Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
 x2 5x 6 x 9 x2 2x
Rút gọn : A : 2. 1 
 3x x2 (x 2) 9 x2 3 x
 Lời giải
ĐK: 3 x 3 
 x 3 x 2 x 3 x. 3 x 3 x 2x
A : 2 
 x(3 x) (x 2) 3 x. 3 x 3 x 3 x
 3 x x 2 3 x x 3 x 3 x
 : 2
 3 x
 3 x. x 3 x x 2 3 x 
 3 x 3 x 1
 : 2 
 3 x 3 x 2
Câu 2. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
 2 3 2 3
Thực hiện phép tính : 
 2 2 3 2 2 3
 Lời giải
Nhân số bị chia và số chia với 2 ta được:
 2 3 2 3 2. 2 3 2. 2 3 2. 2 3 2. 2 3 
 2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 2 3 1 2 3 1 
 2 3 2 3 2 3 . 3 3 2 3 . 3 3 
 2. 2.
 3 3 3 3 6
 2
Câu 3.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
 3a 9a 3 a 1 a 2
Cho biểu thức M với a 0;a 1 
 a a 2 a 2 1 a
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá tị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 3a 3 a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 
 M 
 a 1 a 2 a 1 a 2 1 a a 2 
 3a 3 a 3 (a 1) (a 4) a 3 a 2
 M 
 a 1 a 2 a 1 a 2
: 
 a 1 a 2 a 1
 M 
 a 1 a 2 a 1
 a 1 2 2
 M 1 
 a 1 a 1
 2
M nguyên nguyên a 1 là ước của 2
 a 1
 a 1 1;1;2 a 0;4;9(do a 0) 
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014) 
 1 1 1 1 1
T ...... 
 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100
 Lời giải
 1 n n 1
Ta có : n n 1 
 n n 1 n n 1
T 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100 
 1 2 2 3 3 4 4 5 .... 99 100
 1 100 11
Câu 5. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018) 
 x 8 1 x 4 4 x
Cho biểu thức A 
 x x 8 x 2 x 4 x 4
Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.
 Lời giải
 x 8 1 x 2
A 
 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 x 2 . x 2 
 3 x 6 3
 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4
 x 2 x 4 là ước của 3; chỉ có x 2 x 4 3 có nghiệm x 1 thỏa mãn ĐK.
Câu 6. (Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
 x3 x2 5x 3 6
Tính giá trị của biểu thức: P tại x 1 3 2 3 4. 
 x3 2x2 7x 3
 Lời giải
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Ta có x 3 2 1 1 3 2 3 4 3 2 1 2 1 1 
Suy ra x 3 2 x 1 2x3 x 1 3 hay x3 3x2 3x 1 
Do đó 
 3x2 3x 1 x2 5x 3 6 4x2 8x 4 6
P 
 3x2 3x 1 2x2 7x 3 x2 4x 4
 2 
 4 x 1 6 2 x 1 6 2 x 1 6 2x 4
 2
 x 2 2 x 2 x 2 x 2
(vì x 1 3 2 3 4 2) 
Vậy P 2 tại x 1 3 2 3 4. 
Câu 7.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
 3 2 7 2 10 3 33 4 33 2 1
Rút gọn biểu thức 
 5 2 1
 Lời giải
 2 3
 3 3 3
 3 2 7 2 10 3 33 4 33 2 1 2 5 2 4 1 
Ta có: 1
 5 2 1 5 2 1
  Trang 3 