Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Hệ phương trình (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2012-2013) 
 2x 3 y 5
 2 3 
Giải hệ phương trình : y 5 2x 3 x ; y 5 
 2 
 3x 2y 19
 Lời giải
 2x 3 1 2
Đặt m 0 m 2 m2 2m 1 0 m 1 0 m 1 (chọn)
 y 5 m
 2x 3
 1 2x 3 y 5 2x y 8 
 y 5
 2x y 8 4x 2y 16 x 5
Giải hệ 
 3x 2y 19 3x 2y 19 y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;2 .
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
 2(x 2x y) 3 y 1 
Giải hệ phương trình 
 2 2
 x 2xy y 2 2 
 Lời giải
ĐK: 2x y 0.
Đặt t 2x y 0 . Ta có phương trình 1 có dạng t 2 2t 3 0 t 1 (do t 0 )
Với t 1 2x y 1 y 1 2x. Thay y 1 2x vào 2 ta được:
x2 2x 1 2x 1 2x 2 2
 x2 2x 3 0
 x 1 x 3 0
 x 1
 x 3
+) Với x 1 y 1 (TM)
+) Với x 3 y 7 (TM)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 1; 1 ; 3;7 .
Câu 3. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Kiên Giang 2011-2012) 
 x 2 2 y 1 9 1 
Giải hệ phương trình : 
 x y 1 1 2 
 Lời giải
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Từ pt (2) y 1 1 x 0 x 1 
Thế vào phương trình (1) ta có 
 x 2 2 1 x 9
 x 2 2x 11
 (vì x 1 )
 2 x 2x 9
 x 3
 y 3
Thế x 3vào pt (2) : y 1 1 3 2 y 1 2 
 y 1
Vậy nghiệm của hệ là 3;3 ; 3; 1 .
Câu 4.(Đề thi HSG 9 TP Đà Nẵng 2015-2016) 
 x2 xy xz 48
 2
Giải hệ phương trình xy y yz 12 
 2
 xz yz z 84
 Lời giải
Cộng 3 phương trình của hệ ta được x y z 2 144 x y z 12 
 x(x y z) 48
Mặt khác hệ y(x y z) 12 kết hợp với trên ta có hai trường hợp sau:
 z(x y z) 84
*) Với x y z 12 hệ có nghiệm x; y; z 4; 1; 7 
*) Với x y z 12 hệ có nghiệm x; y; z 4;1;7 
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh An Giang 2013-2014) 
 5x 3y 5 3
Cho hệ phương trình 
 3 1 x 5y 5 3
a) Giải hệ phương trình
b) Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x; y nhận 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương trình đã cho 
 và một nghiệm là (0;0)
 Lời giải
a)
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 5x 3y 5 3
 3 1 x 5y 5 3
 5x 15y 5 15
 3 3 x 15y 15 3 3
 5x 15y 5 15
 (5 3 3)x 5 3 3
 5x 15y 5 15
 5 3 3
 x 
 2 3
 x 1 3
 5(1 3) 15y 5 15
 x 1 3
 y 1 5
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax by c 
Phương trình có nghiệm (0;0) suy ra c = 0
Phương trình có nghiệm 1 3; 1 5 a 1 3 b 1 5 0 
Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn a 1 5;b 1 3 vậy một phương trình thỏa 
đề bài đó là: 1 5 x 1 3 y 0 
Câu 6. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Nghệ An 2016-2017) 
 2 2 3
 x xy xy y 0
Giải hệ phương trình 
 2
 2 x 1 3 x y 1 y 0
 Lời giải
ĐK: x 0 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
 x y
 x(x y2 ) y(x y2 ) 0 x y x y2 0
 2 
 x y 0
Với x y2 0, kết hợp với điều kiện ta xác định x 0 ta được x y 0
Thay vào phương trình còn lại ta thấy không thỏa mãn.
Với x y, thay vào phương trình còn lại ta được:
2(x2 1) 3 x(x 1) x 0 2 x2 3x x x 3 x 2 0 
Đặt t x 0 , khi đó ta được phương trình 2t 4 3t3 t 2 3t 2 0 
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 1
Nhẩm được t 2;t nên ta phân tích được 
 2
2t3 (t 2) t2 t 2 t 1 t 2 0
 t 2 2t3 t 2 t 1 0 
 t 2 2t 1 t 2 t 1 0
 1 x y 2
 t 
 2 2 
 x y 
 t 2 2
 2
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y 2 và x y .
 2
Câu 7.(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
 x2 xy y2 3
Giải hệ phương trình 
 x y xy 5
 Lời giải
 2
 x2 xy y2 3 x y 3xy 3
Ta có : 
 x y xy 5 x y xy 5
Đặt a = x – y , b = xy (1)
 a2 3b 3
Hệ phương trình trên trở thành 
 a b 5
 a 3 a 6
Giải hệ phương trình trên ta được hoặc 
 b 2 b 11
Với a = 3 , b = - 2 thay vào (1) ta được
 x y 3 x 1 x 2
 và 
 xy 2 y 2 y 1
Với a = - 6 , b = -11 thay vào (1) ta được
 x y 6 x y 6
 2 . Hệ phương trình vô nghiệm
 xy 11 y 6y 11 0
 x 1 x 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
 y 2 y 1
Câu 8.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
 3x y2 2 x 2 y 1 5
Giải hệ phương trình : 
 2
 2x y y 6
 Lời giải
ĐKXĐ: x 2 y 1 0. Cộng theo hai vế phương trình của hệ ta được:
x 2 2 x 2 y 1 y 1 0(*) 
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 x 2 2
Xét . phương trình (*) x 2 y 1 0 x 2 y 1 x y 3 
 y 1
Thay vào 2x y2 y 6 được y2 y 12 0 y 4 y 3 0 y 4 (Vì y 1) 
Nên x = 7.
 x 2
Xét .Khi đó x 2 2 x 2 . y 1 y 1 0 phương trình vô nghiệm
 y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 7;4 . 
  Trang 5 