Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 9 - Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2 (Có đáp án)

 Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2
 Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất
Kiến thức cần nhớ:
 1. Định nghĩa:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó 
a và b là các số thực cho trước và a 0 .
+ Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương 
quan tỉ lện thuận giữa y và x .
 2. Tính chất:
 a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R .
 b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch 
 biến khi a 0 .
 3. Đồ thị hàm số y ax b với a 0 .
+ Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ 
 b
bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
 a
+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b
 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b .
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ 
 b 
là A ;0 , B 0;b .
 a + Chú ý: Đường thẳng đi qua M m;0 song song với trục tung có phương 
trình: x m 0 , đường thẳng đi qua N 0;n song song với trục hoành có 
phương trình: y n 0
 5. Kiến thức bổ sung.
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A x1; y1 , B x2; y2 thì 
 2 2
AB x2 x1 y2 y1 . Điểm M x; y là trung điểm của AB thì 
 x x y y
x 1 2 ; y 1 2 .
 2 2
 6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông 
 góc.
Cho hai đường thẳng d1 : y ax b và đường thẳng d2 : y a' x b' với 
a,a' 0 .
 • (d1) / /(d2 ) a a' và b b' .
 • (d1)  (d2 ) a a' và b b'.
 • d1 cắt d2 a a'.
 • (d1)  (d2 ) a.a' 1
Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox , nếu a 0 
thì tan a . 
Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ:
Ví dụ 1) Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng 
 2 2
 d2 : y 2m m x m m .
 a) Tìm m để (d1) / /(d2 ) .
 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 31 b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 . Viết 
 phương trình đường thẳng (d3 ) đi qua A vuông góc với (d1) .
 c) Khi (d1) / /(d2 ) . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 (d1), d2 .
 d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1) và tính 
 diện tích tam giác OMN với M , N lần lượt là giao điểm của (d1) 
 với các trục tọa độ Ox,Oy .
Lời giải:
 a) Đường thẳng (d1) / /(d2 ) khi và chỉ khi 
 2m2 m 1 m 1 2m 1 0 1
 m .
 2 
 m m 2 m 1 m 2 0 2
 1
Vậy với m thì (d ) / /(d ) .
 2 1 2
 b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 suy ra 
 tung độ điểm A l y 2 2 4 A 2;4 . 
Đường thẳng d1 có hệ số góc là a 1, đường thẳng d2 có hệ số góc là 
a' a'.1 1 a' 1 . Đường thẳng d3 có dạng y x b . Vì d3 
đi qua A 2;4 suy ra 4 2 b b 6 . Vậy đường thẳng d3 là 
y x 6 .
 c)
Khi (d1) / /(d2 ) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 cũng 
chính là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt thuộc d1 và d2 sao 
cho AB  (d1), AB  d2 .
 (d3)
Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng A (d1)
 (d3 ) và (d2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm 
 B (d2) của d2 và d3 là:
 1 25 23 25 23 
 x 6 x x y B ; .
 4 8 8 8 8 
 2 2
 25 23 9 2
Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB 2 4 .
 8 8 8
 d) Gọi M , N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d1 với các trục 
 tọa độ Ox,Oy . Ta có:
Cho y 0 x 2 A 2;0 , cho y 0 x 2 N 2;0 . Từ đó 
suy ra OM ON 2 MN 2 2 .Tam giác OMN vuông cân tại O . Gọi 
 1
H là hình chiếu vuông góc của O lên MN ta có OH MN 2 và 
 2
 1
S OM.ON 2 ( đvdt).
 OMN 2
Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH 
theo cách: 
 y
Trong tam giác vuông OMN ta có: 
 N
 1 1 1
 (*). Từ đó để khoảng cách từ điểm O
OH 2 OA2 OB2 H
 O M x
đến đường thẳng (d) ta làm theo cách:
+ Tìm các giao điểm M , N của (d) với các trục tọa 
độ 
+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác 
vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH .
 Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau:
 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 33 Cho M x0; y0 và đường thẳng ax by c 0. Khoảng cách từ điểm M 
đến đường thẳng là: 
 ax by c
d 0 0 .
 a2 b2
Ví dụ 2:Cho đường thẳng mx 2 3m y m 1 0 (d) .
 a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
 b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn 
 nhất.
 c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại 
 A, B sao cho tam giác OAB cân.
Lời giải:
 a) Gọi I x0; y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với 
 mọi m khi đó 
ta có: 
mx0 2 3m y0 m 1 0m m x0 3y0 1 2y0 1 0m
 1
 x0 
 x0 3y0 1 0 2 1 1 
 . Hay I ; .
 2y 1 0 1 2 2
 0 y 
 0 2
 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) . Ta có: 
OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H  I OI  (d) . 
Đường thẳng qua O có phương trình: y ax do 
 1 1 1 1
I ; OI a. a 1 OI : y x .
 2 2 2 2
Đường thẳng (d) được viết lại như sau: 
mx 2 3m y m 1 0 2 3m y mx 1 m . 2 1
+ Đế ý rằng với m thì đường thẳng (d) : x 0 song song với trục 
 3 2
 1
Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là . 
 2
 2 m m 1
+ Nếu m đường thẳng (d) có thể viết lại: y x . Điều 
 3 3m 2 3m 2
 m 1
kiện để (d)  OI là .1 1 m 2 3m m . Khi đó khoảng 
 3m 2 2
 2 2
 1 1 2 1
cách OI . Vậy m là giá trị cần tìm.
 2 2 2 2
 c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:
 2
+ Cách 1: Dễ thấy m không thỏa mãn điều kiện (Do (d) không cắt 
 3
 2
Oy ). Xét m , đường thẳng (d) cắt Ox,Oy tại các điểm A, B tạo thành 
 3
tam giác cân OAB , do góc ·AOB 900 OAB vuông cân tại O . Suy ra 
hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc 1 và đường thẳng (d) 
không đi qua gốc O .
 m
 1 m 1
 3m 2 1
 1 . Ta thấy chỉ có giá trị m là thỏa mãn điều kiện 
 m m 2
 1 2
 3m 2
bài toán.
 2
 Cách 2: Dễ thấy m ,m 0 không thỏa mãn điều kiện 
 3
 2 m m 1
Xét m 0; , đường thẳng (d) có thể viết lại: y x . 
 3 3m 2 3m 2
Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên 
 m m 1 1 m 1 m 1 m
 x 0 x A ;0 OA , đường 
3m 2 3m 2 m m m
 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 35 thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên 
 m 1 m 1 m 1
y B 0; OB . Điều kiện để tam giác OAB 
 3m 2 3m 2 3m 2
 m 1
 1 m m 1 m 1
cân là OA OB 1 . Giá trị 
 m 3m 2 m 3m 2 m 
 2
m 1 không thỏa mãn , do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ. 
 1
Kết luận: m .
 2
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng 
(d1) : mx (m 1)y 2m 1 0,(d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0
 a) Tìm các điểm cố định mà (d1) , (d2 ) luôn đi qua.
 b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng (d1) là 
 lớn nhất.
 c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm 
 quỹ tích điểm I khi m thay đổi.
 d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác I AB với A, B lần lượt là 
 các điểm cố định mà d1 , d2 đi qua.
Lời giải:
 a) Ta viết lại (d1) : mx (m 1)y 2m 1 0 m x y 2 1 y 0. 
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định: A 1;1 . 
Tương tự viết lại (d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0 m y x 4 1 x 0 
suy ra (d2 ) luôn đi qua điểm cố định: B 1;3 .
 b) Để ý rằng đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định: A 1;1 . Gọi 
H là hình chiếu vuông góc của P lên (d1) thì khoảng cách từ A đến (d1) 
là PH PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P  H PH  d1 .Gọi y ax b là phương trình đường thẳng đi qua 
 a.0 b 4 b 4
P 0;4 ,A 1;1 ta có hệ : suy ra phương trình đường 
 a.1 b 1 a 3
thẳng PA: y 3x 4 .
Xét đường thẳng (d1) : : mx (m 1)y 2m 1 0 . Nếu m 1 thì 
 d1 : x 1 0 không thỏa mãn điều kiện. Khi m 1 thì: 
 m 2m 1
 d : y x . Điều kiện để (d )  PA là 
 1 1 m m 1 1
 m 1
 3 1 m .
1 m 4
 c) Nếu m 0 thì d1 : y 1 0 và d2 : x 1 0 suy ra hai đường 
thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I 1;1 . Nếu m 1 thì 
 d1 : x 1 0 và d2 : y 3 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông 
góc với nhau và cắt nhau tại I 1;3 . Nếu m 0;1 thì ta viết lại 
 m 2m 1 m 1 4m 1
 d : y x và d : y x . Ta thấy 
 1 1 m m 1 2 m m
 m m 1 (d1)
 (d2)
 1 nên d1  d2 . 
 1 m m I
Do đó hai đường thẳng này luôn cắt 
nhau tại 1 điểm I .
Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai 
 A B
 H K
đường thẳng d1 , d2 luôn vuông góc 
và cắt nhau tại 1 điểm I . Mặt khác theo 
câu a) ta có d1 , d2 lần lượt đi qua 2 
điểm cố định A, B suy ra tam giác I AB vuông tại A . Nên I nằm trên 
đường tròn đường kính AB .
 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 37 d) Ta có AB 1 1 2 3 1 2 2 2 . Dựng IH  AB thì 
 1 1 1 AB AB2
S IH.AB IK.AB .AB 2 . Vậy giá trị lớn nhất của 
 I AB 2 2 2 2 4
diện tích tam giác IAB là 2 khi và chỉ khi IH IK . Hay tam giác IAB 
vuông cân tại I .
Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm 
GTLN, GTNN
Ta có các kết quả quan trọng sau:
+ Xét hàm số y f (x) ax b với m x n khi đó GTLN, GTNN của 
hàm số sẽ đạt được tại x m hoặc x n . Nói cách khác: 
min f (x) min f m ; f n  và max f (x) max f m ; f n . Như vậy 
 m x n m x n
để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) ax b với m x n ta chỉ 
cần tính các giá trị biên là f m , f n và so sánh hai giá trị đó để tìm 
GTLN, GTNN.
+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y f x ax b 
có f m , f n 0 thì f x 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: 
m x n .
Ví dụ 1: Cho các số thực 0 x, y, z 2 . Chứng minh rằng: 
2 x y z xy yz zx 4 .
Lời giải:
Ta coi y, z như là các tham số, x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng 
minh có thể viết lại như sau: f (x) 2 y z x 2 y z yz 4 0 . 
 f 0 0
Để chứng minh f x 0 ta chỉ cần chứng minh: . Thật vậy ta 
 f 2 0
có: + f 0 2 y z yz 4 y 2 2 z 0 với y, z thỏa mãn: 
0 y, z 2 .
+ f 2 2 2 y z 2 y z yz 4 yz 0 với y, z thỏa mãn: 
0 y, z 2 .
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 x; y; z 0;2;2 hoặc các hoán vị của bộ số trên.
Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức: P xy yz zx 2xyz . 
Lời giải:
 x y z 1
Không mất tính tổng quát ta giả sử z min x, y, z z . Ta 
 3 3
 x y 2 1 z 2
có 0 xy . 
 4 4
P xy 1 2z x y z xy 1 2z z 1 z . Ta coi z là tham số xy là 
ẩn số thì f xy xy 1 2z z 1 z là hàm số bậc nhất của xy với 
 1 z 2
0 xy . Để ý rằng: 1 2z 0 suy ra hàm số 
 4
f xy xy 1 2z z 1 z luôn đồng biến . Từ đó suy ra 
 2 2
 1 z 1 z 2z3 z2 1
f xy f 1 2z z 1 2z 
 4 4 4
 2
 7 1 3 1 2 1 7 1 1 1 7
 z z z z . Dấu bằng xảy ra 
27 2 4 108 27 2 3 6 27
 1
khi và chỉ khi x y z .
 3
Ví dụ 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 1. 
Chứng minh rằng: 5 a2 b2 c2 6 a3 b3 c3 1.
 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 39