Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Hình học (Có đáp án)

 Chuyên đề 7: HÌNH HỌC
Câu 1. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) 
 Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn O .Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới 
 đường tròn ( P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt 
 đường thẳng OQ tại M .
 1/ Chứng minh rằng: MO MA 
 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn O sao cho tiếp tuyến với O tại N cắt 
 các tia AP và AQ lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng:
 a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N .
 b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ / /BC 
 Lời giải
 B
 P
 1
 N
 A 1
 2 1 O
 M 1
 Q
 1
 C
 1/ Chứng minh rằng: MO MA 
 µ µ µ ¶ · µ
 A1 O1 và A1 A2 A2 O1 MAO cân MO MA
 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn O sao cho tiếp tuyến với O tại N 
 cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng:
 a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N .
 Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có AB AC BC ... 2AP (không đổi)
 b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ / /BC
 µ µ
 Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được P1 C1 µ µ µ µ
 mà P1 Q1 C1 Q1 PQ / /BC
Câu 2. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Cẩm Thủy 2011-2012)
 1)Cho hình vuông ABCD , có độ dài cạnh bằng a . E là một điểm di chuyển trên CD ( E 
 khác C, D ). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với 
 AE tại A cắt đường thẳng CD tại K .
 1 1
 a. Chứng minh: không đổi
 AE 2 AF 2
 b. Chứng minh: cos·AKE sin E· KF.cos E· FK sin E· FK.cos E· KF
 c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC . Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao 
 cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD .
 2) Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba 
 điểm H, I, K lần lượt là hình chiếu của B,C, D trên đường thẳng d . Xác định vị trí đường 
 thẳng d để tổng: BH CI DK có giá trị lớn nhất.
 Lời giải
 A B
 M
 M'
 N
 N' P
 E
 C
 K D Q
 H F
 a) Học sinh c/m: ABF ADK g.c.g suy ra AF AK 
 Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:
 1 1 1 1 1 1 1
 hay (không đổi) 
 AK 2 AE 2 AD2 AF 2 AE 2 AD2 a2
 1 1
 b) HS c/m S KE.EF.sin ·AEK KE.EF.cos ·AKE
 KEF 2 2
 1 1
 Mặt khác: S EH.KF EH.(KH HF) . Suy ra:
 KEF 2 2
 EH.KH EH.HF
 KE.EF.cos ·AKE EH.(KH HF) cos ·AKE 
 KE.EF
 EH KH EH HF
 cos ·AKE . . sin E· FK.cosE· KF sin E· KF.cosE· FK
 EF EK KE EF
 c) Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn NP NQ MN Lấy N ' đối xứng N ; M ' đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN 'M cân tại N MN ' 
 là phân giác của D· MM ' Cách dựng điểm N :
 - Dựng M ' đối xứng M qua AD
 - Dựng phân giác D· MM ' cắt DM ' tại N '
 - Dựng điểm N đối xứng N ' qua AD 
 d
 2)
 H
 I
 P
 A
 B
 K
 O
 D
 C
 Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P 
 Chứng minh BH CI DK OP 
 Mà OP AO nên BH CI DK 4AO . Vậy Max BH CI DK 4AO 
 Đạt được khi P  A hay d vuông góc AC 
Câu 3. (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012)
 Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF 
 là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 
 1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
 2) KH  AM.
 Lời giải µ µ 0
 1) Ta có E F 90 nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là C1 là 
 trung điểm AH
 · µ ¶ · · · · ·
 AEC' B1 A1 BEM MEC CEK = MCE DEC
  
 A· EC' B· EM M· EK M· DE
  
 ME  C'E M· ED M· KE
  
 ME là tt cua (C') ME là tt cua (C'')
2)gọi giao điểm AM với (C ' ) là I . ta có: 
ME là tiếp tuyến của (C ' ) ME 2 MI.MA 
ME là tiếp tuyến của (C ' ) ME 2 MD.MK 
 MI.MA MD.MK .... Tứ giác AIDK nội tiếp ·AIK ·ADK 900 KI  AM (1) 
 Ta lại có: ·AIH 900 (góc nt chắn nửa C ' HI  AM 2 
 Từ (1) và (2) H, I, K thẳng hàng KH  AM (Đpcm)
Câu 4. (Đề thi HSG 9 tỉnh huyện Lâm Thao 2017-2018)
 1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp 
 tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và 
 nửa đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp 
 tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và 
 BC là K, MK và AB là H.
 a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
 b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng 
 nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB 
 thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
 2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, 
 (a b c)2
 AC, BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2 2 2 4 
 ha hb hc
 Lời giải
 F
 D E
 M
 C
 K
 A
 H O B
 N
 a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC CM , BD DM
 Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax / / By , theo định 
 lí Ta-lét ta
 KD BD KD MD
 có: MK / / AC mà AC  AB MK  AB 
 KA AC KA MC
 KH BK KM DK KD BK
 Ta có (1); (2); (3);Tu (1)(2)(3) ta có :
 AC BC AC DA AD BC
 KH MK
 MK KH
 AC AC
 b)Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với MB . Ta có 
 B· EF = 90 0 .
 Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g) 
 AB BF 2R BF không đổi,
 F thuộc tia By cố định F cố định. 
 Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và 
 song song với MB luôn đi qua điểm cố định F .
 2)
 D
 c
 ha
d A
 b
 ha c
 ha
 H
 B C
 a
 Qua A kẻ đường thẳng d / /BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD 2ha , AD c 
 2
Trong tam giác ACD ta có DC AD AC c b DC 2 b c 
dấu “=: xảy ra khi ABC µA 600 mà trong tam giác vuông DBC 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 DC BD BC 4ha a 4ha b c a b c a b c a ,(1) 
 2 2
 Tương tự 4hb a c b b c a ,(2);4hc a b c b c a ,(3)
 Từ (1);(2);(3) ta có: 
 2 2 2 2
 4ha 4hb 4hc a b c b c a a c b a b c a b c 
 a b c 2
 2 2 2 4
 ha hb hc
 Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
Câu 5. (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2012-2013)
 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi 
 nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc 
 hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.
 a) CMR: HA2 HB2 HC 2 HD2 không đổi.
 b) CMR : PQRS là tứ giác nội tiếp.
 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh 
 MN NP PQ QM
 AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: S ≤ AC
 ABCD 4
 Lời giải
 1)
 A
 Q
 P
 B D
 O
 H
 S
 R
 C
 a) theo Pitago 
 HA2 HB 2 AB 2 ;HC 2 HB 2 BC 2 ;HC 2 HD 2 CD 2 ;HA2 HD 2 AD 2 ;
 suy ra đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp H· PS H· BS D· BC
 Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật H· PQ H· AQ C· AD C· BD
 Do đó S· PQ H· PS H· PQ 2C· BC
 Tương tự S· QR 2B· DC
 Do đó D· BC B· DC 1800 S· PQ S· RQ 1800 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo)
 2)
 A M B
 I
 N
 K
 Q
 L
 C
 D P
 Ta có theo Pitago
 (BM BN)2 BM BN
 MN 2 BN 2 BM 2 MN ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky)
 2 2
 CN NP DP DQ AQ AM
 Tương Tự NP ;PQ ;MQ 
 2 2 2
 Nên
 BM NB NC CP PD DQ QA AM 4a
 MN NP PQ QM 2a 2
 2 2
 a 2
 MN NP PQ QM a 2 dpcm
 4
 Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật
Câu 6. (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. 
 Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N 
 và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
 1 1
 b) Khi B· OC 1200 , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất
 MB MC
 2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC 
 không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt 
 đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng 
 minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
 Lời giải
 1)
 A
 I E
 P
 O
N H
 B
 F
 C
 M
 a)Gọi giao điểm của HB với AC là E 
 AH với BC là F , CH với AB là I 
 HECF là tứ giác nội tiếp.
 A· HE A· CB (1)
 Mà A· CB A· MB ( góc nội tiếp cùng chắn một cung)
 Ta có: A· MB A· NB (Do M , N đối xứng AB ) (2)
 Từ (1), (2) AHBN là tứ giác nội tiếp
 N· AB N· HB (*)
 Mà N· AB M· AB (Do M , N đối xứng qua AB ) (**)
 Từ (*), (**) N· HB B· AM
 · · · · ·
 NHB PHC BAM MAC BAC
 0
 Mà B· AC I·HE 180
 · · · 0
 NHB PHC BHC 180 ( vì I·HE B· HC ) N, H, P thẳng hàng
 b) Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC 
 0
 B· OC 120 BJC đều
 Trên đoạn JM lấy K sao cho MK MB JKB CMB
 J
 O
 K
 C
B
 M
 BM MC JM
 1 1 4
 BM MC BM MC
 1 1 4
 BM MC JM
 JM lớn nhất JM là đường kính O lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC 
 .
 1 1
 Vậy BM MC nhỏ nhất M là điểm chính giữa cung nhỏ BC
 2)