Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5: Hàm số

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 5: HÀM SỐ y = ax + b và y = ax^2
Câu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Chư Sê 2019-2020) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) có phương trình 
 (m - 4)x + (m - 3)y = 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến 
 đường thẳng (d) là lớn nhất.
 Lời giải
 ▪ Với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) không đi qua gốc tọa độ.
 ▪ Với m = 4 , ta có đường thẳng (d): y = 1. Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ 
 đến đường thẳng (d) bằng 1. (1)
 ▪ Với m = 3 , ta có đường thẳng x = - 1. Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến 
 đường thẳng (d) bằng 1. (2)
 æ ö
 ç 1 ÷
 ▪ Với m ¹ 4;m ¹ 3 thì đường thẳng (d) cắt trục Oy;Ox lần lượt tại Aç0; ÷ 
 èç m - 3ø÷
 æ ö
 ç 1 ÷ 1 1
 và ç ;0÷, suy ra OA = ;OB = . Kẻ đường cao 
 èçm - 4 ø÷ m - 4 m - 3
 OH ^ AB (H Î AB).
 1 1 1 2 2
 Ta có = + = (m - 3) + (m - 4) = 2m2 - 14m + 25
 OH 2 OA2 OB 2
 æ ö
 ç 2 7 49÷ 1 1
 = 2çm - 2.m. + ÷+ ³ .
 èç 2 4 ø÷ 2 2
 Þ OH 2 £ 2 Û OH £ 2 . (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn nhất 
 7
 bằng 2 khi m = .
 2
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh ĐÀ NẴNG 2010-2011)
 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các 
 d d ( )
 đường thẳng 1 , 2 và m . Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
 ( ) d d
 m cắt hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có 
 hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên 
 trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ 
 1 1
 nhất của biểu thức Q .
 OM 2 ON 2
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Lời giải
 ( )
 Điều kiện để m là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0 .
 d ( )
 Phương trình hoành độ giao điểm của 1 và m là:
 0,5x 3 mx (m 0,5)x 3 
 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5
 d ( )
 Phương trình hoành độ giao điểm của 2 và m là:
 6 x mx (m 1)x 6
 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0
 b) Đặt M xm và n yN m.n 0 và m 1 (*)
 Nên đường thẳng qua ba điểm M , I, N có dạng: y ax b 
 0 am b
 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn 
 n b
 1 2
 Chia hai vế cho m.n 0 ta được: 1 (**)
 m n
 2 2
 1 2 1 4 4 1 1 2 1 
 1 2 2 5 2 2 
 m n m n mn m n m n 
 1 1 1 2 1
 Q ; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp (**): m 5, n 2,5 (thỏa 
 m2 n2 5 m n
 (*)
 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 
 5
Câu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Động 2019-2020) 
 Chứng minh hàm số y m2 2m 2 x luôn đồng biến với mọi tham số m.
 Lời giải
 2
 Ta có: m2 2m 2 m 1 1 0  m ¡
 Vậy hàm số y m2 2m 2 x luôn đồng biến với mọi tham số m.
Câu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh KIÊN GIANG 2012-2013) 
 Tìm m để hàm số y m2 2m x m2 1 nghịch biến và đồ thị của nó cắt trục tung tại 
 điểm có tung độ bằng 3.
 Lời giải
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Hàm số y m2 2m x m2 1 nghịch biến m2 2m 0 m m 2 0
 0 m 2 1 
 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 khi m2 1 3 m 2 2 
 Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài 
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh THANH HÓA 2018-2019) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol P : y ax2 a 0 và đường thẳng 
 d : y bx 1
 1/ Tìm các giá trị của a và b để P và d cùng đi qua điểm M 1;2 . 
 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng P và d còn có một điểm chung N khác 
 M . Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ).
 Lời giải
 1/ Tìm các giá trị của a và b để P và d cùng đi qua điểm M 1;2 .
 M P 2 a.12 a 2 y 2x2 
 M d 2 b.1 1 b 1 y x 1 
 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng P và d còn có một điểm chung N khác 
 M . Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ).
 Xét pt hoành độ gđ: 2x2 x 1 2x2 x 1 0 
 x 1 y 2
 1 1 
 1 1 M 1;2 ; N ; 
 x y 2 2 
 2 2 
 1 1 1 1 1 1 
 S MON Sthang S1 S2 . 2 . 1 . . 1.2 . 0,75
 2 2 2 2 2 2 
Câu 6. (Đề thi HSG 9 thuyện KIM THÀNH 2012-2013) 
 2012
 Cho hàm số: f x x3 12x 31 
 Tính f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 Lời giải
 2012
 Cho hàm số: f x x3 12x 31 
 Tính f a tại a 3 16 8 5 3 16 8 5
 Từ a 3 16 8 5 3 16 8 5
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a3 32 33 16 8 5 16 8 5 3 16 8 5 3 16 8 5 32 12a nên 
 a3 12a 32 .
 Vậy f a 1.
Câu 7. (Đề thi HSG 9 tỉnh HƯNG YÊN 2014-2015) 
 Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 1 ( m là tham số thực). Tìm m 
 để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 .
 Lời giải
 a) Hoành độ giao điểm của P và d là x2 mx 1 x2 mx 1 0 
 Ta có m2 4 .
 Vì m2 4 0 nên đồ thị hàm số P và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 x1 x2 m
 Theo hệ thức Vi-et ta có 
 x1x2 1
 Gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là giao điểm của P và d ta có:
 2 2
 AB x1 x2 y1 y2 10
 2 2
 x1 x2 y1 y2 10
 2 2 2 2
 x1 x2 x1 x2 10
 2 2 2
 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 10 
 x x 2 4x x x x 2 x x 2 4x x 10
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
 m2 4 m2 m2 4 10 
 m4 5m2 6 0 
 m4 m2 6m2 6 0 
 m2 1 m2 6 0 
 m2 1 0 
 m 1.
Câu 8.(ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BÌNH ĐỊNH NĂM 2016 – 2017)
 2
 Cho phương trình: 2x 3mx 2 0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm giá 
 2
 2 2
 2 1 x1 1 x2 
 trị nhỏ nhất của biểu thức: M x1 x2 
 x1 x2 
 Lời giải
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
 2
 2 2
 3m 2 2 1 x1 1 x2 
 Ta có: x1 x2 và x1.x2 M x1 x2 ...... 
 2 2 x1 x2 
 2 2
 2 1 x x 2 1 x x 
 x x 1 1 2 x x 4x x 1 1 2 
 1 2 2 1 2 1 2 2
 x1x2 x1x2 
 9 2 2
 9 m 8 2 8 8 2 8 
 2 
 Dấu “=” xảy ra khi m 0 
 Vậy GTNN của M là 8 2 8 khi m 0
Câu 9.(ĐỀ HSG LỚP 9 TỈNH BẾN TRE NĂM 2018 – 2019)
 Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị D .
 a) Vẽ đồ thị D của hàm số trên.
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm.
 c) Dựa vào đồ thị D , tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x . 
 Lời giải
 2 x 8 , khi x 3
 y 2 x 6x 9 x 2 2 x 3 x 2 
 a) 3x 4, khi x 3 .
 b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau:
 D : y 2 x2 6x 9 x 2 (1)
 D ' : y m
  Trang 5  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Trong đó, D ' là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy 
 tại điểm có tung độ là m . 
 Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi D và D ' không giao nhau.
 Dựa vào đồ thị , ta có:
 D và D ' không giao nhau m 5. 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m 5 .
 2 2
 c) 2 x 6x 9 x 2 x 6x 9 x 2 2 1 
 Các nghiệm của bất phương trình trên là hoành độ của các điểm thuộc (D) mà có 
 tung độ y 2 .
 x 6
 Dựa vào đồ thị ta suy ra: 1 
 x 2
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x ¡ x 6 x 2. 
Câu 10.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua một điểm H cố 
 định. Tìm tọa độ của điểm H
 b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất.
 Lời giải
 a) Gọi H x0 ; y0 là điểm cố định luôn đi qua dm với mọi m.
 H x0 ; y0 dm với mọi m
 x0 2 0 x0 2
 Ta có: y0 mx0 2m 1 y0 1 x0 2 m . 
 y0 1 0 y0 1
 Vậy H (-2 ;-1) 
 b) Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm
 | m 2 2m 1| 3| m 1| 2 2 | m 1| 
 h A,d 3 2 do (m 1) 2 m 1 2 
 m m2 1 m2 1 m2 1 
 Dấu “ = ” xảy ra khi m -1 
 Khoảng cách từ điểm A 1;2 đến dm lớn nhất là 3 2 khi m -1 
Câu 11. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành) 
 2 2
 Cho hai đường thẳng d1 : y m 1 x m 2m ; d2 : y m 2 x m m 1 cắt 
 nhau tại G . (Với m là tham số)
 a, Xác định tọa độ điểm G .
 b, Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
 Lời giải
 a, Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
  Trang 6  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 m 1 x m2 2m m 2 x m2 m 1 x m 1
 Tung độ điểm x 4 là:
 y m 1 . m 1 m2 2m y 2m 1
 Suy ra G m 1; 2m 1 .
 b, Ta có y 2m 1 2 m 1 1. Mà x m 1nên y 2x 1.
 Tọa độ điểm G thỏa mãn phương trình đường thẳng y 2x 1 cố định. Chứng tỏ G 
 luôn thuộc đường thẳng y 2x 1 cố định khi m thay đổi.
 Câu 12. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình y 5 x và 
 y 5 x bằng
 A. 70o. B. 30o. C. 90o. D. 45o.
 Lời giải
 Chọn đáp án C.
Câu 13.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B( 2018;1). Đường trung trực 
 của đoạn thẳng AB có phương trình là
 x x C. y 2018x. D. y 2018x.
 A. y . B. y .
 2018 2018
 Lời giải
 Chọn đáp án C.
Câu 14.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết rằng M cách đều 
 trục tung, trục hoành và đường thẳng y 2 x. Hoành độ của điểm M bằng
 1
 A. 2 2. B. 2 2. C. . D. 2.
 2
 Lời giải
 Chọn đáp án A,B.
Câu 15.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M 2018;2018 đến đường thẳng 
 y x 2 bằng
 A. 2. B. 2. C. 4. D. 1.
 Lời giải
 Chọn đáp án B.
Câu 16.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Phú Thọ 2017-2018) 
 2 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A m;m -10 . Khi m thay đổi thì khẳng định 
 3 
 nào dưới đây đúng ?
  Trang 7  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định.
 định.
 C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định. D. Điểm A thuộc đường thẳng y x 10.
 Lời giải
 Chọn đáp án A.
Câu 17.(Đề thi HSG 9 Tỉnh DakLak 2017-2018) 
 2
 Cho parabol P : y ax . Tìm điều kiện của a để trên P có A x0 ; y0 với hoành độ 
 2
 dương thỏa mãn điều kiện x0 1 y0 4 x0 y0 3
 Lời giải
 2 2
 Ta có x0 1 y0 4 x0 y0 3 x0 1 x0 y0 4 y0 3 . 
 1 1
 .
 2 y 4 y 3
 x0 1 x0 0 0 
 x2 1 y 4 x y 3
 0 0 0 0 2 2
 Vậy nên x0 1 y0 4 x0 1 y0 4
 2
 x0 1 y0 4 x0 y0 3
 3
 1 a x2 3 x2 0 1 a 0 a 1.
 0 0 1 a
Câu 18.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2017-2018) 
 Cho đường thẳng dm có phương trình: y mx 2m 1 ( m là tham số)
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng dm luôn đi qua 1 điểm H cố định. 
 Tìm tọa độ của điểm H.
 b) Tìm giá trị của m sao cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất.
 Lời giải
 a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng dm luôn đi qua 1 điểm H cố định.
 Tìm tọa độ của điểm H.
 Gọi H (x0 ; y0 ) là điểm cố định luôn đi qua dm với mọi m.
 H (x0 ; y0 ) dm với mọi m
 Ta có: y0 mx0 2m 1 y0 1 x0 2 m
 x0 2 0 x0 2
 . Vậy H ( 2; 1)
 y0 1 0 y0 1
 b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm
 m 2 2m 1 3 m 1
 h A,d 3 2
 m m2 1 m2 1
 m 1
 Do ( m 1 2 2 m2 1 2 )
 m2 1
 Dấu “ = ” xảy ra khi m 1
  Trang 8  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn nhất là 3 2 khi m 1
Câu 19. (Đề thi HSG 9 tỉnh Bắc Ninh 2016-2017) 
 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm trên đường thẳng y 2x 1 những điểm M x; y sao cho 
 y2 5y x 6x 0 .
 2) Cho các đa thức P x x3 ax2 bx c; Q x x2 2016x 2017 thỏa mãn P x 0 có 
 ba nghiệm thực phân biệt và P Q x 0 vô nghiệm. 
 Chứng minh rằng P 2017 10086. 
 Lời giải
 y 2 x
 1)Ta có y2 5y x 6x 0 
 y 3 x
 2
 Với y 2 x 2x 1 2 x x x 1 0 , không có x thỏa mãn.
 x 1 x 1
 Với y 3 x 2x 1 3 x 1 1
 x x 
 2 4
 1 3 
 Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là M 1;3 hoặc M ; .
 4 2 
 2) Gọi x1, x2 , x3 là ba nghiệm của P x ta có P x x x1 x x2 x x3 
 Suy ra, P Q x Q x x1 Q x x2 Q x x3 
 Do P Q x 0 vô nghiệm nên các phương trình Q x xi 0 i 1,2,3 vô nghiệm.
 2
 Hay các phương trình x 2016x 2017 xi 0 i 1,2,3 vô nghiệm
 2 2
 Do đó, các biệt thức tương ứng i ' 1008 2017 xi 0 2017 xi 1008 
 6
 Suy ra, P 2017 2017 x1 2017 x2 2017 x3 1008 .
Câu 20.(Đề thi HSG 9 tỉnh Hưng Yên 2014 - 2015) 
 Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 1 (m là tham số thực). Tìm m để (d) 
 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB 10 .
 Lời giải
 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x2 mx 1 x2 mx 1 0
 Ta có m2 4 ( vì m2 4 0 ) nên đồ thị hàm số (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm 
 phân biệt)
 x1 x2 m
 Theo hệ thức Viète ta có 
 x1  x2 1
 Gọi A (x1; y1) và B (x2; y2) là giao điểm của (P) và (d) ta có:
  Trang 9  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 2
 AB x1 x2 y1 y2 10
 2 2 2 2
 x1 x2 x1 x2 10
 2 2 2
 x1 x2 4x1x2 x1 x2  x1 x2 10
 x x 2 4x x x x 2  x x 2 4x x 10
 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
 m2 4 m2  m2 4 10
 m4 5m2 6 0
 m4 m2 6m2 6 0
 m2 1  m2 6 0
 m2 1 0
 m 1
Câu 21. (Đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm học 2011 – 2012)
 a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình 
 y x 1.Tìm trên đường thẳng các điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức 
 y2 3y x 2x 0 
 b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 
 y ax b . Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có 
 phương trình y 2x2 
 Giải:
 a) Điều kiện x 0 . Tọa độ M (x;y) là nghiệm của hệ phương trình
 y x 1 x 1
 Vậy M (1;2)
 2 
 y 3y x 2x 0 y 2
 b) Vì đường thẳng d đi qua B (1;2) nên b 2 a . Khi đó phương trình đường 
 thẳng d có dạng y ax 2 a 
 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2x2 ax a 2 0(1) 
 (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép 
 0 a 4 Với a = 4 suy ra b = - 2.
 Vậy a = 4; b = - 2 thõa mãn yêu cầu bài toán 
Câu 22. (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre năm học 2016 – 2017)
 Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị (D)
 Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên
 Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm
 Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x 
  Trang 10 