Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8: Số học (Có đáp án)

 Chuyên đề 8: SỐ HỌC
Câu 1: (Đề thi vào 10 chuyên Lạng Sơn 2013-2014)
 Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.
 Lời giải
 Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014 2014 = an, có n bộ 2014. n N*
 Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. 
 Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai  2013
 hay: 20142014...2014 20142014...2014 20142014....20140000...00002013 
 j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0
 Số có dạng 20142014 2014 . 104i  2013
 Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n N*
 Vậy: có số dạng 20142014 2014 chia hết cho 2013
Câu 2: (Đề thi HSG 9 tỉnh Nghệ An 2010-2011)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 n 2 không chia hết cho 3.
 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 17 là một số chính phương.
 Lời giải
 a) *) Nếu n3 n2 n3
 nên n2 n 23 (1)
 *) Nếu n3 n2 23
 n2 n 23 (2)
 Từ (1) và (2) n Z thì n2 n 23
 2 2
 b) Đặt m n 17 (m N)
 m2 n2 17 (m n)(m n) 17 1.17=17.1
 Do m + n > m - n
 m n 17 m 9
 m n 1 n 8
 Vậy với n = 8 ta có n2 17 64 17 81 92 Câu 3: (Đề thi vào 10 chuyên TPHCM 2010-2011)
 Cho hai số dương a,b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Tính P= a 2010 + b2010
 Lời giải
 Ta có 0 a100 + b100 a101 b101 a101 b101 a100 + b100 
 a100 1 a b100 1 b a101 1 a b101 1 b 
 a = b =1
 P= a 2010 + b2010 =2
Câu 4: (Đề thi HSG 9 huyện Xuyên Mộc 2016-2017)
 a) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7.
 102016 1 102016 1
 b) So sánh A và B 
 102017 11 102017 9
 Lời giải
 a) Ta có: A 62015 16 1 77
 1013
 B 62016 1 62 162 1 357
 10.(102016 1) 102017 11 1 1
 b) Ta có: 10. A 1 (*)
 102017 11 102017 11 102017 11
 10.(102016 1) 102017 9 1 1
 Và: 10. B 1 (**)
 102017 9 102017 9 102017 9
 1 1
 Ta thấy nên từ (*) và (**) 10A > 10B A > B.
 102017 11 102017 9