Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 9 - Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (Có đáp án)

 Chủ đề 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ 
 PHƯƠNG TRÌNH
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực 
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập 
phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Kiến thức cần nhớ:
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi 
được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường 
cần đi của 2 xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là 
A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe 
từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi 
được của xe từ B bằng quãng đường AB
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý: 
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước. 
Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước 
(Vận tốc riêng của vật đó bằng 0)
Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở 
về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn 
thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Lời giải:
 1
Đổi 30 phút giờ.
 2
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x 0 ). Thời gian xe 
 24
đi từ A đến B là (giờ). 
 x
Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về 
 24
A là (giờ) 
 x 4
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình: 
24 24 1
 . Giải phương trình: 
 x x 4 2
24 24 1 2 x 12
 x 4x 192 0 
 x x 4 2 x 16
Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.
Ví dụ 2: Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xe 
máy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sauk hi 
gặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút 
nữa thì đến A . Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt 
chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.
(Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013).
Lời giải: Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) Điều kiện x 0 .
Gọi vận tốc ô tô là y (k,/h). Điều kiện y 0.
 210
Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: giờ. Thời gian ô tô dự 
 x
 210
định đi từ B đến A là: giờ. 
 y
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là : 4x 
(km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là : 
 210 210 9
 4 
9 x y 4
 y (km). Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 
4 9
 x 2y 210
 4
 9 9
 210 210 7 4x y 4x y 1 
 4 4 7
 x y 4 
 x y 4 . Từ phương trình (1) 
 9
 4x y 210 9
 4 4x y 210 2
 4 
 9 9
 4x y 4x y
 7 9y 4x 3
ta suy ra 4 4 0 x y . Thay vào 
 x y 4 4x y 4
 12 9
phương trình (2) ta thu được: y y 210 y 40 , x 30 .
 4 4
Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến 
 3
B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc 
 4
kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng 
 3
ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc 
 4 
 1
xe máy trên quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc 
 4
mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 
năm 2015)
Lời giải:
 3
Gọi vận tốc trên quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: x 10
 4
 1
Thì vân tốc trên quãng đường sau là x 10 (km/h)
 4
 3 90
Thời gian trên quãng đường ban đầu là (h)
 4 x
 1 30
Thời gian đi trên quãng đường sau là: (h)
 4 x 10
 9
Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút 
 2
giờ.
 90 30 9
Nên ta có phương trình: 
 x x 10 2
Giải phương trình ta được x 30 thỏa mãn điều kiện
 3 90
Do đó thời gian đi trên quãng đường ban đầu 3 (giờ)
 4 30
Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.
Ví dụ 4. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với 
vận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dong 11 km với cùng vận 
tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng 
nước.
Lời giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x 0 )
Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y 0 Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên 
 78
thời gian đi là (giờ).
 x y
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên 
 44
thời gian đi là (giờ).
 x y
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta 
 78 44
có phương trình: 5 (1).
 x y x y
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:
 13 11
 1 (2)
x y x y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 78 44
 5
 x y x y x y 26 x 24
 .
 13 11 x y 22 y 2
 1 
 x y x y
 Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Ví dụ 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự 
định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so 
với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ 
so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x 3) và thời gian dự định đi từ A 
đến B là y (giờ, y 2 ). Khi đó quãng đường từ A đến B dài xy (km). 
Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là x 3 (km/h). khi đó 
thời gian đi sẽ là: y 2 (giờ).
Ta có phương trình: x 3 y 2 xy (1)
Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có 
phương trình: x 3 y 3 xy (2)
 x 3 y 2 xy
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 x 3 y 3 xy
 x 15
Giải hệ ta được . Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
 y 12
Vậy quãng đường AB dài là: 12.15 180 (km).
Chú ý rằng: Trong bài toán này, vì các dữ kiện liên quan trực tiếp đến sự 
thay đổi của vận tốc và thời gian nên ta chọn là ẩn và giải như trên. Nếu đặt 
độ dài quãng đường và vận tốc dự định là ẩn số ta cũng lập được hệ hai 
phương trình hai ẩn và vẫn giải được bài toán, tuy nhiên sẽ khó khăn hơn.
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG, CÔNG 
VIỆC.
Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa 
ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động thời gian
Ví dụ 1) Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng 
từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng 
hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên 
công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải 
chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định 
công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 
tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Quảng Ngãi 2015)
Lời giải: Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: 
1 x 15, x ¥ )
 x 1 là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
 180 28
Số xe thực tế phải điều động là: (xe)
 x
 180
Số xe cần điều động theo dự định là: (xe)
 x 1
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
208 180
 1 208x 208 180x x2 x x2 29x 208 0
 x x 1
 x1 13 (tm) hoặc x2 16 (loại vì x 15)
 180 180
Vậy theo dự định cần điều động: 15 (xe).
 x 1 13 1
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự 
định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa 
đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và 
mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu 
chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào 
lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)
Lời giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x ¥ *, x 140 
Số tàu tham gia vận chuyển là x 1 (chiếc)
 280
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn)
 x
 286
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn)
 x 1
 280 286
Theo bài ra ta có phương trình: 2
 x x 1
 2 x 10
 280 x 1 286x 2x x 1 x 4x 140 0 . Vậy 
 x 14(l)
đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu. 
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một 
khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó 
phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản 
phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự 
định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao 
nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.
Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x 0 x 20 .
 85
Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là (giờ)
 x
Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi 
giờ là x 3 .
 96
Do đó 96 sản phẩm được làm trong (giờ)
 x 3
Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút 
 1 85 96 1
 giờ nên ta có phương trình 
 3 x x 3 3
Giải phương trình ta được x 15 hoặc x 51
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm x 51.
Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.
Ví dụ 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 
giờ. Sau 2 giờ làm chung thì thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một 
tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm 
riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, x 6 ). Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, y 6)
 1
Mỗi giờ tổ một làm được (phần công việc)
 x
 1
Mỗi giờ tổ hai làm được (phần công việc)
 y
Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có 
phương trình:
6 6
 1. (1). Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 
x y
 12 2
giờ và tổ một làm trong 2 10 12 (giờ), ta có phương trình: 1 
 x y
 6 6
 1
 x y
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . Giải hệ ta được: 
 12 2
 1
 x y
 x 15
 thỏa mãn điều kiện.
 y 10
Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn 
thành công việc trong 10 giờ.
Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn 
thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người 
(hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1.
+ Năng suất công việc =1: thời gian.
+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.
Chú ý:
Trong bài toán trên có thể thay điều kiện x 6 bằng điều kiện x 10 hoặc 
thậm chí là x 12 . 
 10 2
Có thể thay phương trình (2) bằng phương trình vì phần việc còn lại 
 x 3
 2
riêng tổ một làm là . Ta có ngay x 15.
 3
Ví dụ 5. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở 
để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi 
chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai 
chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Lời giải
 4 24
Đổi 4 giờ 48 phút = 4 giờ = giờ
 5 5
Cách 1: Lập hệ phương trình
 24
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong x (giờ, x )
 5
 24
Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong y (giờ, y )
 5
 24
Biết hai vòi cùng chảy thì sau giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: 
 5
24 24
 1 (1)
5x 5y
Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có 
phương trình:
x y 4 (2)
 24 24
 1
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 5x 5y
 x y 4