Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Chuyên đề 7: Hình học - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Chuyên đề 7: HÌNH HỌC
Câu 1.(Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) 
 Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC 4AB. 
 Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx ( D không 
 trùng với C ). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và 
 CD lần lượt tại K, E.
 a) Tính giá trị DC.CE theo a.
 b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất .
 c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính 
 DE luôn có một dây cung cố định.
 Lời giải
 a) Tính giá trị DC.CE theo a.
 Ta có: E· BC ·ADC (Cùng bù với góc K· BC ); ·ACD E· CB 90o
 ACD và ECB đồng dạng với nhau(g-g)
 DC AC
 DC.CE AC.BC
 BC EC
 a 3a 3a2
 Do AB ; BC DC.EC AC.BC 
 4 4 4
 b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất .
 1
 S BC.DE S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất.
 BDE 2 BDE
 3a2
 Ta có: DE DC EC 2 DC.EC 2 a 3 ( Theo chứng minh phần a)
 4
 a 3
 Dấu " " DC EC .
 2
 c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính 
 DE luôn có một dây cung cố định.
  Trang 1  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N ( M nằm giữa 
 A và B) M, N đối xứng qua DE.
 Ta có: Hai tam giác AKB và ACD đồng dạng (g-g)
 AK AB
 AK.AD AC.AB (1)
 AC AD
 Hai tam giác AKM và AND đồng dạng (g-g)
 AK AM
 AK.AD AM.AN (2)
 AN AD
 a2
 T ừ (1) v à (2) suy ra AM.AN AC.AB 
 4
 a2
 (AC MC)(AC NC) AC 2 MC 2 (Do MC NC )
 4
 3a2 a 3
 MC 2 MC NC 
 4 2
 M , N là hai điểm cố định. 
 Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định.
Câu 2.(Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang 2017-2018) 
 Cho đoạn thẳng OA=R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho 
 AH<R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thăng a lấy B 
 và C sao cho H nằm giữa B và C và AB=AC=R. Vẽ HM vuông góc với OB ( M OB), 
 vẽ HN vuông góc với OC ( N OC)
 a/ Chứng minh OM OB=ON OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
 b/ Chứng minh OB OC=2R2 
 c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
 Lời giải
 a
 B
 M
 H
 E A
 O
 N
 C
 a/ Chứng minh OM OB=ON OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
 *Ta có OH  HB (t/c tiếp tuyến) OHB vuông tại H, mà HM  OB (gt) nên theo hệ 
 thức lượng trong tam giác vuông ta có OM OB OH 2 R2
 Chưng minh tương tự ta có ON OC OH 2 R2 . Vậy ta có OM OB ON OC
 OM OA
 * Ta có OM OB OH 2 R2 mà OA=R nên ta cóOM OB OA2 
 OA OB
  Trang 2  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 OM OA
 Xét OMA và OAB có Oµ chung, có OMA : OAB O· AM O· BA. 
 OA OB
 Ta có AO=AB=R (gt) OAB cân ·AOB O· BA ·AOM O· BA , vậy 
 O· AM ·AOM OMA cân MO MA
 Chứng minh tương tự ta có ONA cân NO NA
 Ta có MO MA ; NO NA , vậy MN là trung trực của OA, gọi E là giao điểm của MN 
 OA
 với OA ta có EO=EA= và MN  OA tại E, mà O, A cố định nên E cố đinh. Vậy MN 
 2
 luôn đi qua 1 điểm cố định.
 b/ Chứng minh OB. OC=2R2 
 OM ON
 Ta có OM OB ON OC 
 OC OB
 OM ON
 Xét OMN và OCB có Oµ chung , có OMN : OCB , 
 OC OB
 mà OE  MN và OH  BC nên ta có 
 OM OE OM OE OE 1 1
 OM OC ( vì OH=OA=2OE)
 OC OH OC OA 2OE 2 2
 1
 Ta có OM OB OH 2 R2 ( cm trên) OC OB R2 OC OB 2R2 .
 2
 c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
 2 2 2
 SOMN OE OE OE 1
 Ta có OMN : OCB (cm trên) 2 2 2 
 SOCB OH OA 2OE 4
 1 1 1 1 1 1 1
 Nên S S  OH  BC R  BC R(AB AC) R(R R) R2
 OMN 4 OCB 4 2 8 8 8 4
 Dấu bằng có khi B, A, C thẳng hàng H  A
 1
 Vậy diện tích tam giác OMN lớn nhất là S R2 khi H  A.
 OMN 4
Câu 3.(Đề thi HSG tỉnh Lạng Sơn 2017-2018) 
 Cho tam giác nhọn ABC có AC AB nội tiếp đường tròn (O). Kẻ phân giác trong AI của 
 tam giác ABC (I BC) cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, 
 AE cắt CF tại N, AB cắt CE tại M.
 a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn.
 1 1 1
 b) Chứng minh .
 CN CI CF
 c) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC, kẻ DK//AI (K AC) . Chứng minh:
 2AK AC AB .
 Lời giải
  Trang 3  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
a) Do AI là phân giác nên B»E C»E , theo tính chất góc ngoài đường tròn, ta có :
·AMC »AC B»E »AC C»E ·ANC
Vậy tứ giác AMNC nội tiếp
b) Do hai tứ giác AMNC và ABEC nội tiếp, nên ta có các góc trong bằng nhau: 
µ µ µ ¶ ¶ ¶
A1 C1; A1 C2 ; A2 M 2
Suy ra : BC//MN//EF, CMN cân tại N
Xét tam giác CIN có CE là phân giác và EF//IC nên ta có các tỉ số
 EN CN EN FN CN FN
 ; 
 EI CI EI FC CI FC
 CN CN CF CN CN
 1
 CI FC CI FC
 CN CN
Chuyển vế : 1 , chia 2 vế cho CN ta có điều phải chứng minh.
 CI FC
c) 
Gọi H thuộc AC sao cho K là trung điểm của AH, Kẻ HG//AI với G thuộc BC, trên HG lấy 
điểm L sao cho CG = CL ( CLG cân)
Từ AI//DK//HG và K là trung điểm của AH nên DI = DG, theo giả thiết DB = DC nên BI 
= GC vậy BI = CL
Vì AI//HL nên B· AI I·AC L· HC , và B· IA E· IC L· GC H· LC (so le và đồng vị)
  Trang 4  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 Xét hai tam giác AIB và HLC có hai góc bằng nhau nên góc còn lại bằng nhau, có 1 cạnh 
 bằng nhau BI = CL nên AIB HLC (g.c.g)
 Vậy AB = HC
 Mặt khác HC = AC – AH = AC – 2AK
 Nên AB = AC – 2AK 2AK = AC – AB (đpcm)
Câu 4.(Đề thi HSG tỉnh Nam Định 2015-2016) 
 Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn 
 I . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ·ABD ·ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại 
 tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là Q. Đường 
 thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P.
 1. Chứng minh tam giác QBI cân;
 2. Chứng minh BP.BI BE.BQ ;
 3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh 
 PK / /JB .
 Lời giải
 P
 A
 D
 J
 I
 O
 K
 B
 C
 H
 E
 Q
 1. Ta có AI là phân giác của B· AC nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O).
 Suy ra B· AQ Q· AC Q· BC
 I·BQ I·BC Q· BC I·BA B· AQ B· IQ
 Hay tam giác QBI cân tại Q.
 2. Tam giác ABD đồng dạng tam giác ACB
 AB AD
 Suy ra hay AB2 AD.AC (1).
 AC AB
  Trang 5  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC (có góc A chung và ·AID ·ACE )
 AD AI
 Suy ra hay AI.AE AD.AC (2).
 AE AC
 Từ (1) và (2) suy ra AI.AE AB2 , 
 suy ra tam giác ABI đồng dạng tam giác AEB.
 ·ABC
 Suy ra ·AEB ·ABI 
 2
 B· AC
 Ta có ·AEP B· AE (hai góc so le trong), 
 2
 ·ABC B· AC
 suy ra B· EP .
 2
 B· AC ·ABC
 Theo a) ta có B· IQ suy ra B· IQ B· EP
 2
 Ta có B· PE ·ABD ·ACB B· QI
 BP BE
 Suy ra hai tam giác PBE và QBI đồng dạng, suy ra BP.BI BE.BQ , ta có 
 BQ BI
 điều phải chứng minh.
 3. Tam giác BQI đồng dạng tam giác BPE và tam giác BQI cân tại Q nên tam giác PBE 
 B· AC ·ABC
 cân tại P, suy ra P· BE và PH  BE với H là trung điểm của BE.
 2
 Do HK là đường trung bình của tam giác EBJ nên HK//BJ
 ·ACB B· AC ·ABC
 Ta có J· BD và D· BE , suy ra J· BE 90o hay JB vuông góc BE.
 2 2
 Suy ra PH//JB, suy ra P, H, K thẳng hàng hay PK//JB.
Câu 5.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 
 Cho hình bình hành ABCD có Aˆ900 .Dựng các tam giác vuông cân tại A là BAM và 
 DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng 
 minh rằng AC vuông góc với MN.
 Lời giải
  Trang 6  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 N
 B
 C
 H
 A D
 M
 Gọi H là giao điểm của MN và AC .
 NAˆD BAˆM 2v
 Ta có : NAˆB BAˆD BAˆD DAˆM 2v
 NAˆM BAˆD 2v
 Mặt khác : AB / /CD BAˆD ABˆC 2v
 Do đó : NAˆM ABˆC( 2v BAˆD)
 Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có :
 AM=AB
 AN= BC
 NAˆM ABˆC (cmt)
 Do đó hai tam giác bằng nhau
 Suy ra : BAˆC AMˆN (Hai góc tương ứng).
 Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900.
 Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm).
Câu 6.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2015-2016) 
 Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của (O) cắt 
 CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điểm của CN 
 ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM 
 và đường thẳng qua C song song với AB. Chứng minh rằng :
 a). AB.CZ = AC.BX. b) MAˆB NAˆC .
  Trang 7  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 Lời giải
 Y
 A T
 M
 O
 N
 G
 B
 C
 X
 Z
Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có :
Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung)
Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX).
Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g).
 BZ CZ BC
=> .
 AC BC AB
 AB BC
 AC BZ
=> AB.CZ=BC.BC (1)
Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g)
 AB BC AC
 CX BX CB
 BC AC
 BX CB
AC.BX=BC.CB (2)
Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2).
  Trang 8  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
Câu 7.(Đề thi HSG tỉnh Phú Yên 2013-2014) 
 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu 
 của H trên AB và AC. Chứng minh:
 a) DE2=BH.HC
 b) AH3=BC.BD.CE
 Â a
 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin 
 2 b c
 Lời giải
 A
 E
 D
 B H C
 1) 
 a) Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH  AB, HE  AC
 Tứ giácADHE có D· AE =90 0, ·ADH =90 0, ·AEH =90 0
 Tứ giácADHE là hình chữ nhật
 AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC
 b) Ta có AH2=BH.HC AH3=BH.HC.AH 
 AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC
 AH3=BC.BD.CE
 2) 
 A
 I
 C
 B
 D
 Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC
 BD DC BD DC BD DC CB a
 Ta có = 
 AB AC AB AC AB AC AB AC b c
 Vẽ BI  AD BI BD
  Trang 9  TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019
 Â BI Â BD Â a
 Ta có sin sin . Vậy sin 
 2 AB 2 AB AC 2 b c
Câu 8.(Đề thi HSG tỉnh Cam Lộ 2008-2009) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia 
 HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E.
 a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
 b)Chứng minh tam giác ABE cân.
 c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. 
 GB HD
 Chứng minh rằng: 
 BC AH HC
 Lời giải
 a) Tam giác ADC và tam giác BEC:
 CD CA
 ( vì hai tam giác CDE và CAB đồng dạng) 
 CE CB
 Góc C: chung 
 Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 
 b) Theo câu ta suy ra: BEC ADC
 có: ADC EDC ADE 1350
 Suy ra: BEC 1350 
 Suy ra: AEB 450 
 Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45 0 ) 
 c) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
 GB AB AB ED AH HD
 Suy ra: , mà ABC : DEC ED / / AH 
 GC AC AC DC HC HC
 GB HD GB HD GB HD
 Do đó: 
 GC HC GB GC HD HC BC AH HC
  Trang 10 