Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3: Phương trình – hệ phương trình (Có đáp án)

 Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: (Đề thi HSG 9 huyện Vĩnh Bảo 2013-2014)
 Giải phương trình: 6x4 5x3 38x2 5x 6 0.
 Lời giải
 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
 Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
 5 6
 6x2 5x 38 0
 x x2
 1 1
 6(x2 ) 5(x ) 38 0
 x2 x
 1 1
 Đặt y x thì: x2 y2 2
 x x2
 Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0
 10 5
 Do đó: y và y 
 3 2
 10 1 10
 * Với y thì: x 3x2 10x 3 0
 3 x 3
 1
 x 
 (3x – 1)(x – 3) = 0 1 3
 x2 3
 5 1 5
 * Với y thì: x 2x2 5x 2 0
 2 x 2
 1
 x 
 (2x + 1)(x + 3) = 0 3 2
 x4 2
Câu 2: (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2013-2014)
 a) Giải phương trình x2 (x2 2) 4 x 2x2 4.
 b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy2 2xy x 32y .
 3
 x 2x y
 c) Giải hệ phương trình .
 3
 y 2y x Lời giải
 t 2
a) Đặt t x 2x2 4 t 2 2 x4 2x2 x2 x2 2 
 2
 2
 t 2 t 4
ta được phương trình 4 t t 2t 8 0 
 2 t 2
Với t = -4 ta có 
 x 0 x 0 x 0
x 2x2 4 4 x 2
 4 2 4 2 2
 2 x 2x 16 x 2x 8 0 x 2
Với t =2 ta có 
 x 0 x 0 x 0
x 2x2 4 2 x 3 1 . 
 4 2 4 2 2
 2 x 2x 4 x 2x 2 0 x 3 1
Kết luận nghiệm của phương trình có hai nghiệm x 2 và x 3 1
b) xy2 2xy x 32y x(y 1)2 32y
 32y
Do y nguyên dương y 1 0 x 
 (y 1)2
Vì (y, y 1) 1 (y 1)2 U (32)
mà 32 25 (y 1)2 22 và (y 1)2 24 (Do (y 1)2 1)
*Nếu (y 1)2 22 y 1; x 8 
*Nếu (y 1)2 24 y 3; x 6 
 x 8 x 6
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: và 
 y 1 y 3
c) Từ hệ ta có x3 (2y x) y3 (2x y) (x2 y2 ) 2xy x2 y2 0
 3 x y
 (x y) (x y) 0 
 x y
* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ( 3; 3 );( 3; 3 )
* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); (1; 1);( 1;1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm(x ; y) = (0; 0); ( 3; 3 );( 3; 3 );( 1;1);(1; 1) Câu 3: (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2013-2014)
 a) Giải phương trình sau trên tập nguyên x 2 5y 2 4xy 4x 8y 12 0
 x 1
 b) Giải phương trình 3x 1 3x 1
 4x
 3x 2 2y 2 4xy x 8y 4 0
 c) Giải hệ phương trình: 
 2 2
 x y 2x y 3 0
 Lời giải
 a) x 2 5y 2 4xy 4x 8y 12 0 x 2 4x(y 1) (5y 2 8y 12) 0(*)
 để PT(*) có nghiệm nguyên x thì / chính phương 
 / 4(y 1) 2 5(5y 2 8y 12) 16 y 2 16
 Từ đó tìm được x; y 2;0 ; 6;0 ; 10; 4 ; 6;4 ; 
 1
 b) Đkxđ x 
 3
 x 1
 3x 1 3x 1
 4x
 4x(3x 1) x 1 4x 3x 1
 12x2 3x 1 4x 3x 1
 2
 16x2 2x 3x 1 
 4x 2x 3x 1
 4x 2x 3x 1
 2x 3x 1 (1)
 6x 3x 1 (2)
 3 153
 Giải ra pt (1) và (2) ta được các nghiệm x =1; x 
 72
 c) Ta có: 
 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0
 2 2
 x y 2x y 3 0
 3x2 2y2 4xy x 8y 4 0(1)
 2 2
 2x 2y 4x 2y 6 0(2) lấy pt(1) trừ pt(2) ta được 
 2
 x 2y 3(x 2y) 2 0
 (x 2y 1)(x 2y 2) 0
 x 2y 1
 x 2y 2
 Thay vào phương trình x 2 y 2 2x y 3 0 hệ có 4 nghiệm
 7 109 13 109 7 109 13 109 
 x; y 1;0 ; 5 3 ; ; ; ; 
 3 6 3 6  
Câu 4: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014)
 a) Cho phương trình x 2 2 m 2 x m2 2m 4 0 . Tìm m để phương trình 
 2 1 1
 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2 .
 x1 x2 x1x2 15m
 x y z 1
 b) Giải hệ phương trình 4 4 4 .
 x y z xyz
 c) Tìm x, y, z N thỏa mãn x 2 3 y z
 Lời giải
 a) PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện: 
 ' 0 m 2 2 m2 2m 4 0 m 0 (*)
 x1 x2 4 2m
 Với m 0 theo Vi-et ta có: 2 .
 x1.x2 m 2m 4
 2 1 1 2 1 1
 Ta có 2 2 2 (1)
 x1 x2 x1x2 15m x1 x2 2x1x2 x1x2 15m
 1 1 1
 m2 6m 4 m2 2m 4 15m
 1 1 1
 4 4 15
 m 6 m 2
 m m
 4
 Đặt m t do m 0 t 0
 m
 1 1 1 t 4
 Ta cos (1) trở thành t 4 ( do t 0 )
 t 6 t 2 15 t 12 4
 Với t 4 ta có m 4 m 2 thỏa mãn (*)
 m
 b) Ta có:
 x4 y4 y4 z4 z4 x4
 x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 =
 2 2 2
 x2 y2 y2 z2 y2 z2 z2 x2 z2 x2 x2 y2
 = xyyz yzzx zxxy =
 2 2 2
 = xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1).
 x y z 1
 Dấu bằng xảy ra x y z 
 x y z 1 3
 1 1 1 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x ; y ; z 
 3 3 3 
 c) Ta có x 2 3 y z x 2 3 y z 2 yz
 x y z 2 3 2 yz x y z 2 4 3 x y z 12 4yz (1)
 4yz x y z 2 12
 TH1. Nếu x y z 0 Ta có 3 (2) vô lý 
 4 x y z 
 ( do x, y, z N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ).
 x y z 0
 TH2. x y z 0 khi đó 1 (3)
 yz 3
 x 4 x 4
 Giải (3) ra ta được y 1 hoặc y 3 thử lại thỏa mãn
 z 3 z 1
Câu 5: (Đề thi HSG 9 huyên 2013-2014)
 Giải phương trình: x 2 x 1 x 1 1.
 Lời giải
 Điều kiện x 1
 2
 x 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1
 x 1 1 x 1 1 (1) Khi x 1 1 x 1 1 x 2 : Ta có
 (1) x 1 1 x 1 1. Phương trình vô nghiệm
 Khi 0 x 1 1 0 x 1 1 1 x 2 : Ta có
 1 (1) 1 x 1 x 1 1 2 x 1 0 x 1
 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 6: (Đề thi HSG 9 tỉnh Thái Bình 2011-2012)
 2
 Tìm các số thực x, y thỏa mãn : x2 1 y2 16x2 x2 2x y3 9 8x3y 8xy
 Lời giải
 2
 Ta có: 2 2 3
 * x 1 y 4x x 2x y 9 0
 2 2
 x 1 y 4x 0 yx 4x y 0 1 
 2 3 2 3
 x 2x y 9 0 x 2x y 9 0 2 
 + Nếu y = 0 thì từ (1) suy ra x = 0, thay vào (2) không thỏa mãn
 + Nếu y 0, ta coi (1), (2) là phương trình bậc hai ẩn x. Điều kiện để có nghiệm x là:
 ' 2
 1 4 y 0 2 y 2
 y 2
 ' 3 y 2
 2 y 8 0 
 Thay y = 2 vào hệ (1), (2) ta được:
 2x2 4x 2 0
 x 1
 2
 x 2x 1 0
 Vậy x = 1, y = 2.
Câu 7: (Đề thi vào 10 chuyên Lạng Sơn 2013-2014)
 3x 2y
 2
 a. Giải hệ phương trình x 1 y 1 ;
 2x 3y
 10
 x 1 y 1
 b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2 .
 Lời giải
 x y
 a) Đặt u ; v 
 x 1 y 1
 3u 2v 2 9u 6v 6 u 2
 Khi đó có hệ: 
 2u 3v 10 4u 6v 20 v 2
 x y
 Từ: 2 x 2; 2 y 2
 x 1 y 1
 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) b) Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0 .
 2
 Hay: x y 1 x 2 0.
 2
 Suy ra: x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0 .
 Vì vậy có: x = 2; y = 1.
Câu 8: (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 a) Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3
 2
 b) Giải hệ phương trình: 2x+y = x
 2
 2y+x = y
 Lời giải
 3
 a) Điều kiện: 2x+3 0 x -
 2
 (1) x2 4x+5-2 2x+3 0
 x2 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0
 (x 1)2 ( 2x+3 1)2 0
 x 1 0
 2x+3 1 0
 x 1
 2x+3=1
 x 1 thỏa mãn điều kiện 
 b) Ta có
 2x+y=x2 (1)
 2
 2y+x=y (2)
 Trừ từng vế 2 phương trình ta có: x2 y2 x y
 (x y)(x y 1) 0 x y x y
 x y 1 0 x 1 y
 Ta có:
 x y x y
 +) 
 x(x 3) 0 x 0 hoặc x = 3 
 Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x 1 y x 1 y x 1 y
 +) (*)
 2 2 2
 2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
 Vì phương trình y2 y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
Câu 9: (Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010-2011)
 1
 + y = 1
 x +1
 a) Giải hệ phương trình 
 2
 + 5y = 3
 x +1
 2
 b) Giải phương trình : 2x2 - x + 2x2 - x -12 = 0
 c) Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ). Tìm m để phương 
 trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thỏa x1 = 2 x2
 d) Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử 
 phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng m2 + n2 là hợp số
 Lời giải
 a) Ta có 
 1 2 1
 + y = 1 2y = 2 3y = 1 x =
 x +1 x +1 2
 2 
 2 2 + 5y = 3 1
 + 5y = 3 + 5y = 3 x +1 y =
 x +1 x +1 3
 Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2
 b) Đặt t 2x2 x , 
 Phương trình đã cho trở thành:t2 + t - 12 = 0 t = 3 hay t = -4
 3
 Với t = 3 => 2x 2 x 3 x 1 hay x 
 2
 Với t = -4 => 2x 2 x 4 ( vô nghiệm)
 3
 Vậy phương trình có nghiệm x 
 2
 c) Để PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 thì 
 2
 ∆’= 2m 1 4m2 4m 3 4 0 , với mọi 1
 Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
 Theeo hệ thực Viet ta có x1 = 2m -1 ; x2 = 2m + 3
 7
 m 
 2m 1 2 2m 3 2
 Để x = 2 x 2m 1 2 2m 3 
 1 2 2m 1 2 2m 3 5
 m 
 6 7 5
 Vậy m và m là giá trị cần tìm
 2 6
 d) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình , theo hệ thức Viet ta có:
 m
 x x , x .x n 4
 1 2 2 1 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Ta có m + n = 2x1 2x2 x1 x2 4 4x1 4x2 x1 x2 x1 16 x1 4 . x2 4 
 2 2 2 2
 Mà x1 4, x2 4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m + n là hợp số
Câu 10: (Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016- 2017)
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 
 Lời giải
 Cách 1: 
 Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 
 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)
 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 
 Đặt x2 – 4 = 5t ( t ¥ ) x2 = 5t + 4. Thay vào (*) y2 = 10 – 6t
 4
 2 2 t 
 x 0 x 5t 4 0 5 4 5
 Vì t 
 y2 0 y2 10 6t 0 5 5 3
 t 
 3
 t 0 hoặc t = 1
  Khi t = 0 thì y2 = 10 (loại vì y ¢ )
 x2 9 x 3
  Khi t = 1 thì (vì x > 0; y > 0)
 2 
 y 4 y 2
 Cách 2: 
 Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) 
 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 
 [(x2 – 4) +5] 5 (x2 +1) 5 (**). 
 Từ bài ra 0 < 6x2 < 74 0 < x2 12 . Kết hợp (**) x2 = 4 hoặc x2 = 9 
  Khi x2 = 4 thì y2 = 10 (loại vì y ¢ ) 
  Khi x2 = 9 thì y2 = 4 (x = 3 y = 2) (vì x > 0; y > 0)