Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán 9 - Chuyên đề 9: Chứng minh – Tính giá trị biểu thức (Có đáp án)

 CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Chuyờn đề 9: CHỨNG MINH - TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Cõu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Lai Vũ 2019-2020) 
 1) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : (x2 + 4x + 6)(x2 + 6x + 6)- 3x2
 2) Cho a, b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 - a2b+ ab2 - 6b3 = 0 . Tớnh giỏ trị của 
 a4 - 4b4
 biểu thức B =
 b4 - 4a4
 Lời giải
 1) A x2 5x 6 x x2 5x 6 x 3x2 
 Đặt y x2 5x 6
 A y x y x 3x2 y2 4x2 y 2x y 2x 
 x2 5x 6 2x x2 5x 6 2x 
 x2 3x 6 x2 7x 6 
 x2 3x 6 x 1 x 6 
 2) a3 a2b ab2 6b3 0 a 2b a2 ab 3b2 0 * 
 Vỡ a b 0 a2 ab 3b2 0 nờn từ (*) ta cú a 2b 
 a4 4b4 16b4 4b4
 Vậy biểu thức B 
 b4 4a4 b4 64b4
 12b4 4
 B 
 634 21
 Cõu 2. (Đề thi HSG 9 Huyện Mỹ Đức 2019-2020) 
 x y z
 Cho cỏc số x, y, z thỏa món 0 với x y; y z; z x 
 y z z x x y
 x y z
 Tớnh giỏ trị biểu thức: A 
 y z 2 z x 2 x y 2
 Lời giải
 ( file gốc Đỏp ỏn khụng cú lời giải – Do thời gian nộp gấp nờn GV chưa cú thời gian Word 
 giải
 Cõu 3. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2008 – 2009 ) 
 1 1 2
 Cho hai số a, b thỏa món: a 1; b 1. Chứng minh: 
 1 a 2 1 b 2 1 ab
 Lời giải
 1 1 2 1 1 1 1 
 = =
 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1 ab 
  Trang 1  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 ab a 2 ab b 2
 = 
 (1 a 2 )(1 ab) (1 b 2 )(1 ab)
 a(b a)(1 b 2 ) b(a b)(1 a 2 ) (b a)(a ab 2 b a 2b)
 = = 
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 (b a) 2 (ab 1)
 = 
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 (b a) 2 (ab 1)
 Do a 1; b 1 nờn 0
 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
 1 1 2 1 1 2
 0 
 1 a 2 1 b 2 1 ab 1 a 2 1 b 2 1 ab
Cõu 4. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 – 2011 ) 
 a. Chứng minh rằng: 2a 4 1 2a3 a2
 x2 + y2
 b. Cho x > y và x.y = 1. Chứng minh rằng 2 2 
 x - y
 Lời giải
 a. 2a 4 +1 2a3 + a 2 a -1 2 a +1 2 + a 2 0
 (Hiển nhiờn đỳng vỡ...).Dấu bằng xảy ra khi a = 1
 b. Với x > y và x.y = 1 ta cú:
 x2 + y2
 2 2 x2 + y2 2 2(x - y) (x - y)2 2 2(x - y) + 2 0 (x - y - 2)2 0
 x - y
 (Hiển nhiờn đỳng ). 
 Cõu 5. (Đề thi HSG 9 Huyện Hà Trung 2010 – 2011 ) 
 x2 + y2
 Cho x > y và x.y = 1. Chứng minh rằng 2 2 
 x - y
 Lời giải
 (file gốc Đỏp ỏn khụng cú lời giải )
 Cõu 6. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2010 – 2011 ) 
 a. Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau thoả mãn hệ thức
 a b c
 0
 b c c a a b
 a b c
 Chứng minh rằng 0
 b c 2 c a 2 a b 2
  Trang 2  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1 a b c
b. Cho a,b,c 1. Chứng minh rằng : 0,5 1,9
 3 1 bc 1 ca 1 ab
 Lời giải
 a b c
a. 0
 b c c a a b
 a b c
Suy ra : 0 (1)
 b c 2 c a b c a b b c 
 a b c
 0 (2)
 b c c a c a 2 a b c a 
 a b c
 0 (3)
 b c a b c a a b a b 2
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có
 a b c a b c
 + +
 b c 2 c a b c a b b c b c c a c a 2 a b c a 
 a b c
 0
 b c a b c a a b a b 2
 a b c b a b c c a a a b c b c a c a b b c 
=> + =0
 b c 2 c a 2 a b 2 a b b c c a 
 a b c ab b2 c2 ac a2 ab bc c2 ac a2 b2 bc
=> + = 0
 b c 2 c a 2 a b 2 a b b c c a 
 a b c
=> = 0 (ĐPCM)
 b c 2 c a 2 a b 2
 1 a b c
b. Cho a,b,c 1. Chứng minh rằng : 0,5 1,9
 3 1 bc 1 ca 1 ab
 a b c
Chứng minh : 0,5 . Thật vậy
 1 bc 1 ca 1 ab
 a
Trước hết ta tìm giá trị nhỏ nhất của . Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi 
 1 bc
 1
 1
 a min a min = a 3 1 a 1
 3 min = (1)
 (1 bc) max 1 bc 2 6 1 bc 6
 (1 bc) max 2
 b 1 c 1
Chứng minh tương tự ta có : (2) và (3)
 1 ca 6 1 ab 6
  Trang 3  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 a b c
Cộng (1) , (2) , (3) tac được : 0,5
 1 bc 1 ca 1 ab
Dấu “=” xảy ra khi dấu “=” ở (1), (2) và (3) xảy ra, điều này không thể xảy ra. vậy không có dấu “=”
 a b c
Chứng minh : 1,9 . Thật vậy
 1 bc 1 ca 1 ab
 1
Không làm mất tính chất tổng quát, giả sử : 1 a b c 
 3
 c c 1
Khi đó : ab > c2 => 1 + ab >1 + c2 => (I)
 1 ab 1 c2 2
 a a 3a 3 b b 3b 3b
Ta có : (1) va (2)
 b a
 1 bc 1 b 3 b 3 1 ca 1 a 3 b 3
 3 3
 a b 3 3b a b 3b 3 a b 6
Từ (1) và (2) Suy ra : 3 
 1 bc 1 ca b 3 b 3 1 bc 1 ca b 3 1 bc 1 ca b 3
 a b 6 6 a b 12
Suy ra : 3 3 (II)
 1
 1 bc 1 ca b 3 3 1 bc 1 ca 10
 3
 a b c 12 1 a b c 17
Từ (I) và (II) Suy ra : 
 1 bc 1 ca 1 ab 10 2 1 bc 1 ca 1 ab 10
Cõu 7. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2010 – 2011 ) 
a. Cho ba số thực a, b, c thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
 a4 b4 c4 a3 b3 c3
 1 a b c
b. Cho a,b,c 1. Chứng minh rằng : 0,5 1,7
 3 1 bc 1 ca 1 ab
 Lời giải
 a. áp dụng bất đẳng thức Bunhia, ta có :
 2
 a b c 3 a2 b2 c2 9 3 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 (1) 
 2
 a2 b2 c2 3 a4 b4 c4 (2)
 2
 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a4 b4 c4 (3)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
 2 2
Từ (1), (2) và (3) suy ra : a3 b3 c3 a4 b4 c4 => a4 b4 c4 a3 b3 c3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
b. Chứng minh : xy + yz + xz – 2xyz 0. Thật vậy
  Trang 4  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Ta có : Do x, y, z 0 và x + y + z = 1 => 1 x, y, x ≤ 1
 xy xyz
 yz xyz xy yz zx 3xyz xy yz zx 2xyz xy yz zx 2xyz 0 (1)
 zx xyz
Dấu “=” xảy ra khi hai trong ba số (x, y, z ) bằng 0 còn số còn lại bằng 1.
 7
Chứng minh : xy + yz + xz – 2xyz . Thật vậy
 27
Trước hết ta c/m BĐT sau
(x + y – z)(y + z – x)(z + x – y) ≤ xyz
Thật vậy
- Nếu một trong các thừa số (x + y – z), (y + z – x), (z + x – y) BĐT 
hiển nhiên là đúng, vì xyz > 0
- Nếu các thừa số (x + y – z), (y + z – x), (z + x – y) không âm.
áp dụng BĐT côsi, ta có
 (x y z) (y z x)2
Ta có (x + y – z)(y + z – x) ≤ y2
 4
 (y + z – x)(z + x – y) ≤ z2
 (x + y – z)(z + x – y) ≤ x2
=> [(x + y – z)(y + z – x)(z + x – y)]2 ≤ (xyz)2 => x + y – z)(y + z – x)(z + x – y) ≤ xyz
=> (1 – 2z)(1 – 2x)(1 – 2y ) ≤ xyz => 1 – 2y – 2x + 4xy – 2z + 4yz + 4xz – 8xyz ≤ xyz
=>1 – 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx – 2xyz) ≤ xyz mà x + y + z = 1
 1
=> 4(xy + yz + zx – 2xyz) ≤ xyz + 1 mà xyz (Theo côsi)
 27
 28 7 1
=> 4(xy + yz + zx – 2xyz) ≤ => xy + yz – 2xyz (2) Dấu ‘=” xảy ra khi x = y = z = 
 27 27 3
 7
Từ (1) và (2) => 0 xy + yz + xz + -2xyz (ĐPCM)
 27
Cõu 8. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2014 – 2015 ) 
 3
 5 2 17 5 38 2015
 Với x . Tớnh giỏ trị của biểu thức: B = 3x3 8x2 2 
 5 14 6 5
 Lời giải
  Trang 5  CHUYấN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3
 3
 5 2 5 2 5 2 5 2 1
 Ta cú x . Do đú B = - 1.
 5 (3 5)2 5 3 5 3
 Cõu 9. (Đề thi HSG 9 Huyện Hoằng Húa 2015 - 2016) 
 a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : (x2 + 4x + 6)(x2 + 6x + 6)- 3x2
 b) Cho a, b là cỏc số thỏa món a > b > 0 và a3 - a2b+ ab2 - 6b3 = 0 . Tớnh giỏ trị của biểu thức 
 a4 - 4b4
 B =
 b4 - 4a4
 Lời giải
 Ta cú: x2 – x – 1 = 0 x2 – x = 1 (x2 – x)3 = 1 
 x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1.
 Mặt khỏc: x2 – x – 1 = 0 x2 = x + 1 
 x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
 1 2015 2016
 P 1.
 1 2015 2016
 b. File gốc khụng cú đỏp ỏn
Chuyờn đề 10: CHIA ĐA THỨC
  Trang 6 