Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Phương trình và hệ phương trình

 Chuyờn đề phương trỡnh và hệ phương trỡnh.
 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BèNH DƯƠNG
 NĂM HỌC:2016 - 2017
Cõu 1. (3,0 điểm) 
 x2 1
a) Giải phương trỡnh: 1.
 3 9 x2 4 3 9 x2 
 1 
 x y 1 5
 xy 
b) Giải hệ phương trỡnh: 
 1 
 x2 y2 1 49
 2 2 
 x y 
 Lời giải
 x2 1
a) Phương trỡnh: 1
 3 9 x2 4 3 9 x2 
 2
 9 x 0 3 x 3
Điều kiện: 
 2 
 3 9 x 0 x 0
 2 2
 2 x x
 x 1 3 9 3 9 1
 1 1
 3 9 x2 4 3 9 x2 3 9 x2 4 3 9 x2 
 1 2
 3 9 x2 1 4 3 9 x2 4 3 9 x2 1 0
 4 3 9 x2 
 1 5 11 11
 3 9 x2 9 x2 x2 x (tmủk)
 2 2 4 2
 1 
 x y 1 5
 xy 
b) Hệ phương trỡnh: ủk : x, y 0
 1 
 x2 y2 1 49
 2 2 
 x y 
 1 1
 1 1 x y 5
 x y 5 
 x y x y
 2 2
 2 2 1 1 1 1 
 x y 49 x y 53
 2 2 
 x y x y 
 1
 x a
 x a b 5 a 5 b b 7;a 2
Đặt ta được: 
 1 2 2 2 b 2;a 7
 y b a b 53 2b 10b 28 0 
 y
 1 1
 x 2 x 1 x 7 7 3 5
 a 2 x a 7 x x 
* 7 3 5 * 2
 b 7 1 y b 2 1 
 y 7 2 y 2 y 1
 y y ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017
 2
 x 3x y 3 y 1
 2) Giải hệ phương trỡnh 16 .
 3 y 5
 x
 2
 x 3x y 3 y 1
 2) (ĐK16 : x 0; y 0)
 3 y 5 (*)
 x
 x 1 0
 16 (1)
 x 1 x 3 y 1 0 3 y 5
 Ta cú (*) x 
 16 
 3 y 5 x 3 y 1 0
 x 16 (2)
 3 y 5
 x
 x 1
 x 1 
 Giải (1) 121 (TMĐK).
 3 y 11 y 
 9
 x 3 y 1
 x 3 y 1
 Giải (2) 16 
 3 y 5 
 3y 4 y 7 0
 3 y 1
 x 3 y 1
 x 2 (TMĐK).
 y 1 3 y 7 0 y 1
 121 
 Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm x; y 1; ;(2;1) .
 9 
 ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017
Cõu 5: Tỡm cỏc số hữu tỷ x, y thỏa món đẳng thức: x 2 y 2 2 3 .
 Lời giải
 2
 Ta cú 2 2 3 2. 2. 2 3 2. 4 2 3 2. 3 1 2 3 1 6 2
 1
 6 2
 2
 1
 Vỡ x, y Ă nờn x 6; y .
 2
Cõu 6: Giải phương trỡnh 3 x 2 3 x 4 3 2 . 
 Lời giải
 3 x 2 3 x 4 3 2
 3 3
 3 x 2 3 x 4 3 2 
 x 2 x 4 33 x 2. 3 x 4 3 x 2 3 x 4 2
 2 33 2 x 2 x 4 2
 x 2 x 4 0
 x 2 0 x 2
 .
 x 4 0 x 4 2(x 2x y) 3 y
Cõu 7: Giải hệ phương trỡnh . 
 2 2
 x 2xy y 2
 Lời giải
 Điều kiện : 2x y 0 
 2(x 2x y) 3 y 2x y 2 2x y 3 0
 Đặt 2x y t,t 0 ta cú phương trỡnh t 2 2t 3 0 
 t 1 nhaọn 
 t 1 t 3 0 
 t 3 loaùi 
 2x y 1 2x y 1
 Với ta cú hệ phương trỡnh 
 t 1 2 2 2
 x 2xy y 2 x y 2x y 2
 x 1
 2x y 1 
 2x y 1 2x y 1 y 1
 x 1 .
 2 2 
 x y 2 x 2x 3 0 x 3
 x 3 
 y 7
 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là x, y 1; 1 ; 3;7 .
 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƯNG YấN NĂM HỌC 2016-2017
Cõu 3: (3,0 điểm)
 Giải phương trỡnh: .4 x3 5x2 1 3x 1 3x
 Lời giải
 1
 ĐK: .x 
 3
 4x3 5x2 1 3x 1 3x
 4x3 5x2 1 3x 1 3x 0
 4x3 5x2 x 2x 1 3x 1 0
 2x 1 2 3x 1 
 4x3 5x2 x 0
 2x 1 3x 1 
 4x2 x
 4x2 x x 1 0
 2x 1 3x 1
 1 
 4x2 x x 1 0(*)
 2x 1 3x 1 
 1 1
 Với x thỡ x 1 0 
 3 2x 1 3x 1
 x 0
 (*) 4x2 x 0 1 (thỏa món điều kiện)
 x 
 4
 1
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 0; x .
 4
Cõu 4: (3,0 điểm)
 y2 2x 1 3 5y2 6x 3
 Giải hệ phương trỡnh: . 4 2
 2y 5x 17x 6 6 15x
 Lời giải 1
 Điều kiện xỏc định: x . Biến đổi phương trỡnh thứ hai ta được:
 2
 2
 2y4 5x 2 (x 3) 3(2 5x) suy ra x (loại) hoặc 2xy4 3 6y4 
 5
 y2 2x 1 3. 2x 1 5y2 3
 Ta đưa về hệ phương trỡnh 4 4 
 2xy 3 6y
 Nhận thấy y 0 khụng là nghiệm của hệ phương trỡnh nờn chia 2 vế của phương trỡnh thứ nhất cho 
 y2 và phương trỡnh thứ hai cho y4 cú:
 3 3
 2x 1 2x 1 5 
 2 2
 y y 
 3
 2x 1 4 5
 y
 3
 Đặt a 2x 1 ; b với a 0;b 0 .
 y2
 a ab b 5 1 
 Ta cú hệ phương trỡnh 2 2 
 a b 5 2 
 5 b
 Ta được a thay vào phương trỡnh (2) ta cú:
 1 b
 2
 5 b 2 4 3 2 2
 b 5 b 2b 3b 20b 20 0 b 1 b 2 b 5b 10 0 . 
 1 b 
 Suy ra a 2 hoặc a 1 .
 b 1 b 2
 5
 x 
 +Với a 2 thỡ 
 b 1 2
 4
 y 3
 x 1
 +) Với a 1 thỡ 4 3 
 b 2 y 
 2
 4 
 5 4 3 
 Kết luận x; y ; 3 ; 1;  .
 2 2  
 LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019
1. Tỡm nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh 2x 3 y2 .
2. Giải phương trỡnh: x2 12 5 3x x2 5 .
 Lời giải
1. Với x 0 thỡ y 2 hoặc y 2 .
 Với x 1 thỡ y2 5 (loại).
 Với x 2 thỡ VT chia 4 dư 3. Vỡ VT là số tự nhiờn lẻ nờn y là số tự nhiờn lẻ. Từ đú suy ra VP chia 4 
 dư 1 vụ lớ.
 Vậy nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh là x; y 0;2 .
 5
2. Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ x2 12 x2 5 3x 5 0 x . Khi đú ta cú:
 3 x2 4 x2 4
 x2 12 4 3x 6 x2 5 3 3 x 2 
 x2 12 4 x2 5 3
 x 2 x 1 
 x 2 3 0 x 2
 x2 12 4 x2 5 3 
 5 x 2 x 1
 Do x ta chứng minh được 3 0 .
 3 x2 12 4 x2 5 3
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 2 .
Cõu 1: (3,0 điểm)
 x y z 2
 Giải hệ phương trỡnh: 2 .
 2xy z 4
 Lời giải
 Ta cú:
 x y z 2 z 2 x y z 2 x y z 2 x y 1 
 2 2 2 2 2
 2xy z 4 2xy z 4 2xy 2 x y 4 x 2 y 2 0 2 
 x 2
 Từ phương trỡnh (2) ta giải được .
 y 2
 Thay vào phương trỡnh (1) ta được z 2 .
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019
Cõu 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trỡnh 
 x 3
 1) Giải phương trỡnh : x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
 2) Giải phương trỡnh: 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
 Lời giải
 x 3
 1) Giải phương trỡnh : x 2 x 1 x 2 x 1 .
 2
 ĐKXĐ : x 1 .
 x 3
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
 x 3
 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 
 2
 2 2 x 3
 x 1 1 x 1 1 
 2
 x 3
 x 1 1 x 1 1 (*)
 2 +) Nếu x 2 phương trỡnh (*) 
 x 3 x 3
 x 1 1 x 1 1 2 x 1 4 x 1 x 3
 2 2
 16(x 1) x2 6x 9 x2 10x 25 0 (x 5)2 0 x 5 (thỏa món).
 x 3 x 3
 +) Nếu 1 x 2 phương trỡnh (*) x 1 1 1 x 1 2 4 x 3 x 1 
 2 2
 ( thỏa món).
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 1 và x 5 .
 2) Giải phương trỡnh: 2x2 5x 12 2x2 3x 2 x 5 .
 Đặt u 2x2 5x 12,v 2x2 3x 2 (u 0,v 0)
 u2 2x2 5x 12,v2 2x2 3x 2 u2 v2 2x 10 2(x 5) .
 Từ (1) 2(u v) (u2 v2 ) (u v)(u v 2) 0 (2)
 Vỡ u 0,v 0 , từ (2) suy ra: u v 2 0 . Vỡ vậy 2x2 5x 12 2x2 3x 2 2 (3)
 Bỡnh phương 2 vế và thu gọn ta được phương trỡnh 
 2 2x2 3x 2 x 3
 x 3 0 x 3 x 3
 2 2 2
 2 2x 3x 2 x 3 7x 6x 1 0 (7x 7) (6x 6) 0
 x 3
 (x 1)(7x 1) 0
 x 3
 1
 1 x 1, x tm 
 x 1, x 7
 7
 1
 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x 1, x .
 7
 ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 VINH NĂM 2016-2017
Cõu 2. 
 x2 xy y2 3
 a) Giải hệ phương trỡnh .
 x y xy 5
 b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh sau: 2x 5y 1 2 x x2 x y 105.
 Lời giải
 2
 x2 xy y2 3 x y 3xy 3
 a) Ta cú : 
 x y xy 5 x y xy 5
 Đặt a x – y , b xy 1 a2 3b 3
Hệ phương trỡnh trờn trở thành 
 a b 5
 a 3 a 6
Giải hệ phương trỡnh trờn ta được hoặc 
 b 2 b 11
Với a 3, b 2 thay vào (1) ta được
 x y 3 x 1 x 2
 và 
 xy 2 y 2 y 1
Với a 6,b 11 thay vào (1) ta được
 x y 6 x y 6
 . Hệ phương trỡnh vụ nghiệm
 2
 xy 11 y 6y 11 0
 x 1 x 2
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ; . 
 y 2 y 1
b) 2x 5y 1 2 x x2 x y 105. 
Vỡ 105 là số lẻ nờn 2x 5y 1 và 2 x x2 x y phải là cỏc số lẻ
Từ 2x 5y 1 là số lẻ mà 2x 1 là số lẻ nờn 5y là số chẵn suy ra y chẵn
2 x x2 x y là số lẻ mà x2 x x(x 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp nờn là số chẵn, y cũng 
chẵn nờn 2 x là số lẻ. Điều này xảy ra khi x 0
Thay x 0 vào phương trỡnh đó cho ta được:
 5y 1 y 1 105 5y2 6y 104 0 5y2 20y 26y 104 0
 5y(y 4) 26(y 4) 0 (5y 26)(y 4) 0
 26
 y (loại) hoặc y 4 (thỏa món)
 5
Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn x; y 0;4 .