Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình (Có đáp án)

 Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) 
 2 2
 Cho phương trình: x (2m 1)x m m 6 0 ( m là tham số). Tìm m để 
 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
 Lời giải
 2 2
 Cho phương trình: x (2m 1)x m m 6 0 ( m là tham số). Tìm m để 
 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
 m 3
 25 0 
 0 
 2 m 2
 a.c 0 m m 6 0 m 2
 1
 b 2m 1 0 m 
 0 2
 a
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
 1.Giải phương trình:
 a. x2 10x 27 6 x x 4
 b. x2 2x x x 2 x 4 0
 2. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y2 2xy 3x 2 0
 Lời giải
 1.
 a) ĐK: 4 x 6 : 
 VT x2 10x 27 (x 5)2 2 2 , dấu “=” xẩy ra x 5
 VP 6 x x 4 (12 12 )(( 6 x)2 ( x 4)2 ) VP 2 , dấu “=” xẩy ra 
 1 1
 6 x x 4 x 5
 6 x x 4
 VT VP x 5 (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: x 5
 b) ĐK: x 0 . Nhận thấy: x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho 
 x ta có: 
 2 4 4 2
 x2 2x x x 2 x 4 0 x 2 x 0 (x ) ( x ) 2 0
 x x x x 2 4 4
 Đặt x t 0 t 2 x 4 x t 2 4, thay vào ta có:
 x x x
 2 2 t 3
 (t 4) t 2 0 t t 6 0 (t 3)(t 2) 0 
 t 2
 Đối chiếu ĐK của t
 2 x 4
 t 3 x 3 x 3 x 2 0 ( x 2)( x 1) 0 
 x x 1
 2) y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 (x y)2 (x 1)(x 2) (*)
 VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số 
 x 1 0 x 1 y 1
 bằng 0. 
 x 2 0 x 2 y 2
 Vậy có 2 cặp số nguyên (x; y) ( 1;1) hoặc (x; y) ( 2;2)
Câu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 y2 2x3 y 320 
 Lời giải
 Ta có:
 y2 2x3y 2x6 320 0
 ' x6 2x6 320 320 x6 0 x6 320 x 2 vì x Z 
 x 0; 1; 2
 * x 0 y I y Z
 * x 1 y I y Z
 3
 6 2 16
 * x 2 ' 320 2 256 0 ' 16 y ...
 1
 KL : x; y 2; 24 ; 2;8 ; 2; 8 ; 2;24 
Câu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1 x x2 x3 y3 
 2) Giải phương trình: 2x2 5x 5 5x 1 
 Lời giải
 1) Ta có: 2 2
 2 1 3 2 11 19
 x x 1 x 0;5x 11x 7 5 x 0
 2 4 10 20
 x3 x2 x 1 1 x x2 x3 8 12x 6x2 x3 5x2 11x 7 
 x3 1 x x2 x3 x 2 3
 vì x, y Z mà y3 1 x x2 x3
 Suy ra 
 3 2 3 x 0
 x 1 1 x x x x x 1 0 
 x 1
 Voi x 0 y 1
 Voi x 1 y 0
 Vay x; y 0;1 ; 1;0 
 1
 2) ĐKXĐ x 
 5
 2x2 5x 5 5x 1 2 x2 3x 2 x 1 5x 1 0
 2
 x 1 2 5x 1 
 2 x2 3x 2 0
 x 1 5x 1
 2
 2 x 3x 2 2 1 
 2 x 3x 2 0 x 3x 2 2 0
 x 1 5x 1 x 1 5x 1 
 1 1
 do x 2 0
 5 x 1 5x 1
 2 x 1
 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 
 x 2
 S 1;2
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013)
 1) Giải phương trình nghiệm nguyên: 8x2 3xy 5y 25
 2) Cho phương trình: x2 6x m 0 (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho 
 2 2
 có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 x2 12
 Lời giải
 8x 2 25 25
 1) 8x2 3xy 5y 25 y(3x 5) 8x 2 25 y 9y 24x 40 Z
 3x 5 3x 5
 Khi 3x 5 là ước 25 từ đó tìm được (x; y) ( 10; 31);( 2; 7);(0; 5) 2) Để phương trình có nghiệm / 0 m 9 (*)
 x1 x2 6 x1 x2 6 x1 4
 Mặt khác ta phải có x1.x2 m x1.x2 m x1.x2 m m 8 TM ĐK (*)
 2 2 x 2
 x1 x2 12 x1 x2 2 2
Câu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 3 2
Giải phương trình: 10 x 1 3x 6
 Lời giải
 10 x3 1 3(x2 2)
 2 2
 10 (x 1)(x x 1) 3(x 2) 
điều kiện x 1 
Đặt x 1 a (a 0)
 2
 x x 1 b (b 0 )
 2 2
 Ta có: 10ab = 3a 3b
 a = 3b
 (a 3b)(3a-b) = 0 
 b 3a
 Trường hợp1: a 3b 
 2
 Ta có: x 1 3 x x 1 (1)
 2
 9x 9x+9=x+1
 2
 9x 10x+8 = 0
 '
 25 9.8 0 phương trình (1) vô nghiệm
 Trường hợp 2:b 3a 
 2
 Ta có: 3 x 1 x x 1
 9(x 1) x2 x 1
 x2 10x-8 = 0
 x 5 33 (TM)
 1
 x2 5 33 (TM)
 Vậy phương trình có 2 nghiệm x 5 33 Câu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3
 Lời giải
 Giải phương trình x2 4x+5=2 2x+3 (1)
 3
 Điều kiện: 2x+3 0 x -
 2
 (1) x2 4x+5-2 2x+3 0
 x2 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0
 (x 1)2 ( 2x+3 1)2 0
 x 1 0
 2x+3 1 0
 x 1
 2x+3=1
 x 1 thỏa mãn điều kiện
 Câu 8. (Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2010-2011)
 1
 Tìm tất cả các giá trị của x, y,z sao cho: x y z z x (y 3).(2)
 2
 Lời giải
 Điều kiện x 0; y z 0; z x 0 y z x 0 
 (2) 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
 ( x 1)2 ( y z 1)2 ( z x 1)2 0
 x 1 x 1
 y z 1 y 3 (thỏa điều kiện)
 z 2
 z x 1 
 Câu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2012-2013)
1) Giải các phương trình sau:
a) 1 x 4 x 3 
b) x2 4x 5 2 2x 3 
2) Tìm x; y thỏa mãn: 2 x y 4 y x 4 xy 2 x y 4 y x 4 xy
 Lời giải
 1) a/ ĐK: 4 x 1 Bình phương 2 vế:1 x 4 x 2 1 x 4 x 9 1 x 4 x 2 
 2 x 0
 4 3x x 4 x x 3 0 (thỏa mãn)
 x 3
 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 0; x 3 
 3
 b/ x2 4x 5 2 2x 3 ĐKXĐ: x 
 2
 x2 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0 
 2 2 x 1 0
 x 1 2x 3 1 0 x 1 
 2x 3 0
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 
 2) 2 x y 4 y x 4 xy x.2. y 4 y.2. x 4 xy 
 Xét VP x.2. y 4 y.2. x 4 theo BĐT cosi: 
 4 y 4 y 4 x 4 x
 2 y 4 ;2 x 4 vậy VP xy VT 
 2 2 2 2
 x 4 2 x 4 2
 Dấu “=” xảy ra khi: x y 8 x y 8
 y 4 2 y 4 2
Câu 10. (Đề thi HSG 9 tỉnh Khánh hòa 2017-2018)
 Giải phương trình: 2 5x 3 x2 x 2 27 3 x 1 x 2 .
 Lời giải
 x + 2 0 x - 2 
 ĐK : x 1. 
 x 1 0 x 1
 2 5x 3 x2 x 2 27 3 x 1 x 2
 10x 6 x2 x 2 27 3 x 1 x 2 (1).
 Đặt t 3 x 1 x 2 mà x 1 t 3. 
 Phương trình (1) t 2 t 20 0 t 4 t 5 = 0 t = 5 t 3 . Khi đó ta có phương trình: 3 x 1 x 2 5 
 3 x 1 3 + x 2 2 0
 3 x 2 x 2
 0
 x 1 1 x 2 2
 3 1 
 x 2 0
 x 1 1 x 2 2 
 3 1 
 x 2 0 x 2 do > 0 .
 x 1 1 x 2 2 
Vậy phương trình có tập nghiệm S {2}.