Chuyên đề học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Chuyên đề 9: Chứng minh – Tính giá trị biểu thức (Có đáp án)

 Chuyên đề 9: CHỨNG MINH - TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 1: (Đề thi HSG 9 tỉnh Hải Dương 2013-2014)
 Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 .
 a4 4b4
 Tính giá trị của biểu thức B .
 b4 4a4
 Lời giải
 a3 a2b ab2 6b3 0 (a 2b)(a2 ab 3b2 ) 0 (*)
 Vì a > b > 0 a2 ab 3b2 0 nên từ (*) ta có a = 2 b 
 a4 4b4 16b4 4b4 12b4 4
 Vậy biểu thức B 
 b4 4a4 b4 64b4 63b4 21
Câu 2: (Đề thi HSG 9 tỉnh Phú Thọ 2013-2014)
 a 3 3a 2
 a) Tính gía trị biểu thức P , biết a 3 55 3024 3 55 3024
 a 3 4a 2 5a 2
 b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x 3 3x 1; y3 3y 1,z 3 3z 1
 Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 6
 Lời giải
 7
 a) Ta có a3 110 3a (a 5)(a2 5a 22) 0 a 5 Thay a = 5 vào P 
 3
 b) Cộng cả ba đẳng thức ta có hệ 
 x 3 3x 1 x 3 y 3 3(x y) x 2 xy y 2 3(1)
 3 3 3 2 2
 y 3y 1 y z 3(y z) y zy z 3(2)
 z 3 3z 1 z 3 x 3 3(z x) x 2 xz z 2 3(3)
 Trừ (1) cho (2) ta được (x z)(x y z) 0 x y z 0
 Cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 2(x 2 y 2 z 2 ) xy yz xz 9 (*)
 x 2 y 2 z 2
 mà tù x + y + z = 0 suy ra xy yz xz thay vaò (*) ta có đpcm
 2