Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình

 Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình
Dạng 1: Hệ đối xứng loại 1
 1) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối 
 xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau 
 thì phương trình đó không đổi 
 2) Tính chất
 Nếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 , x0 cũng là nghiệm
 S x y 2
 3) Cách giải: Đặt điều kiện S 4P quy hệ phương 
 P x.y
 trình về 2 ẩn S, P
 Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể 
 hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để 
 tìm quan hệ S, P từ đó suy ra qua hệ x, y .
 Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
 3 3
 x y 2xy 2 x y 19
 a) 3 3 b) 
 x y 8 x y 8 xy 2
 3 2 3 2
 2 x y 3 x y xy x y xy 3
 c) d) 
 3 3 x 1 y 1 4
 x y 6 
HD:
 S x y 2
a) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành:
 P x.y
 2 S
 P 
 S 2P 2 2
 2 
 S S 3P 8 2 6 3S 
 S S 8
 2 
 2S 3 3S 2 6S 16 0 S 2 2S 2 7S 8 0 S 2 P 0
 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
 X 2 2X 0 X 0, X 2
1 x 0 x 2
  
 y 2 y 0
 S x y 2
b) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành:
 P x.y
 2
 S S 3P 19 SP 8S SP 8S S 1
 S 3 3 2 8S 19 3 P 6
 S 8 P 2 S 24S 25 0 
 . Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: 
 2
 X X 6 0 X1 3; X 2 2
 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y 2;3 , 3; 2 
 3 3 2 2
 2 a b 3 a b b a 
c) Đặt a 3 x,b 3 y hệ đã cho trở thành: . 
 a b 6
 S a b 2
 Đặt điều kiện S 4P thì hệ đã cho trở thành. 
 P ab
 3
 2 S 3SP 3SP 2 36 3P 3P S 6
 . 
 S 6 S 6 P 8
 Suy ra a,b là 2 nghiệm của phương trình: 
 2 a 2 x 8 a 4 x 64
 X 6X 8 0 X1 2; X 2 4  
 b 4 y 64 b 2 y 8
 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y 8;64 , 64;8 
 xy 0 S x y 2
d) Điều kiện: . Đặt điều kiện S 4P hệ phương 
 x, y 1 P x.y
 trình đã cho trở thành:
 2 2
 S P 3 S 3; P S 3 
 S 2 2 S P 1 16 2
 2 S S 3 1 14 S
 2
 3 S 14; P S 3 3 S 14; P S 3 
 2 2 2
 4 S 8S 10 196 28S S S 30S 52 0
 S 6
 . Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 3;3 .
 P 9 x y 3
 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
 2 2 2xy
 x2 y2 2xy 8 2 x y 1
 a) c) x y
 x y 4 2
 x y x y
 1 
 x y 1 5 3 2 2 3
 xy x y 1 y x y 2 y xy 30 0
 b) d) 
 1 x2 y x 1 y y2 y 11 0
 x2 y2 1 9 
 2 2 
 x y 
HD:
a) Đặt x a, y b điều kiện a,b 0 . 
 a4 b4 2ab 8 2
 Hệ phương trình trở thành: . Ta viết lại hệ 
 a b 4
 (a b)4 4ab(a b)2 2a2b2 2ab 8 2
 phương trình thành: 
 a b 4
 S a b S 2 4P
 Đặt điều kiện thì hệ đã cho trở thành. 
 P ab S, P 0
 256 64P 6P2 2P 8 2
 S P 4 a b 2 x y 4
 S 4
 Ngoài ra ta cũng có thể giải ngắn gọn hơn như sau: 
1 2 2
 2 x y 2 xy 16
 x y 2 xy 16
 2 x2 y2 x y (x y)2 0 x y 2 x 4 x 4
 Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất x; y 4;4 
b) Điều kiện: x y 0 .
 Biến đổi phương trình (1):
 2xy 2 2xy
 x2 y2 1 x y 1 2xy 0
 x y x y
 2P
 Đặt x y S, xy P ta có phương trình: S 2 2P 1 0 
 S
 S 3 2P 2SP S 0 S(S 2 1) 2P(S 1) 0 (S 1)(S 2 S 2P) 0
 . 
 Vì S 2 4P, S 0 suy ra S 2 S 2P 0 . Do đó S 1
 Với x y 1 thay vào (2) ta được: 1 1 y 2 y y 0, y 3
 2xy
 Xét x y 1 x y 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 0 (khôn
 x y
 g thỏa mãn điều kiện).
 Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 1;0 , 2;3 .
c) Điều kiện: xy 0 .
 Hệ đã cho tương đương:
 1 1 
 1 1 x y 5
 x y 5 
 x y x y 
 . 
 1 1 2 2
 x2 y2 9 1 1 
 x2 y2 x y 9
 x y 
 1 1 
 x y S
 x y 
Đặt 
 1 1 
 x . y P
 x y 
 Hệ trở thành: 
 2 1 1
 x 2; y 3
 S 2 2P 9 x y
 S 5, P 6 . 
 S 5 1 1
 x 3; y 2
 x y
 3 5
 x 1; y 
 2
 . Vậy hệ đã cho có nghiệm: 
 3 5
 x ; y 1
 2
 3 5 3 5 
 x; y 1; , ;1 .
 2 2 
 xy x y x y xy 30
d) Hệ tương đương với : .
 xy x y x y xy 11
 Đặt xy x y a; xy x y b . Ta thu được hệ:
 xy x y 5
 ab 30 a 5;b 6 xy x y 6
 .
 a b 11 a 6;b 5 
 xy x y 6
 xy x y 5
 xy 2
 xy x y 6 x y 3 x 2; y 1
 TH1: 
 xy x y 5 xy 3 x 1; y 2
 (L)
 x y 2
 xy 5 5 21 5 21
 (L) x ; y 
 xy x y 5 x y 1 2 2
 TH2: .
 xy x y 6 xy 1 5 21 5 21
 x ; y 
 x y 5 2 2
 5 21 5  21 
 Vậy hệ có nghiệm: x; y 1;2 , 2;1 , ; .
 2 2 
1 Dạng 2: Hệ đối xứng loại 2
 1) Định nghĩa: Một hệ phương trình 2 ẩn x, y được gọi là đối xứng 
 loại 2 nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò x, y cho nhau thì 
 phương trình trở thành phương trình kia.
 2)Tính chất.: Nếu x0 ; y0 là 1 nghiệm của hệ thì y0 ; x0 cũng là 
 nghiệm 
 3) Phương pháp giải:
 Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có 
 x y 0
 dạng x y f x; y 0 . 
 f x; y 0
 Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
 2 2 2
 x x 2y x 1 y 6 y x 1 
 a) b) 
 2 2 2
 y y 2x y 1 x 6 x y 1 
 3
 x 3x 1 2x 1 y
 c) d) 
 3
 y 3y 1 2y 1 x
HD:
a) Điều kiện: x, y 0 . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu 
 được: 
 x2 x y2 y 2 y x 
 x y x y x y 1 2 x y 0
 Vì x y x y 1 2 x y 0 
 nên phương trình đã cho tương đương với: x y . 
 Hay 
 x 0
 x2 2x x 0 x2 x 2x x x 1 x x 1 0 x 1
 3 5
 x 
 2
 2 3 5 3 5 
 Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: x; y 0;0 , 1;1 , ; 
 2 2 
 xy2 6x y2 6 yx2 y
b) Hệ đã cho 
 2 2 2
 yx 6y x 6 xy x
 Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:
 2xy y x 7 x y x y x y 0 x y x y 2xy 7 0
 x y
 x y 2xy 7 0
 2 x y 2
+ Nếu x y thay vào hệ ta có: x 5x 6 0 
 x y 3
+ Nếu x y 2xy 7 0 1 2x 1 2y 15 . 
 Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:
 x2 y2 5x 5x 12 0 2x 5 2 2y 5 2 2 . Đặt 
 a 2x 5,b 2y 5
 a b 0
 2 2 2 
 a b 2 a b 2ab 2 ab 1
 Ta có: 
 a 4 b 4 15 ab 4 a b 1 a b 8
 ab 31
 a b 0
 Trường hợp 1: x; y 3;2 , 2;3 
 ab 1
 a b 8
 Trường hợp 2: vô nghiệm.
 ab 31
 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x; y 2;2 , 3;3 , 2;3 , 3;2 
 1 1
c) Điều kiện: x ; y 
 2 2
 1
 Để ý rằng x y không phải là nghiệm.
 2
 Ta xét trường hợp x y 1
 Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: 
1 x3 3x 1 2x 1 y3 3y 1 2y 1 y x
 2 x y 
 (x y) x2 xy y2 4(x y) 0
 2x 1 2y 1
 2 
 (x y) x2 xy y2 4 0 x y
 2x 1 2y 1 
 Khi x y xét phương trình: 
 x3 2x 1 2x 1 0 x3 2x 2x 1 1 0
 2 2x 2 2 
 x(x 1) 0 x x 1 0 x 0
 2x 1 1 2x 1 1 
 Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y 0
 Dạng 3: Hệ có yếu tổ đẳng cấp
+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp
+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo 
 ra phương trình đẳng cấp.
 Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:
 ax2 bxy cy2 d
+ , 
 2 2
 ex gxy hy k
 ax2 bxy cy2 dx ey
+ ,
 2 2
 gx hxy ky lx my
 ax2 bxy cy2 d
+ ..
 3 2 2 3
 gx hx y kxy ly mx ny
 Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu 
 thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:
 Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình 
 của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp 
 bậc n :
 n n k k n
 a1x ak x .y .... an y 0
 Từ đó ta xét hai trường hợp: 
 y 0 thay vào để tìm x
 2 n n k
+ y 0 ta đặt x ty thì thu được phương trình: a1t akt .... an 0
+ Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y
 Chú ý: ( Ta cũng có thể đặt y tx )
 Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
 3 3
 x 8x y 2y
 a) 2 2
 x 3 3 y 1 
 2 2 3
 5x y 4xy 3y 2 x y 0
 b) x, y ¡
 2 2 2 
 xy x y 2 x y 
HD:
 x3 y3 8x 2y
a) Ta biến đổi hệ: 
 2 2
 x 3y 6
 Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có: 
 6(x3 y3 ) (8x 2y)(x2 3y2 ) đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: 
 Từ đó ta có lời giải như sau:
 Vì x 0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y tx . Khi đó hệ thành:
 2 3
 3 3 3 3
 x 8x t x 2tx x 1 t 2t 8 1 t t 4
 x2 3 3 t 2 x2 1 2 2 1 3t 2 3
 x 1 3t 6
 1
 t 
 3 2 2 3
 3 1 t t 4 1 3t 12t t 1 0 .
 1
 t 
 4
 x2 1 3t 2 6
 1 x 3
* t x .
 3 y y 1
 3
 4 78
 x 
 1 13
* t .
 4 78
 y 
 13
 Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: 
1 4 78 78 4 78 78 
 (x; y) 3,1 ; 3, 1 ; , ; , 
 13 13 13 13 
 b). Phương trình (2) của hệ có dạng:
 xy x2 y2 2 x2 y2 2xy x2 y2 xy 1 2 xy 1 0
 xy 1 x2 y2 2 0
 xy 1
 2 2
 x y 2
 5x2 y 4xy2 3y3 2 x y 0 x 1 x 1
 TH1: và .
 xy 1 y 1 y 1
 TH2: 
 2 2 3 2 2 3
 5x y 4xy 3y 2 x y 0 5x y 4xy 3y 2 x y (*)
 2 2 2 2
 x y 2 x y 2
 Nếu ta thay x2 y2 2 vào phương trình (*) thì thu được phương 
 trình đẳng cấp bậc 3: 5x2 y 4xy2 3y3 x2 y2 x y 
 Từ đó ta có lời giải như sau:
 Ta thấy y 0 không là nghiệm của hệ.
 2 3 3 3
 5t y 4ty 3y 2 ty y 
 Xét y 0 đặt x ty thay vào hệ ta có: 
 2 2 2
 t y y 2
 Chia hai phương trình của hệ ta được: 
 5t 2 4t 3 t 1
 t3 4t 2 5t 2 0
 t 2 1 1
 2 2 2 2
 t 1 x y x x 
 x 1 x 1 5 5
 1 1    .
 t x y y 1 y 1 2 2
 2 2 y y 
 5 5
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
 2
 x 2y 3 2y 3 0
a)
 3 3 2
 2 2y x 3y x 1 6x x 1 2 0
 2