Chuyên đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8: Số học (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Câu 1. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau:
 Lời giải
Số hình chữ nhật là 1 2 3 4 5 . 1 2 3 4 150.
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n
Câu 2.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29; 
 Lời giải
 2 2
Quy luật an 2 an 1 an (n 1;n ¥ ) 
 2
 2 2 2 2 2
Suy ra a7 a6 a5 a5 a4 a5 750797 
Đáp số: 750797
Câu 3.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao 
nhiêu chiếc giày ( mà không nhìn vào trong hộp ) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được .
 Lời giải
Đáp số 16
Câu 4.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
 1
Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, bạn câu 
 9
 1
được nhiều cá nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn là khác 
 7
nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người
 Lời giải
Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là a1 a2 ...... an 
Ta có 9an a1 a2 ..... an 7a1 9an nan ;7a1 na1 n 8 
Câu 5.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017) 
Cho hình tròn ( C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi 
cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn ( C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa 
mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.
 Lời giải
  Trang 1  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 A
 O B
Xét k = 7 , vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên cùng đường tròn tạo thành lục giác đều. Lúc 
đó khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra k 8 
Với k=8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm 
đó.
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng 1 bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì 
không có điểm nào trùng tâm)
Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra hai bán kính 
tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 600.
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc AOB không là góc lớn nhất của tam giác OAB nên 
AB max OA;OB 1 
Vậy trường hợp k=8 thỏa mãn.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8.
Câu 6. (Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Nam 2017-2018) 
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì n 2 n 1 n 8 không thể là lập phương của 
 một số tự nhiên
b) Cho số nguyên tố p (p 3) và hai số nguyên dương a, b sao cho p2 a2 b2 . Chứng minh a chia 
 hết cho 12 và 2(p a 1) là số chính phương.
 Lời giải
a) A n 1 n 2 n 8 
+) Khi n 1 A 54 không lập phương
+) Khi n 2 A 120 không lập phương
+)Khi n 2 . ta chứng minh A cũng không lập phương
 3
A n 1 n 2 n 8 n3 11n2 26n 16 n3 12n2 48n 64 n 4 
 2
A n 3 n3 11n2 26n 16 n3 9n2 27n 27 2n2 n 11 0
 1 89 1 89
 n 2,6 hoặc n n 2,1 
 4 4
 3 3
Suy ra khi n > 2 n 3 A n 4 Vậy A không thể là lập phương
b) p2 b2 a2 b a b a 
  Trang 2  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 b a và b a là ước của p2 b a và b a là ước của p vì p nguyên tố 
Vì b – a < b+a nên b – a =1 b a p2 2a 1 p2 
 2 2
Cộng vào hai vế cho 2p+1 ta có: 2a 2p 2 p 1 2(a p 1) p 1 
Chứng minh a chia hết cho 12
+) Chứng minh a chia hết cho 3
Vì 2a 1 p2 2a p2 1 vì p nguyên tố >3 nên p2 chia 3 dư 1 2a3 a3 
+)Chứng minh a chia hết cho 4
Vì 2a 1 p2 2a p2 1 vì p nguyên tố >3 nên p chia 4 dư 1 hoặc dư 3
*) p=4k+1 2a 16k 2 8k8 a4 
*) p=4k+3 2a 16k 2 24k 88 a4 
Do đó a chia hết cho 12
Câu 7.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Nghệ An 2016-2017) 
a) Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn
 1 1 1 1 1
 1
 m n p q mnpq
b) Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc sau: Nếu có hai 
 số phân biệt trên bảng thi ghi thêm số z xy x y . Chứng minh rằng các số trên bảng (trừ số 
 1) có dạng 3k 2 với số k là tự nhiên
 Lời giải
a) Do m, n, p, q là các số nguyên tố khác nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 
n m p q. Khi đó ta được q 2;p 3;n 5;m 7 
 1 1 1 1 1 3.5.7 2.3.7 2.5.7 2.3.5 1 248
Dễ thấy 1 
 2 3 5 7 2.3.5.7 2.3.5.7 210
 1 1 1 1 1 3.5.7 11.3.7 11.5.7 11.3.5 1 887
Lại thấy: 1 
 3 5 7 11 3.5.7.11 3.5.7.11 1155
Từ đó suy ra trong các số m, n, p, q có một số là 2. Do q nhỏ nhất nên ta được q=2
 1 1 1 1 1
Từ đó ta lại được 
 m n p 2mnp 2
 1 1 1 1 1
Dễ thấy với p=5, n=7, m=11 ta có . Như vậy trong ba số nguyên tố m, n, p 
 5 7 11 2.5.7.11 2
phải có một số bằng 3, do đó suy ra p=3.
 1 1 1 1
Từ đó lại có hay ta được mn 6m 6n 1 m 6 n 6 37 
 m n 6mn 6
Đến đây ta được n = 7; m = 43.
  Trang 3  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
Thử lại ta thấy các bội số (m;n;p;q)=(2;3;7;43) thỏa mãn bài toán 
b) Từ hai số trên bảng ta thấy có một số chia 3 dư 2. Do đó trong hai số x và y khác nhau thì có 
x+1 hoặc y+1 chia hết cho 3, suy ra x 1 y 1 chia hết cho 3
Khi ta viết thêm số mới là z xy x y x 1 y 1 1 thì ta được z chia 3 dư 2
Như vậy dãy số viết trên bảng trừ số 1 luôn chia 3 dư 2 hay các số đó có dạng 3k+2
Câu 8.(Đề thi HSG 9 TP Vinh 2016-2017) 
1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n 
2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 x 3y2 y 
 Chứng minh x – y ; 2x +2y+1 và 3x +3y+1 đều là các số chính phương
 Lời giải
1) Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n 
Ta có n3 2012n n3 n 2013n n(n 1)(n 1) 2013n 
Vì n – 1 , n. n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
Suy ra n n 1 n 1 3 mà 20133 nên n3 2012n 3(1) 
 2014
Mặt khác 20142014 1 2013 1 1 chia cho 3 dư 2 vì 20133 (2)
Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài 
toán đã cho
2) Từ: 2x2 x 3y2 y (1) 2x2 2y2 x y y2 (x y)(2x 2y 1) y2 (2) 
Mặt khác từ (1) ta có: 3x2 3y2 x y x2 (x y)(3x 3y 1) x2 
 (x y)2 (2x 2y 1)(3x 3y 1) x2y2 
 (2x 2y 1)(3x 3y 1) là số chính phương (3)
Gọi 2x 2y 1;3x 3y 1 d 
 (2x 2y 1)d; (3x 3y 1)d
 3x 3y 1 2x 2y 1 x y d
 2(x y)d (2x 2y 1) 2(x y) 1d nên d = 1
 2x 2y 1;3x 3y 1 1 (4) 
Từ (3) và (4) 2x 2y 1 và 3x+3y+1 đều là số chính phương
Lại có từ (2) suy ra x y 2x 2y 1 là số chính phương nên x – y cũng là số chính phương. 
Vậy 2y2 x 3y2 y thì x y;2x 2y 1 và 3x+3y+1 đều là các số chính phương
Câu 9.(Đề thi HSG 9 Tỉnh Quảng Ninh 2018-2019) 
a) Với mọi số nguyên n, chứng minh rằng : n(n 2)(73n2 1)24 
b) Tìm số tự nhiên n để 24 27 2n là số chính phương.
 Lời giải
a) Ta có n(n 2)(73n2 1) 72n2 .n.(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2)24 
b) Ta thử n = 1,2,3 đều không thỏa mãn . Với n > 4 thì ta có
24 27 2n k2 24 (9 2n 4 ) k2 k4 . Đặt k=4h với h là số tự nhiên.Ta có:
  Trang 4  CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9
 h 3 2x
 n 4 2 n 4 2 y y x x y x
9 2 h 2 h 9 h 3 h 3 h 3 2 6 2.3 2 2 2 . 2 1 
 x y n 4
 2x 2 n 8
 . Vậy n = 8 là giá trị phù hợp
 y x 
 2 1 3 h 5 k 20
  Trang 5 