Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7: Hình học (Phần 1)

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 7: HèNH HỌC (PHẦN 1)
Cõu 1.(Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020) 
 Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh bằng a .Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Điểm 
 H thuộc cạnh DI sao cho AH vuụng gúc với DI
 1) Chứng minh rằng CHD cõn
 2) Tớnh diện tớch CHD .
 Lời giải
 1) Gọi K trung điểm của AD ; E là giao điểm của CK và DI .
 Xột ADI và DCK cú:
 ã ã 0 AB CD 
 CDK DAI 90 (gt) ; CD AD (gt) ; AI DK 
 2 2 
 Suy ra: ADI DCK (c.g.c) 
 Ã DI Dã CK ; mà Dã CK Dã KC 900
 Suy ra: Ã DI Dã KC 900
 KC  DI (1) 
 - Lại cú: HK là đường trung tuyến ứng 
 với cạnh huyền AD 
 HK KD (2) 
 Từ (1) va (2) suy ra : KC là đường trung 
 trực của DH 
 CH CD CHD cõn tại C 
 a 5
 2) Áp dụng định lý Pytago trong tam giỏc vuụng ADI , ta tớnh được : DI 
 2
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng ADI , đường cao AH ta cú:
 AD2 a2 2a
 DH.DI AD2 DH 
 DI a 5 5
 2
 AI.AD a2 a 5 a
 AH.DI AI.AD AH : 
 DI 2 2 5
 1 a
 Mà EK là đường trung bỡnh của AHD EK AH 
 2 2 5
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng DKC , đường cao DE ta cú: CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 KD2 a2 a a 5
 KE.CK KD2 CK : 
 KE 4 2 5 2
 a 5 a 2a
 Suy ra: CE CK KE 
 2 2 5 5
 1 1 2a 2a 2a2
 Diện tớch CHD là: SCHD CE.DH . . (đvdt)
 2 2 5 5 5
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Triệu Phong 2019-2020) 
 Xỏc định M nằm trong tam giỏc ABC sao cho tớch cỏc khoảng cỏch từ M đến cỏc cạnh 
 của tam giỏc đạt giỏ trị lớn nhất.
 Lời giải
 Đặt AB c ,BC a , AC b .
 Gọi D ,E ,F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn cỏc cạnh BC , AC , AB và đặt 
 MD , ME , MF lần lượt là x , y ,z .
 xa yb zc 33 xa.yb.zc
 Ta cú: S S S S 
 ABC MAB MBC MAC 2 2
 3
 3 3 3 3 2SABC 8S ABC
 SABC abc. xyz xyz xyz (luụn là hằng số khụng đổi)
 2 33 abc 27abc
 8S3
 Vậy tớch cỏc khoảng cỏch từ M đến 3 cạnh của ABC đạt GTLN bằng ABC
 27abc
 Dấu “ = “ xảy ra xa by cz SMAB SMBC SMAC 
 Hay : M là trọng tõm của ABC 
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Chương Mỹ Vũng 2 năm 2020) 
 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AB AC , đường cao AH ( H thuộc BC ). Kẻ 
 HD, HE lần lượt vuụng gúc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Đường 
 thẳng qua A vuụng gúc với DE cắt BC tại I . CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
a) Chứng minh: I là trung điểm của BC .
b) Kẻ đường thẳng vuụng gúc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K . Chứng 
minh AB là tia phõn giỏc của gúc KAH .
c) Chứng minh: AD.BD AE.EC AI 2 .
2. Cho tam giỏc ABC , kẻ cỏc đường phõn giỏc trong AD, BE,CF của ABC..
a) Chứng minh AB.BD BD.DC AD2 .
 1 1 1 1 1 1
b) Chứng minh: .
 AB AC BC AD BE CF
 Lời giải
1.
 K
 B
 H
 D
 I
 J
 4 G
 1 2
 3
 C
 A E
a) Gọi giao điểm của DE với AH , AI lần lượt tại J;G 
Tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật Hã AE Jã AE ?
 à ã
Mà A1 HAE 90 (hai gúc phụ nhau)
 à ã
 A3 JEA 90 ( AGE vuụng)
 à à
Do đú A1 A3 
 à à ã à à
Vỡ A1 C (cựng phụ HAC ) A3 C AIC cõn tại I AI IC 
Tương tự: AI BI 
Vậy IB IC IA .
b) Ta cú AIB cõn tại I IãBA IãAB 
 ả ã
 A4 IAB 90
mà và Hã AC IãBA (cựng phụ àA )
 à ã 1
 A1 HAC 90
 à ả
Do đú: A1 A4 
 AB là phõn giỏc của Hã AK CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 AD.DB HD2 
c) Ta cú: AD.DB AE.EC HD2 HE 2 DE 2 AH 2 
 2 
 AE.EC HE  
Xột AHI vuụng tại H , ta cú AH 2 AI 2 
Do đú AD.DB AE.EC AI 2 .
2. 
 M
 A
 2 1
 E
 F
 J
 B C
 D
 K
a) Lấy K thuộc tia đối của tia DA sao cho ãAKB ãACB 
 AD AC
Vỡ ACD ∽ AKB (g.g) AB.AC AD.AK (1)
 AB AK
 DC AC AD
Vỡ DAC ∽ DBK (g.g) DC.BD DK.AD (2)
 DK BK BD
Trừ (1), (2) suy ra AB.AC DC.BD AD. AK KD AD.AD AD2 
b) Kẻ BM //AD , cắt đường thẳng AC tại M 
 ABM cõn tại A AM AB 
Theo BĐT tam giỏc: MB AM AB MB 2AB 
 AD CA AC AC
Do AD//BM (do CM AC AM ; AM AB )
 BM CM AC AM AC AB
 AD AC
 BM AC AB
 AC AC.2AB 2AB.AC
 AD .BM 
 AC AB AC AB AC AB
 1 AC AB 1 1 1 1 1 
 . 
 AD 2AB.AC 2AC 2AB 2 AC AB CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 1 1 1 
 Tương tự: . 
 BE 2 AB BC 
 1 1 1 1 
 . 
 CF 2 AC BC 
 1 1 1 1 1 1
 Cộng vế với vế, ta được: .
 AD BE CF AB BC AC
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 huyện Bỡnh Giang 2019) 
 Cho ABC nhọn. Cỏc đường cao AD, BE,CF của ABC cắt nhau tại H.
 1) Chứng minh rằng ABC đồng dạng với AEF .
 2) Giả sư Bã AC 45o , hóy tớnh diện tớch tứ giỏc BCEF , biết diện tớch ABC là 60cm2 
 DC AC 2 BC 2 AB2
 3) Chứng minh rằng: .
 BD BC 2 AB2 AC 2
 4) Chứng minh rằng: H cỏch đều ba cạnh của DEF .
 AH BH CH
 5) Chứng minh rằng: 3
 BC AC AB
 Lời giải
 1) Vẽ hỡnh: 
 A
 E
 F
 H
 B
 D C
 AE AF
 Do BE  AC;CF  AB nờn ta cú cos A ;A chung
 AB AC
 AEF đồng dạng ABC (c.g.c)
 2) EAB vuụng tại A cú EAB 45o
 AE 2
 cos A cos 45o 
 AB 2
 AE 2
 AEF đồng dạng ABC theo tỷ số đồng dạng k 
 AB 2 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 SAEF 2 1 1 2
 k SAEF SABC 30cm 
 SABC 2 2
 2
SBCEF SABC SAEF 60 30 30 cm 
3) Ta cú: 
AC 2 AD2 DC 2 ; BC 2 DB DC 2 ; AB2 AD2 DB2 
 2
 AC 2 BC 2 AB2 AD2 DC 2 DB DC AB2
 BC 2 AB2 AC 2 DB DC 2 AB2 AD2 DC 2 
 AD2 DC 2 DB2 DC 2 2BD.DC AB2
 DB2 DC 2 2BD.DC AB2 AD2 DC 2
 2DC 2 2BD.DC AD2 DB2 AB2
 DB2 2BD.DC AB2 AD2
 2DC 2 2BD.DC 2DC DC BD DC
 2DB2 2BD.DC 2BD BD DC DB
4) Do AEF đồng dạng ABC ( cõu a) ãAFE ãACB
Chứng minh tương tự cõu a) ta cũng cú BDF đồng dạng BAC ( cõu a) 
 Bã FD ãACB
 Bã FD ãAFE ãACB 
 Dã FC Eã FC
 FC là tia phõn giỏc của Eã FD
Chứng minh tương tự ta cũng cú EB là tia phõn giỏc của Fã ED
 H là giao điểm của ba đường phõn giỏc của DEF
 H cỏch đều ba cạnh của DEF .
5) Ta cú: SABC SAHC SHBC SABH
 HEC đồng dạng AFC (g.g)
 HC CE HC.HB CE.HB S
 HBC
 AC CF AC.AB CF.AB SABC
 HA.HB S HA.HC S
Tương tự: ABH ; ACH
 AC.BC SABC AB.BC SABC
 HC.HB HA.HB HA.HC S S S S
Do đú: BCH ABH ACH ABC 1
 AC.AB AC.BC AB.BC SABC SABC
Với ba số khụng õm x, y, z ta cú:
x2 y2 2xy; x2 z2 2xz; z2 y2 2zy 
 x2 y2 z2 xy xz yz
 x y z 2 x2 y2 z2 2 xy xz yz 
 x y z 2 3 xy xz yz 
Áp dụng bài toỏn trờn ta cú:
 2
 HA HB HC HA HB HB HC HA HC 
 3    3.1 3 
 BC AC AB BC AC AC AB BC AB 
 HA HB HC
 3
 BC AC AB CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 huyện Đức Cơ 2019) 
 Cho gúc vuụng xã Oy . Trờn cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm , trờn tia đối của tia
 Ox lấy điểm B sao cho OB 2cm . Đường trung trực của AB cắt AB ở H , M là một 
 điểm nằm trờn đường trung trực đú. Cỏc tia AM , MB cắt Oy lần lượt ở C và D . Gọi E 
 là trung điểm của AC , F là trung điểm của BD .
 1. Chứng minh OE.OF= AE.BF .
 2. Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh 3 điểm O, I, M thẳng hàng.
 3. Xỏc định vị trớ của điểm M để cho OM EF . Khi đú S1 là diện tớch tứ giỏc 
 S1 S2
 OBME , S2 là diện tớch tứ giỏc ABFE . Tớnh tỉ số 
 S1.S2
 Lời giải
 + BOD cú OF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nờn FO FB BFO 
 cõn tại F Bà Fã OB . (1)
 + EAO vuụng tại ? cú OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MA nờn OE EA
 EAO cõn tại E àA ãAOE. (2)
 + MAB cú MA MB MAB cõn tại M àA Bà. (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra BFO ∽ OEA (gúc – gúc)
 FO BF
 OE.FO EA.BF.
 EA OE
 1. Ta cú: Mã AB Fã OB nờn OF / / MA 
 Mã BA Eã OA nờn OE / / MB CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Suy ra tứ giỏc MEOF là hỡnh bỡnh hành. Suy ra đường chộo OM đi qua trung điểm I 
 của EF .
 Vậy 3 điểm O, I, M thẳng hàng.
 2. OEMF là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo OM EF nờn OEMF là hỡnh chữ nhật 
 BFO ∽ BMA mà MA MB AMB vuụng cõn tại M Mã AB 450 .
 Khi đú AHM vuụng cõn tại H . Mặt khỏc H là trung điểm của AB
 HM HA 3cm. 
 Vậy M nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng AB và cỏch AB một đoạn 
 MH 3cm .
 MAH vuụng ở H , ta cú: MA2 MH 2 HA2 33 32 18 MA 18 3 2 (cm)
 + BFO và BMA cú Mả Fà; àA Bà; suy ra BFO ∽ BMA (g - g) nờn 
 FO BO 2 1 MA 3 2
 FO 2 (cm)
 MA AB 6 3 3 3
 OE OA 4
 2 OE 2.FO 2 2 (cm)
 FO OB 2
 2 2
 SOEMF OE.FO 2 2. 2 4(cm ) S FEO 4 : 2 2 cm 
 1 1
 Ta cú: S .MH.AB .3.6 9(cm2 ) 
 ABM 2 2
 1 S 1
 Ta cũng cú BFO ∽ OEA theo tỉ số đồng dạng k nờn BFO k 2 
 2 S OEA 4
 2 2
 S BFO 1 cm ;S OEA 4 cm 
 2
 S1 SOBME SBFO SOEMF 1 4 5 cm 
 2
 S2 SABFE SBFO SFEO SOEA 1 2 4 7 cm .
 S S 5 7 12
 Vậy 1 2 .
 S1.S2 5.7 35
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 huyện Thường Tớn 2019-2020) 
 1. Cho hai đường trũn O; R và đường trũn O ; R / 2 tiếp xỳc ngoài nhau tại A . Trờn 
 đường trũn O lấy điểm B sao cho AB R và điểm M trờn cung lớn AB . Tia MA 
 cắt đường trũn O tại điểm thứ 2 là N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB , 
 cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường trũn O ở P .
 a) Chứng minh tam giỏc OAM đồng dạng tam giỏc O AN .
 b) Tớnh NQ theo R .
 c) Xỏc định vị trớ của M để diện tớch tứ giỏc ABQN đạt giỏ trị lớn nhất, tớnh giỏ trị lớn 
 nhất theo R . CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
2. Cho tam giỏc ABC và một điểm O nằm trong tam giỏc đú. Cỏc tia AO , BO , CO cắt 
 OA OB OC
cỏc cạnh BC , CA, AB theo thứ tự tại M , N, P . Chứng minh rằng: 2 
 AM BN CP
.
 Lời giải
a) Ta thấy OAM ∽ O AN (g.g) vỡ Oã AM Oã AN; ãAOM ãAO N .
b) Vỡ AB//NQ , ỏp dụng hệ quả định lớ Ta-lột ta cú
 AB MA OA R 2 3
 NQ R .
 NQ MN OO 3R 3 2
 2
c) Kẻ AK  NQ, MH  AB, OC  AB , gọi OC  O I .
 1 1 3 5R
SABNQ AB NQ .AK . R R .AK .AK Smax AK cú giỏ trị lớn nhất.
 2 2 2 4
 MH MA OA
Ta cú MAH ∽ ANK g.g 2 MH 2AK .
 AK AN AO 
Để AK cú giỏ trị lớn nhất thỡ MH lớn nhất.
 R 3 R 2 3 R 2 3 
Ta cú MH MC OM OC R . Nờn suy ra AK .
 2 2 4
 5R2 2 3 
Khi đú, tứ giỏc ABQN cú diện tớch lớn nhất là S khi M  I là giao 
 max 16
điểm của đường trung trực của AB với O .
2) 
Gọi S1;S2 ;S3;S lần lượt là diện tớch cỏc tam giỏc 
OBC, OCA, OAB, ABC . CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Dựng AH  BC (H BC), AK  BC (K BC) AH //OK
 Áp dụng đớnh lý Talets và tỉ số diện tớch tam giỏc, ta cú 
 OM OK S ON S OP S
 1 , tương tự 2 ; 2 .
 AM AH S BN S CP S
 Cộng cỏc đẳng thức trờn theo vế 
 OM ON OP S S S S
 1 2 3 1
 AM BN CP S S
 AM OA BN OB CP OC
 1
 AM BN CP
 OA OB OC 
 3 1
 AM BN CP 
 OA OB OC
 2 .
 AM BN CP
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Yờn Thành 2019-2020) 
 Cho tam giỏc nhọn ABC (AB AC) , Ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I 
 là giao điểm EF và AH . Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB, BE lần lượt tại 
 B và Q.
 1/ Chứng minh: AEF ∽ ABC .
 2/ Chứng minh: IP IQ .
 3/ Gọi M là trung điểm của AH . chứng minh I là trực tõm của tam giỏc BMC .
 Lời giải
 1. Chứng minh: AEF ∽ ABC . A
 AE AB
 Ta cú: AEF ∽ ABC (g g) (1)
 AF AC
 E
 Xột AEF và ABC cú: K
 P
 N I
 Eã AF Bã AC (gúcchung) F Q
 AE AB  H
 (1) 
 AF AC 
 AEF ∽ ABC (c g c)
 2. Kẻ AK và HN vuụng gúc với EF ( K; N EF ) C
 B D
 Ta cú: AK / /HN (cựng vuụng gúc với EF )
 1
 AK.EF
 IA AK S
 2 AEF (1)
 IH HN 1 S
 HN.EF HEF
 2