Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 9 - Chủ đề 6: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ (Có đáp án)

 CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ 
 TỶ
1. Phương trình vô tỷ cơ bản: 
 g(x) 0
 f (x) g(x)
 2
 f (x) g (x)
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
 a) x2 2x 6 2x 1
 b) 2x 1 x 4x 9
Lời giải:
a). Phương trình tương đương với: 
x 2 2
b). Điều kiện: x 0 . Bình phương 2 vế ta được:
 x 8
3x 1 2 2x2 x 4x 9 2 2x2 x x 8
 2 2
 4(2x x) (x 8)
 x 4
 x 8
 . Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có 
 2 16
 7x 12x 64 0 x 
 7
x 4 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình: 
II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP
1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu:
+ Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng: n f (x) m g(x) h(x) 0
Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những 
phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn.
+ Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng 
máy tính cầm tay)
Phương pháp: 
 • Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có)
Ví dụ: Đối phương trình: x2 3 3 2x2 7 2x . 
+ Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: 
Phương trình xác định với mọi x R . Nhưng đó chưa phải là điều kiện 
chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là:
+ Ta viết lại phương trình thành: x2 3 2x2 7 2x 3
Để ý rằng: x2 3 2x2 7 0 do đó phương trình có nghiệm khi 
 3
2x 3 0 x 
 2
 • Nếu phương trình chỉ có một nghiệm x0 :
 Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành: 
n n m m
 f (x) f (x0 ) g(x) g(x0 ) h(x) h(x0 ) 0
Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý:
+ 3 a b 3 a2 3 ab 3 b2 a b3
+ a b a b a b2 + Nếu h(x) 0 có nghiệm x x0 thì ta luôn phân tích được 
h(x) (x x0 )g(x)
Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung x x0 thì phương trình 
 x x0 0
ban đầu trở thành: (x x0 )A(x) 0 
 A(x) 0
Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để 
kết luận A(x) 0 vô nghiệm.
 • Nếu phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo định lý viet đảo ta có nhân 
 2
 tử chung sẽ là: x (x1 x2 )x x1.x2
Ta thường làm như sau:
+ Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong n f (x) ta trừ đi một lượng 
ax b . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của 
n f (x) (ax b)
+ Để tìm a,b ta xét phương trình: n f (x) (ax b) 0 . Để phương trình có 
 n
 ax1 b f (x1)
hai nghiệm x1, x2 ta cần tìm a,b sao cho 
 n
 ax2 b f (x2 )
+ Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại:
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
 a) 5x3 1 3 2x 1 x 4 0
 b) x 2 4 x 2x2 5x 3
Giải: a).
Phân tích: Phương trình trong đề bài gồm nhiều biểu thức chứa căn nhưng 
không thể quy về 1 ẩn. Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu 3 , thì sẽ tạo ra 
phương trình tối thiểu là bậc 6. Từ đó ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu 
thức liên hợp để tách nhân tử chung. 
 1
Điều kiện x 3
 5
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: x 1. Khi đó 
 5x3 1 5 1 2; 3 2x 1 2 1 1
Ta viết lại phương trình thành: 5x3 1 2 3 2x 1 1 x 1 0
 5x3 5 2x 2
 x 1 0
 5x3 1 2 0 3 2x 1 2 3 2x 1 1
 5(x2 x 1) 2
 (x 1) 1 0
 5x3 1 2 3 2 3 
 2x 1 2x 1 1 
Dễ thấy : 
 1 5(x2 x 1) 2
Với điều kiện x 3 thì 1 0
 5 5x3 1 2 3 2x 1 2 3 2x 1 1
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2
b). Điều kiện: x 2;4
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: x 3. Khi đó 
 x 2 3 2 1; 4 x 4 3 1
Từ đó ta có lời giải như sau: Phương trình đã cho tương đương với: x 2 1 1 4 x 2x2 5x 3 
 x 3 x 3
 (x 3)(2x 1) 
 x 2 1 1 4 x
 1 1 
 x 3 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x 
 x 3
 1 1
 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x
Để ý rằng: Với điều kiện x 2;4 thì 
 1 1
 1; 1;2x 1 5 nên 
 x 2 1 1 4 x
 1 1
 (2x 1) 0
 x 2 1 1 4 x
Từ đó suy ra: x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng 
 A
các ước lượng cơ bản: A B A với B 0 từ đó suy ra 1 với mọi 
 A B
 A B 0
số A, B thỏa mãn 
 B 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
 a) 3 x2 1 x x3 2
 b) 3 x2 2 3 x x 4 x 7 3x 28 0
Giải:
a). Điều kiện: x 3 2 . Ta nhẩm được nghiệm x 3. Nên phương trình được viết lại như sau: 
3 x2 1 2 x 3 x3 2 5
 x2 9 x3 27
 x 3 
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5
 x 3 x2 3x 9 
 (x 3) 1 0
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5 
 x 3
 x 3 x2 3x 9
 1 0
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5
 x 3 x2 3x 9
Ta dự đoán: 1 0 ( Bằng cách thay 
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5
 x 3 x2 3x 9
một giá trị x 3 2 ta sẽ thấy 1 0 )
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5
 x 3 x2 3x 9
Ta sẽ chứng minh: 1 và 2
 3 x2 1 2 3 x2 1 4 x3 2 5
Thật vậy: 
 x 3 2
+ Ta xét 1 3 x2 1 2 3 x2 1 x 1
 2 
 3 x2 1 2 3 x2 1 4
Đặt 3 x2 1 t 0 x t3 1 . Bất phương trình tương đương với
t 2 2t 1 t3 1 t 4 3t3 6t 2 4t 0 . Điều này là hiển nhiên đúng. + Ta xét: 
x2 3x 9
 2 x2 3x 1 2 x3 2 x4 2x3 7x2 6x 9 0
 x3 2 5
x 0(*) . Điều này luôn đúng.
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: x 3
b.) Điều kiện: x 7 . 
Để đơn giản ta đặt 3 x t 3 7 x t3
Phương trình đã cho trở thành: 
t 2 2t (t3 4) t3 7 3t3 28 0 3t3 t 2 2t 28 (t3 4) t3 7 0
Nhẩm được t 2. Nên ta phân tích phương trình thành:
 4t3 t 2 2t 32 (t3 4) t3 7 1 0
 t 2 2t 4 
 (t 2) 4t 2 7t 16 (t3 4) 0
 3 
 t 7 1 
Để ý rằng 4t 2 7t 16 0 và t3 7 nên ta có 
 2
 2 3 t 2t 4 
 4t 7t 16 (t 4) 0 . Vì vậy phương trình có nghiệm 
 t3 7 1 
duy nhất t 2 x 8 .
Nhận xét: Việc đặt 3 x t trong bài toán để giảm số lượng dấu căn đã giúp 
đơn giản hình thức bài toán .
Ngoài ra khi tạo liên hợp do (t3 4) 0 nên ta tách nó ra khỏi biểu thức để 
các thao tác tính toán được đơn giản hơn.
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
 a) 4 x 3 19 3x x2 2x 9 2x 11
 b) 3x 8 x 1 
 5
 3 x2 7
 c) x (Tuyển sinh vòng 1 lớp 10 Trường THPT 
 x 2 x 1 
 chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012)
 x3 5x2 4x 2
 d) x2 x 2
 x2 2x 3
 19
a). Điều kiện: 3 x 
 3
Ta nhẩm được 2 nghiệm là x 1, x 2 nên ta phân tích để tạo ra nhân tử 
chung là: x2 x 2. Để làm được điều này ta thực hiện thêm bớt nhân tử 
như sau:
+ Ta tạo ra 4 x 3 (ax b) 0 sao cho phương trình này nhận 
x 1, x 2 là nghiệm.
 4
 a 
 a b 8 3
Để có điều này ta cần: 
 2a b 4 20
 b 
 3
+ Tương tự 19 3x (mx n) 0 nhận x 1, x 2 là nghiệm.
 1
 a 
 m n 5 3
Tức là 
 2m n 5 13
 b 
 3
Từ đó ta phân tích phương trình thành: 4 20 13 x 2
4 x 3 x 19 3x x x 2 0
 3 3 3 3 
 4 3 19 3x (13 x)
 3 x 3 x 5 x2 x 2 0
 3 3
 4 x2 x 2 x2 x 2
 x2 x 2 0
 3 3 x 3 x 5 
 3 3 19 3x (13 x) 
 4 1 1
 x2 x 2 . 1 0
 3 3 x 3 x 5 3 3 19 3x (13 x) 
 19 1
Dễ thấy với 3 x thì 0,
 3 3 x 3 x 5
 1
 0
3 3 19 3x (13 x) 
 4 1 1
Nên . 1 0 .
 3 3 x 3 x 5 
 3 3 19 3x (13 x) 
 2 x 1
Phương trình đã cho tương đương với x x 2 0 
 x 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x 3, x 8 .
 8
b). Điều kiện: x .
 3
Phương trình được viết lại như sau: 5 3x 8 5 x 1 2x 11 Ta nhẩm được 2 nghiệm x 3, x 8 nên suy ra nhân tử chung là: 
x2 11x 24
Ta phân tích với nhân tử 5 3x 8 như sau:
+ Tạo ra 5 3x 8 ax b 0 sao cho phương trình này nhận x 3, x 8 
 3a b 5 a 3
là nghiệm. Tức là a,b cần thỏa mãn hệ: 
 8a b 20 b 4
 3m n 10 m 1
+ Tương tự với 5 x 1 (mx n) 0 ta thu được: 
 8m n 15 n 7
Phương trình đã cho trở thành:
 9(x2 11x 24) x2 11x 24
5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1 0 0
 5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1
 2 9 1 
 x 11x 24 0
 5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1 
 x2 11x 24 0
 9 1
 0
 5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1
 9 1
Ta xét A(x) 
 5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1
 9 1
Ta chứng minh: A(x) 0 tức là: 0
 5 3x 8 (3x 4) (x 7) 5 x 1
 5 3x 8 3x 4 9(x 7 5 x 1) 0