
 3 2 2 2 3 2 
 a b 2 3 2 2 ab a b 
 2 2 
 3 2 7
 a2 b2 11 6 2 3 2 2 . 
 2 2
 Hay a2 b2 11 6 2
 2
 9 1 a 1 b 2 a b 3
 (Cách khác: 1 a 1 b a b 3 2 2 
 2 2 2 2
 2
 3 2 2
 2 
 Mặt khác: a b 2 a2 b2 a2 b2 11 6 2 )
 2
 2
 Do đó Q 11 6 2 4 87 12 2 
 3 2 2
 Dấu “=” xảy ra a b 
 2
 3 2 2
 Vậy MinQ 87 12 2 khi a b 
 2
Câu 10. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013)
 1 2
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : 2 . Chứng minh rằng :
 x y
 5x 2 y 4 xy y 2 3
 Lời giải
 * Ta có:
 5x 2 y 4xy y 2 3
 4x2 4xy y2 x2 y 3 0
 2x y 2 x2 y 3 0
 1 2 2 1 2 2x 1 2x
 2 2 y 
 * x y y x y x 2x 1
 1 2x 2
 Vì y 0; x 0 2x 1 0 x .Thay y vào x y 3 0
 2 2x 1
 Ta có: 
 2x 2x3 x2 2x 6x 3
 x2 y 3 0 x2 3 0 0
 2x 1 2x 1 (1)
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vì 2x 1 0
 3 2 3 2
 1 2x x 2x 6x 3 0 2x x 4x 3 0
 3 2
 Mà 2x x 4x 3
 2x3 2x2 x2 x 3x 3
 x 1 2x2 x 3 
 x 1 2 2x 3 0 x 0
Câu 11. (Đềthi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012 )
 3
 1 x 1 1 3 2x x 
 Cho x 1; y 0 , chứng minh: 
 3 3 3 
 (x 1) y y x 1 y 
 Lời giải
 1 x 1 1
 x 1; y 0 x 1 0; y 0 0; 0; 0
 (x 1)3 y y3
 Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
 1 1 1 3
 1 1 3. 3 .1.1 2 (1)
 (x 1)3 (x 1)3 (x 1)3 x 1
 3 3 3
 x 1 x 1 x 1 3(x 1)
 1 1 33 .1.1 2 (2)
 y y y y
 1 1 1 3
 1 1 3.3 .1.1 2 (3)
 y3 y3 y3 y
 Từ (1); (2); (3): 
 3
 1 x 1 1 3 3(x 1) 3
 3 3 6 
 (x 1) y y x 1 y y
 3
 1 x 1 1 3 6x 6 3x 3 2x x
 3 3 3( )
 (x 1) y y x 1 y x 1 y
Câu 12. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2 2 2 2 1 1 1 
 P 21 a b c 12 a b c 2017 
 a b c 
 Lời giải
 Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có 3 a 2 b 2 c 2 a b c 2 ; 
 1 1 1 1 1 1 9
 Mặt khác a b c 9 
 a b c a b c a b c
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Nên 
 2 18153 2 8 8 17849
 P 19 a b c 19 a b c Q
 a b c a b c a b c a b c
 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có
 2 8 8 17849 17849 18305
 P Q 19.33 a b c . . 228 
 a b c a b c 2 2 2
 a b c 0
 18305 2
 Min(P) a b c 2 a b c 
 2 3
 2 8
 a b c 
 a b c
Câu 13. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013)
 Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 
 ab bc ca a b c
 a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
 Lời giải
 Dự đoán a b c tách mẫu để a c b c 2b 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Tacó áp dụng BĐT (x y z) 9 
 x y z x y z 9 x y z 
 ab ab ab 1 1 1 1 ab ab a 
 (1)
 a 3b 2c (a c) (b c) 2b 9 a c b c 2b 9 a c b c 2 
 Tương tự
 bc bc bc 1 1 1 1 bc bc b 
 (2)
 2a b 3c (a b) (a c) 2c 9 a c b c 2b 9 a b b c 2 
 ac ac ac 1 1 1 1 ac ac c 
 (2)
 3a 2b c (a b) (b c) 2a 9 a b b c 2a 9 a b b c 2 
 Từ (1) (2) (3)
 1 ac bc ab ac bc ab a b c a b c
 P 
 9 a b b c a c 2 6
 Dấu “=” xảy ra khi a b c
Câu 14. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 1 1 1
 a) Cho x 0; y 0; z 0 và 4 .
 x y z
 1 1 1
 Chứng minh rằng: 1
 2x+y+z x 2y z x y 2z
 2011 2011 2011
 b) Cho x 0; y 0; z 0 thỏa mãn x y z 3.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y2 z2
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 1 1 4
 a)Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x 0; y 0 )
 Ta có:
 1 1 1 1 1 1 1
 ( ) 
 2x+y+z 4 2x y z ; y z 4y 4z
 Suy ra: 
 1 1 1 1 1
 ( )
 2x+y+z 4 2x 4y 4z (1)
 Tương tự:
 1 1 1 1 1
 ( )
 x+2y+z 4 4x 2y 4z (2)
 1 1 1 1 1
 ( )
 x+y+2z 4 4x 4y 2z (3)
 Từ (1),(2),(3) 
 1 1 1 1 1 1 1
 ( )
 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
 1 1 1
 1
 2x+y+z x+2y+z x+y+2z
 Dấu "=" xảy ra 
 3
 x y z 
 4
 2011 2011
 b) Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,x và 2009 số 1 ta có:
 x 2011 x 2011 1 1 ... 1 20112011 (x 2 )2011
 2009
 2011 2
 2x 2009 2011x (1)
 2011 2
 Tương tự: 2y 2009 2011y (2)
 2011 2
 2z 2009 2011z (3)
 2(x2011 y2011 z2011 ) 3.2009
 x2 y2 z2 
 2011
 x2 y2 z2 3
 Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x y z 1 
Câu 15. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 4x+3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 1
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 4x+3 x2 4x+4
 Ta có: A 1 
 x2 1 x2 1
 (x 2)2
 A 1 1
 x2 1
 Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2
 Vậy Amin 1 khi x 2 
 Câu 7(Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
 Cho a;b;c là các số thuộc đoạn  1;2 thỏa mãn: a 2 b 2 c 2 6 hãy chứng minh 
 rằng: a b c 0 
 Lời giải
 Do a;b;c thuộc đoạn  1;2 nên a 1 0; a 2 0 nên a 1 a 2 0 
 2 2
 Hay: a 2 a 2 0 a 2 a 2 Tương tự: b b 2;c c 2;
 Ta có: a 2 b 2 c 2 a b c 6 theo đầu bài: a 2 b 2 c 2 6 nên: a b c 0
Câu 16. (Đề thi HSG 9 tỉnh Khánh hòa 2017-2018)
 1.Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n, ta có:
 1 1 1 1
 ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
 2 2
 2. Cho hai số thực x và y thỏa mãn x xy y 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
 P x3y xy3
 Lời giải
 1) Ta có 
 3 3 2
 1 n 1 n = 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 3 n 1 3 n 1 n 3 n 2 .
 2 2 2
 Mà 3 n 1 3 n 1 n 3 n2 33 n 1 1 33 n 1 3 n 1 3 n .
 2
 3 3 3
 1 3 n 1 n 1 n 1 1 
 Từ đó suy ra 3 
 n 1 3 n n 1 3 n 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Nên ... 3 3 ... 3 
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 2 3 2 3 3 3 n 3 n 1 
 1 1 1 1 1 1 
 ... 3 3
 2 33 2 4 3 3 (n 1) 3 n 1 3 n 1 
 1 1 1 1
 ... 3.
 2 33 2 4 3 3 n 1 3 n
 2.Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm ta có: 
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2 1
 x2 y 2 2 x2 y 2 2 xy 2xy x y xy 2xy xy 3xy xy .
 3
 2
 2 2 a b 
 Ta có a b 0 2ab a2 b2 4ab a b ab 1 .
 4
 2 2
 P x3 y xy3 xy x2 y2 xy 1 xy vì x xy y 1
 2 2 2
 2xy 1 xy 1 xy 1 4
 Áp dụng BĐT 1 ta có 2P 2xy. 1 xy 1 : 4 
 4 4 3 9
 2 2
 P . Vậy P có giá trị lớn nhất bằng . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 9 9
 1 1 1
 xy và x y x y hoặc x y .
 3 3 3
Câu 17. (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2013-2014)
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc . Tìm giá trị nhỏ 
 4ab 9ac 4bc
 nhất của biểu thức C .
 a 2b a 4c b c
 Lời giải
 Từ gt : 2ab 6bc 2ac 7abc và a,b,c > 0 
 2 6 2
 Chia cả hai vế cho abc > 0 7
 c a b
 1 1 1 x, y, z 0
 Đặt x , y , z 
 a b c 2z 6x 2y 7
 4ab 9ac 4bc 4 9 4
 Khi đó C 
 a 2b a 4c b c 2x y 4x z y z
 4 9 4
 C 2x y 4x z y z (2x y 4x z y z)
 2x y 4x z y z
 2 2 2
 2 3 2 
 x 2y 4x z y z 17 17
 x 2y 4x z y z 
 1
 Khi x ,y z 1 thì C = 7
 2
 Vậy GTNN của C là 7 khi a =2; b =1; c = 1
Câu 18. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ - 2013-2014)
 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 Chứng minh rằng 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
 Lời giải
 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2
 Ta có M = 4xyz
 4 yz 4 xz 4 yx
  Trang 10 