Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức – min, max (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC – MIN, MAX
Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Lai Vũ 2019-2020) 
Cho 0 £ a; b; c £ 2 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A = a3 + b3 + c3 .
 Lời giải
Vai trò của a,b,c là như nhau, giả sử a b c 
Ta có 3a a b c 3 a 1 
Do 2 a 1 (a 1)(a 2) 0 a2 3a 2 0 
M a3 b3 c3 a3 b3 c3 3b2c 3bc2 a3 (b c)3
 a3 (3 a)3 9a2 27a 27 9(a2 3a 2) 9 9
 Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi (a,b,c)= (2;1;0) và các hoán vị vòng của chúng
Câu 2. (Đề thi HSG 9 THCS và THPT lương Thế Vinh 2019-2020) 
 x2 xy y2
Cho x, y 0 . Tìm GTNN của P 
 xy(x y)
 Lời giải
Ta có: 
 2
 x2 xy y2 x y 3xy x y 3 xy
P 
 xy(x y) xy(x y) xy x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được:
 x y
x y 2 xy xy . Dấu " " xảy ra khi x y . Khi đó:
 2
 x y
 2 xy 3 1
P 3 2 2 . Dấu " " xảy ra khi x y .
 xy x y 2 2
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x y .
 2
Câu 3. (Đề thi HSG 9 Huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . 
 x2 y2 z2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y
 Lời giải
 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 6 . 
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x2 y2 z2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y
 2
 a2 b2 c2 a b c 
Áp dụng bất đẳng thức (*)
 x y z x y z
 2
 x2 y2 z2 x y z 
Ta có: A 1
 x 2y 3z y 2z 3x z 2x 3y 6 x y z 
Câu 4. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009 ) 
Cho 2 số dương x, y thỏa mán: xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D=
 9
x 2 3x y 2 3y 
 x 2 y 2 1
 Lời giải
 9 9
 Ta có D = x 2 3x y 2 3y =(x2+y2+1)+3x+3y+ -1
 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
 Áp dụng BĐT Cauchy:
 9 2 2 9
 (x2+y2+1)+3x+3y+ 4 4 3x.3y(x y 1). =4 4 81xy
 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1
 9
 (x2+y2+1)+3x+3y+ 4 4 81xy =4.3=12 (v× xy=1)
 x 2 y 2 1
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
 D 12-1=11
Câu 5. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009 ) 
Cho x2 y2 z2 3 . 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2z .
 Lời giải
 Ta có: x2 y2 z2 3 6x2 6y2 6z2 18 
(x2 y2 4z2 2xy 4xz 4yz) (x2 2xy y2 ) (4x2 4xz z2 ) (4y2 4yz z2 ) 18
 (x y 2z)2 (x y)2 (2x z)2 (2y z)2 18
Vì (x y)2 0;(2x z)2 0;(2y z)2 0.
 Suy ra (x y 2z)2 18 3 2 x y 2z 3 2 .
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x y 0
 2x z 0 2
Vậy Min P 3 2 x y ; z 2
 2y z 0 2
 x y 2z 3 2
 x y 0
 2x z 0 2
 Max P 3 2 x y ; z 2
 2y z 0 2
 x y 2z 3 2
Câu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 - 2011) 
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 1 1 
 A = 1- 2 1- 2 
 x y 
 Lời giải
 File gốc Đáp án không có lời giải
Câu 7. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Hóa 2014 - 2015) 
Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm GTNN của: A 36x 5y .
 Lời giải
 Với x, y N * thì 36x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng là 5 nên :
 A có chữ số tận cùng là 1 ( nếu 36x > 5y) hoặc 9 ( nếu 36x < 5y)
 TH1: A = 1. khi đó 36x - 5y =1 36x - 1 = 5y . Điều này không xảy ra vì (36x – 1)  35 nên (36x 
 – 1)  7, còn 5y không chia hết cho 7.
 TH2: A = 9. Khi đó 5y - 36x = 9 5y = 9 + 36x điều này không xảy ra vì (9 + 36x) 9 còn còn 
 5y không chia hết cho 9.
 TH3: A = 11. Khi đó 36x - 5y =11. Thấy x = 1, y = 2 thỏa mãn.
 Vậy GTNN của A bằng 11, khi x = 1, y = 2.
Câu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Hóa 2015 - 2016) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2 y2 y2 z2 z2 x2 2015 .
 x2 y2 z2
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T . 
 y z z x x y
 Lời giải
Đặt a x2 y2 ;b y2 z2 ;c z2 x2 a;b;c 0 và a b c 2015 .
Ta có: a 2 b2 c2 2(x2 y2 z2 ) 
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
 x2 ; y2 ;z2 .
 2 2 2
 x 2 a 2 b2 c2
Do đó: (y z)2 2(y2 z2 ) 2b2 y z 2b .
 y z 2b 2
 y 2 a 2 b2 c2 z 2 a 2 b2 c2
 Tương tự: , .
 z x 2c 2 x y 2a 2
 a 2 b2 c2 b a 2 b2 c2 c a 2 b2 c2 a
 T 
 2b 2 2 2c 2 2 2a 2 2
 1 2 2 2 1 1 1 a b c
 (a b c ) 
 2 2 a b c 2
 1 2 1 1 1 2015
 (a b c) 
 6 2 a b c 2
 1 1 1 1 2015
 (a b c)(a b c) 
 6 2 a b c 2
 1 2015 2015
 2015.9 .
 6 2 2 2 2
 2015
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
 2015 2015
 Vậy min T khi x y z .
 2 2 3 2
Câu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Nga Sơn 2012 - 2013) 
Cho 3 số a, b, c đều lớn hơn 6,25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 a b c
 B .
 2 b 5 2 c 5 2 a 5
 Lời giải
 25
Do a, b, c > (*) nên suy ra: 2 a 5 0, 2 b 5 0 , 2 c 5 0
 4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
 a
 2 b 5 2 a (1)
2 b 5
 b
 2 c 5 2 b (2)
2 c 5
 c
 2 a 5 2 c (3)
2 a 5
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: B 5.3 15 . 
Dấu “=” xảy ra a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min B = 15 a b c 25
  Trang 5 