Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 8: Số học (Có đáp án)

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 8: SỐ HỌC
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020) 
 1) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn sau: xy 2x 2y 1
 2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số A n n 1 n 2 n 3 1 là số chớnh 
 phương.
 Lời giải
1) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn sau: xy 2x 2y 1
xy 2x 2y 1
 y(x 2) 1 2x
 1 2x 5
 y 2 
 x 2 x 2
Để x, y Z x 2 U (5) 1; 5 x 3; 1; 7;3 
Thay vào ta tỡm được y 7;3; 3; 1 
Vậy; nghiệm nguyờn của pt là: ( 3; 7);( 1;3);( 7; 3);(3; 1) 
2) A n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 2 n 1 1
 A n2 3n n2 3n 2 1 
 2
Đặt n2 3n t t N A t t 2 1 t 1 
 Vậy tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp cộng với 1 là số chớnh phương.
Cõu 2. (Đề thi HSG 9 huyện Kim Thành 2019-2020) 
 Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho x2 3y 3026.
 Lời giải
Ta cú x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 .
 • Nếu y 0 3y 3 x2 3y chia cho 3 dư 0 hoặc 1
 Mà 3026 chia 3 dư 2 
  Trường hợp này khụng xảy ra.
 x2 1 3026
 x2 3025
 • Vậy y 0 
 x2 552
 x 55
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 Vậy cặp số tự nhiờn (x; y) (55;0) .
Cõu 3. (Đề thi HSG 9 huyện Lai Vũ 2019-2020) 
1) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 20y2 - 6xy = 150- 15x
2) Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số 2 p2 - 1; 2 p2 + 3; 3p2 + 4 đều là số nguyờn tố 
 Lời giải
 1) Ta cú : 150 15x 20y2 6xy 6xy 15x 20y2 150
 3x 2y 5 5 4y2 25 25
 2y 5 10y 25 3x 25
 Xột 6 trường hợp sau
 2y 5 1 x 10
 +) tm 
 10y 25 3x 25 y 3
 2y 5 25 x 58
 +) tm 
 10y 25 3x 1 y 15
 70
 2y 5 1 x 
 + ) 3 ( loại )
 10y 25 3x 25
 y 2
 y 10
 2y 5 25 
 74 ( loại)
 10y 25 3x 1 x 
 3
 70
 2y 5 5 x 
 +) 3 (loại)
 10y 25 3x 5
 y 5
 2) Vỡ p2 là số chớnh phương nờn p2 chia cho 7 cú số dư là 0;1;2;4 
 +) Nếu p2 7 thỡ p7 p 7 
 Khi đú 2 p2 - 1= 2.72 - 1= 97 là số nguyờn tố
 2 p2 + 3 = 2.72 + 3 = 101 là số nguyờn tố
 3p2 + 4 = 3.72 + 4 = 151là số nguyờn tố
 +) Nếu p2 chia 7 dư 1 thỡ 3p2 4 7 Trỏi với đề bài
 +) Nếu p2 chia 7 dư 2 thỡ 3p2 1 7 Trỏi với đề bài
 +) Nếu p2 chia 7 dư 4 thỡ 2 p2 1 7 Trỏi với đề bài
 Vậy p 7 
 Cõu 4. (Đề thi HSG 9 THCS và THPT lương Thế Vinh 2019-2020) 
 Tỡm 2019 số tự nhiờn liờn tiếp mà trong đú khụng cú số nguyờn tố nào?
 Lời giải
 Xột số tự nhiờn A 2.3.4.5...2019.2020 . Khi đú: 
 A chia hết cho cỏc số: 2; 3; 4; 5; ; 2019; 2020
 Xột dóy 2019 số tự nhiờn liờn tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5;...;A 2019;A 2020 .
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Do A2 nờn A 22 mà A 2 2 A 2là hợp số
Tương tự: Do A3 nờn A 33mà A 3 3 A 3 là hợp số
 Do A4 nờn A 44 mà A 4 4 A 4là hợp số
 ..
 Do A2019 nờn A 20192019 mà A 2019 2019 A 2019là hợp số
 Do A2020 nờn A 20202020 mà A 2020 2020 A 2020là hợp số
Vậy dóy 2019 số tự nhiờn liờn tiếp: A 2; A 3; A 4; A 5;...;A 2019;A 2020 , trong đú khụng 
cú số nguyờn tố nào.
Cõu 5. (Đề thi HSG 9 THCS và THPT lương Thế Vinh 2019-2020) 
Viết 150 số tự nhiờn 1, 2, 3, , 150 lờn bảng. Mỗi lần ta xúa đi hai số nào đú và thay bằng tổng 
hoặc hiệu của chỳng. Sau một số lần như vậy thỡ trờn bảng chỉ cũn lại một số. Hỏi cú khi nào số 
đú là 100 khụng? 
 Lời giải
 (1 150).150
Gọi tổng của 150 số ban đầu là S 1 2 3 ... 150 11325 S a b 
 2 1
Giả sử xúa đi hai số bất kỡ a, b và thay bằng a b hoặc a b thỡ ta cú tổng mới là: 
S1 a b hoặc S1 a b 
Ta cú: (S1 a b) (S a b) 2S 2a 2b và (S1 a b) (S a b) 2S 2a đều chẵn nờn 
tổng lỳc đầu và tổng lỳc sau luụn cựng tớnh chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nờn tổng lỳc sau khụng 
thể bằng 100. 
Cõu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
 x y 2019
Tỡm tất cả cỏc bộ số nguyờn dương (x; y; z) thỏa món là số hữu tỉ và x2 y2 z2 là 
 y z 2019
số nguyờn tố.
 Lời giải
Ta cú:
x y 2019 m
 Q (m,n Z,n 0) nx ny 2019 my mz 2019
 y z 2019 n
 nx my 2019 mz ny 
Vỡ x, y, z, m, n là cỏc số nguyờn nờn nx my Z và mz ny Z
 m y x
Khi đú: nx my 0 và mz ny 0 . Suy ra: y2 xz .
 n z y
Theo đề bài x2 y2 z2 là số nguyờn tố hay 
 2
x2 2y2 z2 y2 x2 2xz z2 y2 x z y2 x y z x y z là số nguyờn tố.
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Khi đú: x y z 1 hay x z 1 y . Suy ra: 
 x z 2 1 y 2 x2 z2 2y2 y2 2y 1 (y 1)2 x2 z2 2 0
Vỡ x, y, z là số nguyờn dương nờn x y z 1
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 – 2011 ) 
 Chứng minh rằng: 2a 4 1 2a3 a2
 Lời giải
Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp lần lượt là n, n + 1, n + 2, n + 3
Tớch 4 số thờm 1 là: 
 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = (n2 + 3n + 1)2 (đpcm)
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Húa 2011 - 2012) 
a. Giải PT nghiệm nguyờn : x + xy + y = 9
b. Cho 2011 số nguyên dương a1, a2 , ... , a2011 Thoả mãn : a1 a2 a3 ... a2011 30
 5 5 5 5
Chứng minh rằng : a 1 a 2 a 3 ... a 2011 30
 Lời giải
 9 y 10
a) x + xy + y = 9 => x(1 + y) = 9 – y => x 1 
 1 y 1 y
x nguyên khi 1 + y Ư(10) = {-10 ; -5 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 5; 10}
Suy ra : y {-11 ; -6 ; -3 ; -2 ; 0 ; 1 ; 4; 9} Khi đó x {-2 ; -3 ; -6 ; -11 ; 9 ; 4 ; 1; 0}
Vậy ta có 8 cặp số là : (y; x) = (-11; -2), (-6 ; -3) , (-3 ; -6) , (-2 ; -11), (0 ; 9), (1 ; 4) , (4; 1), (9 ; 
0)
 b) Trước hết ta chứng minh
a và a5 có cùng chữ số tận cùng : Thật vậy
15 ; 25; 35; 45 ; 55; 65; 75 ; 85; 95 lần lượt có chữ số tận cùng là : 1 ; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7 ; 8; 9
Suy ra : a và a5 có cùng chữ số tận cùng (1)
a và a5 Chia cho 3 có cùng số dư : Thật vậy
+) a = 3k + 1 => a5 = (3k + 1)5 chia cho 3 có số dư là 15 = 1
+) a = 3k + 2 => a5 = (3k + 2)5 chia cho 3 có số dư là dư của 25 chia cho 3, mà 25 = 32 chia cho 3 
dư 2.
+) a = 3k => a5 = 3k5 chia cho hết 3 
Vậy a và a5 Chia cho 3 có cùng số dư (2)
Ta có : A = a1 a2 a3 ... a2011 30 => A = a1 a2 a3 ... a2011 2.3.5
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
A chia hết cho 2 và 5 => A có chữ số tận cùng là 0, Căn cứ vào (1)
 5 5 5 5
=> B = a 1 a 2 a 3 ... a 2011 có chữ số tận cùng là 0 => B chia hết cho 2 và 5 (I)
A chia hết cho 3, căn cứ vào (2) => B cũng chia hết cho 3 (II)
 5 5 5 5
Từ (I) và (II) Suy ra : a 1 a 2 a 3 ... a 2011 30 (ĐPCM)
Cõu 9. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Húa 2014 - 2015) 
Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1)  y đồng thời (3y + 1) 
 x.
 Lời giải
b. Dễ thấy x y . Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử x > y.
Từ (3y + 1)  x 3y 1 p.x p N * . 
Vỡ x > y nờn 3x > 3y + 1 = p.x. p < 3. Vậy p 1;2 
• Với p = 1: x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4  y 4y 
Mà y > 1 nờn y 2;4
+ Với y = 2 thỡ x = 7.
+ Với y = 4 thỡ x = 13.
• Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y + 5
• Vỡ 3x + 1y nờn 9y + 5y suy ra 5y , mà y > 1 nờn y = 5,
suy ra x = 8.
Tương tự với y > x ta cũng được cỏc giỏ trị tương ứng.
Vậy cỏc cặp (x; y) cần tỡm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);
Cõu 10. (Đề thi HSG 9 huyện Hoằng Húa 2015- 2016) 
a) Tỡm số nguyờn dương n bộ nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n >1 thỡ số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 khụng thể là số chớnh 
 phương.
 Lời giải
 a. Ta cú: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6).
 Thử với n = 1; 2; 3 thỡ F đều khụng chia hết cho 125.
 Thử với n = 4 thỡ F = 0 chia hết cho 125.
 Vậy số nguyờn dương bộ nhất cần tỡm là: n = 4.
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
b. A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 
= n4(n2-1) + 2n2(n+1) 
= n2(n+1)(n3-n2 +2) 
= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] 
= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] 
Ta cú: (n-1)2 1)
 (n-1)2 +1 khụng thể là số chớnh phương
 Vậy A khụng thể là số chớnh phương
Cõu 11: (Đề thi HSG 9 huyện Nga Sơn 2012 - 2013) 
Tỡm cỏc số nguyờn x để: 199 x2 2x 2 là một số chớnh phương chẵn.
 Lời giải
 199 x2 2x 2 (2y)2 (y N)
 200 (x 1)2 2 4y2
 4y2 2 200 4y2 16
 y2 4 y 2(y N)
+ Với y = 0 (không thoả mãn)
+ Với y = 1 ta được x1 = 13; x2 = -15
+ Với y = 2 ta được x3 = 1; x4 = -3
 Vậy x 15; 3;1;13
  Trang 6  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 9: CHỨNG MINH - TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Chuyờn đề 10: CHIA ĐA THỨC
  Trang 7 