Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 3: Phương trình (Có đáp án)

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 3: PHƯƠNG TRèNH
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020) 
 x 3
 1) Giải phương trỡnh: x 2 x 1 x 2 x 1 
 2
 2) Giải bất phương trỡnh: 2x 3 x 4 0
 Lời giải
 1) Điều kiện để phương trỡnh xỏc định là: x 1
 Phương trỡnh đú cho tương đương với:
 2 2 x 3
 x 1 1 x 1 1 
 2
 x 3
 x 1 1 x 1 1 * 
 2
 Nếu x 1 1 0 x 2 thỡ phương trỡnh (*) trở thành
 x 3
 x 1 1 x 1 1 
 2
 x 3
 2 x 1 4 x 1 x 3
 2
 16 x 1 x2 6x 9
 x2 10x 25 0
 x 5 2 0
 x 5 (thỏa món điều kiện x 2 )
Vậy S 5 
2) 2x 3 x 4 0 (dk : x 4)
 2x 3 x 4 0
Xột trường hợp: 
 3
 2x 3 0 x (tm)
 2
 x 4 0 
 x 4(tm)
 2x 3 x 4 0
Xột trường hợp: 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2x 3 0(vi x 4 0)
 3
 x 
 2
 3
 x 
Vậy: bất phương trỡnh cú nghiệm là 2
 x 4
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Lai Vũ 2019-2020) 
 Giải cỏc phương trỡnh
 3
 ổx- 3ử 3
 1) ỗ ữ - (x- 3) = 16
 ốỗx- 2ứữ
 3 13 6
 2) + =
 3x2 - 4x + 1 3x2 + 2x + 1 x
 Lời giải
 1) (ĐKXĐ: x 2 )
 3 3
 x 3 x 3 1 
 PT x 3 3 1 16 
 x 2 x 2 x 2 
 3 2
 x 3 2 x 3 2 
 3 16 
 x 2 x 2 
 x 3 2
 Đặt t ta được t3 3t 2 16 0 * 
 x 2
 * t3 4t 2 t 2 16 0 t2 t 4 t 4 t 4 0 
 t 4 t 2 t 4 0 
 Lớ do để cú t 4 
 x 3 2
 Với t 4thỡ 4
 x 2
 Hay x2 6x 9 4x 8 x 1 2 0 x 1 TM 
 Vậy x 1 
 2 13 6 2 
 2) 2 2 x 1; x ; x 0 
 3x 5x 2 3x x 2 x 3 
 2 3
 6 
 2 2
 3x 5 3x 1 
 x x
 2
 Đặt 3x 2 a ta cú phương trỡnh:
 x
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 2 13
 6 a 3 
 a 3 a 3
 2 a 3 13 a 3 6 a 3 a 3 
 2a 2 5a 7 0
 a 1 2a 7 0
 a 1 tm 
 7
 a tm 
 2
 2
 Với a 1 3x - 2 + 1
 x
 3x2 x 2 0 vụ nghiệm
 7 2 7
Với a 3x - 2 + 
 2 x 2
 4
 x tm 
 2 3
 6x 11x 4 0 
 1
 x tm 
 2
 1 4
Vậy nghiệm của phương trỡnh là x ; x 
 2 3
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 trường THCS Lương Thế Vinh 2019-2020) 
 a) Giải phương trỡnh 2 5x2 10x 4x 4x2 6x 3 
 b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh x y 3xy 9 
 Lời giải
a) ĐK: 0 x 1 
 2
 a 5x 10x 0 2 2
Đặt: 4a 5b 60x . Khi đú Phương trỡnh trở thành:
 2
 b 4x 4x 0
20a 10b 4a 2 5b2 30 4a 2 20a 25 5b2 10b 5 0
 5
 2 2 a 
 2a 5 5 b 1 0 2
 b 1
 5
 a 
Với 2 , ta cú:
 b 1
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 5 2 2 25 2 9
 5x 10x 5x 10x x 2x 1 
 2 4 4
 2 2 2
 1 4x 4x 4x 4x 1 2x 1 0
 3
 2 9 x 1 (do0 x 1)
 x 1 2 1
 4 x (tm)
 1 2
 2x 1 0 x 
 2
 1
Vậy nghiệm của phương trỡnh là x 
 2
b) Ta cú: 
x y 3xy 9 3x 3y 9xy 27 3y 1 3x 1 3x 26 1 3x 3y 1 26
+) TH 1: 
 2
 3y 1 1 y Â
 3 ( loại )
 1 3x 26
 1 3x 26
+) TH 2: 
 3y 1 26 y 9
 ( tm )
 1 3x 1 x 0
+) TH 3: 
 3y 1 1 y 0
 ( tm )
 1 3x 26 x 9
+) TH 4: 
 3y 1 26
 3y 1 26 
 2 ( loại )
 1 3x 1 x Â
 3
+) TH 5: 
 3y 1 2 y 1
 ( tm )
 1 3x 13 x 4
+) TH 6: 
 3y 1 13
 3y 1 13 
 1 ( loại )
 1 3x 2 x Â
 3
+) TH 7: 
 3y 1 13 y 4
 ( tm )
 1 3x 2 x 1
+) TH 8: 
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1
 3y 1 2 y Â
 3 ( loại )
 1 3x 13
 1 3x 13
Vậy x; y 0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; 4  
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 trường huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
1) Giải cỏc phương trỡnh: 4x2 20x 25 x2 6x 9 7 
2) Tỡm cỏc cặp số nguyờn x; y thỏa món: x 2019 2 y4 6y3 11y2 6y 
 Lời giải
1) Giải cỏc phương trỡnh: 
 4x2 20x 25 x2 6x 9 7
 2x 5 x 3 7 (*)
2) Tỡm cỏc cặp số nguyờn x; y thỏa món: 
 x 2019 2 y4 6y3 11y2 6y
 x 2019 2 y4 6y3 9y2 2y2 6y
 x 2019 2 y2 y 3 2 2y y 3 1 1
 2 2
 x 2019 y y 3 1 1
 2 2
 x 2019 y y 3 1 1
 x 2019 a 1 x 2019 a 1 1 (Voi y y 3 a)
 x 2019 a 1 1 x 2019
 x 2019 a 1 1 a 2
 x 2019 a 1 1 x 2019
 x 2019 a 1 1 a 0
 x; y 2019;0 , 2019;1 , 2019;2 , 2019;3 
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009) 
Giải Phương Trỡnh
 16 4 256
 x 6 y 2 z 1750 44
 x 6 y 2 z 1750
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 6; y 2; z 1750.
 16 4 256
 x 6 y 2 z 1750 44
 x 6 y 2 z 1750
 16 x 6 4 y 2 256 z 1750 
 8 4 32 0 
 x 6 x 6 y 2 y 2 z 1750 z 1750 
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 16 8 x 6 x 6 4 4 y 2 y 2 256 2.16 z 1750 z 1750 
 0
 x 6 y 2 z 1750 
 2 2 2
 4 x 6 2 y 2 16 z 1750
 =0
 x 6 y 2 z 1750
 4 x 6 0 x 22
 Do x 6; y 2; z 1750.nên 2 y 2 0 y 6
 16 z 1750 0 z 2006
 Vậy x=22; y=6; z=2006
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Huyện Hoằng Húa 2011 - 2012 ) 
Giải phương Trỡnh
 1 1
 2
 x 2 x2
 Lời giải
Điều kiện: 2 x 2
 1
 x (1)
1 1 1 1 1 2x 1 2
 2 2 2
x 2 x2 2 x2 x 2 x2 x 1 2x 1 
 2 (2)
 2 x x 
Giải (2) ta có : 
 2
 1 4x 4x 1 2 2 2 2 2 4 3 2
 2 2 x 2 x 4x 4x 1 x 8x 8x 2 4x 4x x
2 x x
4x4 4x3 6x2 8x 2 0 2x4 2x3 3x2 4x 1 0 2x3 x 1 (3x2 4x 1) 0
 2x3 x 1 (x 1)(3x 1) 0 x 1 2x3 3x 1 0 (x 1)2 2x2 2x 1 0
 1
Với x thì 2x2 2x 1 > 0 => (x 1)2 0 => x = 1 (TM)
 2
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1
Cõu 7: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2014 - 2015 ) 
 a. Tỡm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 0 .
 1 5
 b. Giải phương trỡnh: 4. 
 x 3 x 4
 Lời giải
 a. Phõn tớch được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 0 (1) 
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vỡ (2x - y)2 0 ; (y – z + 1)2 0 ; ( z - 3)2 0 với mọi x, y, z nờn từ 
 (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
 b. Đk: x > - 3. Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với 
 1 5 
 2 2 0 
 x 3 x 4 
 1 5
 4 4 
 4x 11 4x 11
 x 3 x 4 0 0 
 1 5 1 5 
 2 2 x 3 2 x 4 2 
 x 3 x 4 x 3 x 4 
 1 1
Vỡ x > - 3 nờn 0 
 1 5 
 x 3 2 x 4 2 
 x 3 x 4 
 11 11
 Do đú 4x + 11 = 0 x = TMĐK. Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là: S 
 4 4 
 Cõu 8: (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2015 - 2016 ) 
 3x
 Giải phương trỡnh: x 6 2 .
 x2 9
 Lời giải
 x 3
 2 
 ĐK: x – 9 > 0 
 x 3
 + Nếu x > 3: Bỡnh phương hai vế của phương trỡnh ta được: 
 2 2 4 2
 2 9x 6x x x
 x 2 72 2 6. 72 0 
 x 9 x2 9 x 9 x2 9
 x2
 Đặt t (t 0) , được phương trỡnh: t2 6t 72 0 t 6 . 
 x2 9
 x2
 Khi đú: 6 x4 – 36x2 + 324 = 0 x2 = 18. 
 x2 9
 Trong trường hợp này tỡm được: x 3 2 
 3x
 + Nếu x < –3: Khi đú: x 0 6 2 : PT vụ nghiệm. 
 x2 9
 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất: x 3 2 . 
  Trang 7  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
  Trang 8 