Đề cương ôn tập môn Số học Lớp 6

PHẦN SỐ HỌC
CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT.
 (8 Tiết)
PhÇn I: Tãm t¾t lý thuyÕt
I. §Þnh nghÜa phÐp chia
	Cho 2 sè nguyªn a vµ b trong ®ã b ¹ 0 ta lu«n t×m ®­îc hai sè nguyªn q vµ r duy nhÊt sao cho:
a = bq + r Víi 0 £ r £ | b|
Trong ®ã: a lµ sè bÞ chia, b lµ sè chia, q lµ th­¬ng, r lµ sè d­.
Khi a chia cho b cã thÓ xÈy ra | b| sè d­
	r Î {0; 1; 2; ; | b|}
§Æc biÖt: r = 0 th× a = bq, khi ®ã ta nãi a chia hÕt cho b hay b chia hÕt a.
	Ký hiÖu: aMb hay b\ a
 VËy:
a M b Û Cã sè nguyªn q sao cho a = bq
II. C¸c tÝnh chÊt
Víi " a ¹ 0 Þ a M a
NÕu a M b vµ b M c Þ a M c
Víi " a ¹ 0 Þ 0 M a
NÕu a, b > 0 vµ a M b ; b M a Þ a = b
NÕu a M b vµ c bÊt kú Þ ac M b
NÕu a M b Þ (±a) M (±b)
Víi " a Þ a M (±1)
NÕu a M b vµ c M b Þ a ± c M b
NÕu a M b vµ cMb Þ a ± c M b
 NÕu a + b M c vµ a M c Þ b M c
 NÕu a M b vµ n > 0 Þ an M bn
 NÕu ac M b vµ (a, b) =1 Þ c M b
 NÕu a M b, c M b vµ m, n bÊt kú am + cn M b
 NÕu a M b vµ c M d Þ ac M bd
 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n!
III. Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt
	Gäi N = 
1. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N M 2 Û a0 M 2 Û a0Î{0; 2; 4; 6; 8}
+ N M 5 Û a0 M 5 Û a0Î{0; 5}
+ N M 4 (hoÆc 25) Û M 4 (hoÆc 25)
+ N M 8 (hoÆc 125) Û M 8 (hoÆc 125)
2. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 vµ 9
+ N M 3 (hoÆc 9) Û a0+a1+ +an M 3 (hoÆc 9)
3. Mét sè dÊu hiÖu kh¸c
+ N M 11 Û [(a0+a1+ ) - (a1+a3+ )] M 11
+ N M 101 Û [(++ ) - (++ )]M101
+ N M 7 (hoÆc 13) Û [( + + ) - [( + + ) M11 (hoÆc 13)
+ N M 37 Û ( + + ) M 37 
+ N M 19 Û ( a0+2an-1+22an-2+ + 2na0) M 19
IV. §ång d­ thøc
a. §Þnh nghÜa: Cho m lµ sè nguyªn d­¬ng. NÕu hai sè nguyªn a vµ b cho cïng sè d­ khi chia cho m th× ta nãi a ®ång d­ víi b theo modun m.
	Ký hiÖu: a º b (modun)
	VËy: a º b (modun) Û a - b M m
b. C¸c tÝnh chÊt
Víi " a Þ a º a (modun)
NÕu a º b (modun) Þ b º a (modun)
NÕu a º b (modun), b º c (modun) Þ a º c (modun)
NÕu a º b (modun) vµ c º d (modun) Þ a+c º b+d (modun)
NÕu a º b (modun) vµ c º d (modun) Þ ac º bd (modun)
NÕu a º b (modun), d Î Uc (a, b) vµ (d, m) =1 
 Þ (modun)
NÕu a º b (modun), d > 0 vµ d Î Uc (a, b, m) 
 Þ (modun )
V. Mét sè ®Þnh lý
1. §Þnh lý Euler
	NÕu m lµ 1 sè nguyªn d­¬ng j(m) lµ sè c¸c sè nguyªn d­¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng nhau víi m, (a, m) = 1
	Th× aj(m) º 1 (modun)
C«ng thøc tÝnh j(m)
	Ph©n tÝch m ra thõa sè nguyªn tè
	m = p1a1 p2a2 pkak víi pi Î p; ai Î N*
Th× j(m) = m(1 - )(1 - ) (1 - )
2. §Þnh lý Fermat
	NÕu t lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 º 1 (modp)
3. §Þnh lý Wilson
	NÕu p lµ sè nguyªn tè th×
( P - 1)! + 1 º 0 (modp)
phÇn II: c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n chia hÕt
1. Ph­¬ng ph¸p 1: Sö dông dÊu hiÖu chia hÕt
VÝ dô 1: T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho M 45
Gi¶i
	Ta thÊy 45 = 5.9 mµ (5 ; 9) = 1 
®Ó M 45 Û M 5 vµ 9
	XÐt M 5 Û b Î {0 ; 5}
	NÕu b = 0 ta cã sè M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 11 M 9 
 Þ a = 7
	NÕu b = 5 ta cã sè M 9 Û a + 5 + 6 + 0 M 9
 Þ a + 16 M 9 
 Þ a = 2
VËy: a = 7 vµ b = 0 ta cã sè 7560
	a = 2 vµ b = 5 ta cã sè 2560
VÝ dô 2: BiÕt tæng c¸c ch÷ sè cña 1 sè lµ kh«ng ®æi khi nh©n sè ®ã víi 5. Chøng minh r¨ng sè ®ã chia hÕt cho 9.
Gi¶i
	Gäi sè ®· cho lµ a
Ta cã: a vµ 5a khi chia cho 9 cïng cã 1 sè d­ 
Þ 5a - a M 9 Þ 4a M 9 mµ (4 ; 9) = 1
Þ a M 9 (§pcm)
VÝ dô 3: CMR sè M 81
Gi¶i
Ta thÊy: 111111111 M 9
Cã = 111111111(1072 + 1063 + + 109 + 1)
Mµ tæng 1072 + 1063 + + 109 + 1 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 9 M 9
Þ 1072 + 1063 + + 109 + 1 M 9 
VËy: M 81 (§pcm)
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y sao cho 
a. M 4 vµ 9
b. M 17
Bµi 2: Cho sè N = CMR
	a. N M 4 Û (a + 2b) M 4
	b. N M 16 Û (a + 2b + 4c + 8d) M 16 víi b ch½n
	c. N M 29 Û (d + 2c + 9b + 27a) M 29
Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 2 ch÷ sè sao cho mçi sè gÊp 2 lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña sè ®ã.
Bµi 4: ViÕt liªn tiÕp tÊt c¶ c¸c sè cã 2 ch÷ sè tõ 19 ®Õn 80 ta ®­îc sè A = 192021 7980. Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? V× sao?
Bµi 5: Tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 kh«ng? V× sao?
Bµi 6: Chøng tá r»ng sè lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: 	a. x = 	vµ y = 2
	 	 x =	vµ y = 6
	b. = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)M17 Û x = 2
Bµi 2: 	a. NM4 Û M4 Û 10b + aM4 Û 8b + (2b + a) M4
 Þ a + 2bM4
	b. NM16 Û 1000d + 100c + 10b + aM16
 	 Û (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) M16
	 Þ a + 2b + 4c + 8dM16 víi b ch½n
	c. Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - M29
 mµ (1000, 29) =1
 M29
 Þ (d + 3c + 9b + 27a) M29
Bµi 3: Gäi lµ sè cã 2 ch÷ sè
 Theo bµi ra ta cã:
= 10a + b = 2ab (1)
 M2 Þ b Î{0; 2; 4; 6; 8} 
 thay vµo (1) a = 3; b = 6
Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11 
	V× 2 ch÷ sè tËn cïng cña a lµ 80 M 4 vµ 5
	Þ AM 4 vµ 5
Tæng c¸c sè hµng lÎ 1+(2+3+ +7).10+8 = 279
Tæng c¸c sè hµng ch½n 9+(0+1+ +9).6+0 = 279
Cã 279 + 279 = 558 M 9 Þ A M 9
 279 - 279 = 0 M 11 Þ A M 11
Bµi 5: Tæng 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ 1 sè lÎ nªn kh«ng chia hÕt cho 2. 
Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp Þ cã 23 cÆp sè mçi cÆp cã tæng lµ 1 sè lÎ Þ tæng 23 cÆp kh«ng chia hÕt cho 2. VËy tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 46.
Bµi 6: Cã =
Mµ = 3. 
Þ = (§pcm)
2. Ph­¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt
* Chó ý: Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã 1 vµ chØ 1 sè chia hÕt cho n.
CMR: Gäi n lµ sè nguyªn liªn tiÕp
	m + 1; m + 2; m + n víi m Î Z, n Î N*
LÊy n sè nguyªn liªn tiÕp trªn chia cho n th× ta ®­îc tËp hîp sè d­ lµ: {0; 1; 2; n - 1}
* NÕu tån t¹i 1 sè d­ lµ 0: gi¶ sö m + i = nqi ; i = 
	Þ m + i M n
* NÕu kh«ng tån t¹i sè d­ lµ 0 Þ kh«ng cã sè nguyªn nµo trong d·y chia hÕt cho n Þ ph¶i cã Ýt nhÊt 2 sè d­ trïng nhau.
Gi¶ sö: 
	 Þ i - j = n(qi - qj) M n Þ i - j M n
mµ ½i - j½< n Þ i - j = 0 Þ i = j
	 Þ m + i = m + j
VËy trong n sè ®ã cã 1 sè vµ chØ 1 sè ®ã chia hÕt cho n 
VÝ dô 1: CMR: a. TÝch cña 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2
 	 b. TÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6.
Gi¶i
a. Trong 2 sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng cã 1 sè ch½n
Þ Sè ch½n ®ã chia hÕt cho 2.
VËy tÝch cña 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2.
TÝch 2 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2 nªn tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 2
b. Trong 3 s« nguyªn liªn tiÕp bao gi¬ còng cã 1 sè chia hÕt cho 3.
Þ TÝch 3 sè ®ã chia hÕt cho 3 mµ (1; 3) = 1.
VËy tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 6.
VÝ dô 2: CMR: Tæng lËp ph­¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 9.
Gi¶i
Gäi 3 sè nguyªn liªn tiÕp lÇn l­ît lµ: n - 1 , n , n+1
Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) M 3 (CM VÝ dô 1)
Þ 3(n - 1)n (n + 1) M 9
mµ 
Þ A M 9 (§PCM)
VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 3 84 víi " n ch½n, n³4
Gi¶i
V× n ch½n, n³4 ta ®Æt n = 2k, k³2
Ta cã n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
 = ®Æt 16k(k3 - 2k2 - k + 2)
 = ®Æt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Víi k ³ 2 nªn k - 2, k - 1, k + 1, k lµ 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn trong 4 sè ®ã cã 1 sè chia hÕt cho 2 vµ 1 sè chia hÕt cho 4. Þ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k M 8
Mµ (k - 2) (k - 1)k M 3 ; (3,8)=1
Þ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k M 24
Þ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k M (16,24)
VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 384 víi " n ch½n, n ³ 4
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) M 6
	b. n5 - 5n3 + 4n M 120 Víi " n Î N
Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 Víi " n Î Z
Bµi 3: CMR: Víi " n lÎ th×
n2 + 4n + 3 M 8
n3 + 3n2 - n - 3 M 48
n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bµi 4: Víi p lµ sè nguyªn tè p > 3 CMR : p2 - 1 M 24
Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 1 sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 27.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) M 6
b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) M 120
Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2
	= n(n3 + 6n2 + 6 + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) M 24
Bµi 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) M 8
b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k Î N)
= 8k(k + 1) (k +2) M 48
c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)
= (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1) 
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)
= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Víi n = 2k + 1 Þ n2 + 1 vµ n4 + 1 lµ nh÷ng sè ch½n Þ (n2 + 1)2 M 2
 n4 + 1 M 2
Þ n12 - n8 - n4 + 1 M (24.22. 22. 1 . 21)
VËy n12 - n8 - n4 + 1 M 512
Bµi 4: Cã p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) v× p lµ sè nguyªn tè p > 3
Þ p M 3 ta cã: (p - 1) (p + 1) M 8
vµ p = 3k + 1 hoÆc p = 3k + 2 (k Î N)
Þ (p - 1) (p + 1) M 3
VËy p2 - 1 M 24
Bµi 5: Gi¶ sö 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ 
n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1)
trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; ; n + 999 
cã 1 sè chia hÕt cho 1000 gi¶ sö n0, khi ®ã n0 cã tËn cïng lµ 3 ch÷ sè 0 gi¶ sö tæng c¸c ch÷ sè cña n0 lµ s khi ®ã 27 sè n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; ; n0 + 99; n0 + 199; n0 + 899 (2)
Cã tæng c¸c ch÷ sè lÇn l­ît lµ: s; s + 1 ; s + 26
Cã 1 sè chia hÕt cho 27 (§PCM)
* Chó ý: n + 899 £ n + 999 + 899 < n + 1989
Þ C¸c sè ë (2) n»m trong d·y (1)
3. Ph­¬ng ph¸p 3: xÐt tËp hîp sè d­ trong phÐp chia
VÝ dô 1: CMR: Víi " n Î N
Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho 6
Gi¶i
Ta thÊy 1 trong 2 thõa sè n vµ 7n + 1 lµ sè ch½n. Víi " n Î N Þ A(n) M 2
Ta chøng minh A(n) M 3
LÊy n chia cho 3 ta ®­îc n = 3k + 1 (k Î N)
Víi r Î {0; 1; 2}
Víi r = 0 Þ n = 3k Þ n M 3 Þ A(n) M 3
Víi r = 1 Þ n = 3k + 1 Þ 2n + 7 = 6k + 9 M 3 Þ A(n) M 3 
Víi r = 2 Þ n = 3k + 2 Þ 7n + 1 = 21k + 15 M 3 Þ A(n) M 3
Þ A(n) M 3 víi " n mµ (2, 3) = 1
VËy A(n) M 6 víi " n Î N
VÝ dô 2: CMR: NÕu n M 3 th× A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Víi " n Î N
Gi¶i
V× n M 3 Þ n = 3k + r (k Î N); r Î {1; 2; 3}
Þ A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1 
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thÊy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M M 13
33k - 1 = (33 - 1)N = 26N M 13
víi r = 1 Þ 32n + 3n + 1 = 32 + 3 +1 = 13 M 13
Þ 32n + 3n + 1 M 13
víi r = 2 Þ 32n + 3n + 1 = 34 + 32 + 1 = 91 M 13
Þ 32n + 3n + 1
VËy víi n M 3 th× A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Víi " n Î N
VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n ®Ó 2n - 1 M 7
Gi¶i
LÊy n chia cho 3 ta cã n = 3k + 1 (k Î N); r Î {0; 1; 2}
Víi r = 0 Þ n = 3k ta cã 
2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M M 7
víi r =1 Þ n = 3k + 1 ta cã:
2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1
mµ 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 d­ 1
víi r = 2 Þ n = 3k + 2 ta cã :
2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 
mµ 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 d­ 3
VËy 23k - 1 M 7 Û n = 3k (k Î N)
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) M 5 Víi " n Î Z
Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + + an
 B = a51 + a52 + + a5n
Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 1 M 24 Víi " n Î Z
Bµi 4: T×m sè tù nhiªn W ®Ó 22n + 2n + 1 M 7
Bµi 5: Cho 2 sè tù nhiªn m, n ®Ó tho¶ m·n 24m4 + 1 = n2
CMR: mn M 55
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: + A(n) M 6
	+ LÊy n chia cho 5 Þ n = 5q + r r Î {0; 1; 2; 3; 4}
r = 0 Þ n M 5 Þ A(n) M 5
r = 1, 4 Þ n2 + 4 M 5 Þ A(n) M 5
r = 2; 3 Þ n2 + 1 M 5 Þ A(n) M 5
Þ A(n) M 5 Þ A(n) M 30
Bµi 2: XÐt hiÖu B - A = (a51 - a1) + + (a5n - an) 
ChØ chøng minh: a5i - ai M 30 lµ ®ñ
Bµi 3: V× (n, 6) =1 Þ n = 6k + 1 (k Î N)
Víi r Î {±1}
r = ±1Þ n2 - 1 M 24
Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k Î N) 
Víi r Î {0; 1; 2}
Ta cã: 22n + 2n + 1 = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1
Lµm t­¬ng tù VD3
Bµi 5: Cã 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1)
Khi m M 5 Þ mn M 5
Khi m M 5 th× (m, 5) = 1 Þ m4 - 1 M 5
(V× m5 - m M 5 Þ (m4 - 1) M 5 Þ m4 - 1 M 5)
Þ n2 M 5 Þ ni5
VËy mn M 5
4. Ph­¬ng ph¸p 4: sö dông ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö
Gi¶ sö chøng minh an M k
Ta cã thÓ ph©n tÝch an chøa thõa sè k hoÆc ph©n tÝch thµnh c¸c thõa sè mµ c¸c thõa sè ®ã chia hÕt cho c¸c thõa sè cña k.
VÝ dô 1: CMR: 36n - 26n M 35 Víi " n Î N
Gi¶i
Ta cã 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M
= (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M M 35 VËy 36n - 26n M 35 Víi " n Î N
VÝ dô 2: CMR: Víi " n lµ sè tù nhiªn ch¨n th× biÓu thøc
 A = 20n + 16n - 3n - 1 M 232
Gi¶i
Ta thÊy 232 = 17.19 mµ (17;19) = 1 ta chøng minh
A M 17 vµ A M 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M M 17M
16n - 1 = (16 + 1)M = 17N M 17 (n ch½n)
Þ A M 17 (1)
ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) 
cã 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p M 19 
cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q M 19 (n ch½n)
Þ A M 19 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ A M 232
VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - 1 M (n - 1)2 Víi " n >1
Gi¶i
Víi n = 2 Þ nn - n2 + n - 1 = 1 
vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
Þ nn - n2 + n - 1M (n - 1)2
víi n > 2 ®Æt A = nn - n2 + n - 1 ta cã A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + + 1) + (n - 1)
= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + + n2 +1) 
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M M (n - 1)2
VËy A M (n - 1)2 (§PCM)
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 M 7
	 b. mn(m4 - n4) M 30
Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 M 72 víi n ch½n n Î N, n ³ 2
Bµi 3: Cho a vµ b lµ 2 sè chÝnh ph­¬ng lÎ liªn tiÕp
CMR: a. (a - 1) (b - 1) M 192
Bµi 4: CMR: Víi p lµ 1 sè nguyªn tè p > 5 th× p4 - 1 M 240
Bµi 5: Cho 3 sè nguyªn d­¬ng a, b, c vµ tho¶ m·n a2 = b2 + c2
CMR: abc M 60
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n 
= 7M + 7.2n M 7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) M 30
Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = 1 vµ n = 2k (k Î N) 
cã 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 Þ A(n) M 8
Bµi 4: §Æt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k Î N) 
Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) M 64 vµ 3
Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 	§Æt M = abc
NÕu a, b, c ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 Þ a2, b2 vµ c2 chia hÕt cho 3 ®Òu d­ 1 Þ a2 ¹ b2 + c2. Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 3. VËy M M 3
NÕu a, b, c ®Òu kh«ng chia hÕt cho 5 Þ a2, b2 vµ c2 chia 5 d­ 1 hoÆc 4 Þ b2 + c2 chia 5 th× d­ 2; 0 hoÆc 3.
Þ a2 ¹ b2 + c2. Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 5. VËy M M 5
NÕu a, b, c lµ c¸c sè lÎ Þ b2 vµ c2 chia hÕt cho 4 d­ 1.
Þ b2 + c2 º (mod 4) Þ a2 ¹ b2 + c2
Do ®ã 1 trong 2 sè a, b ph¶i lµ sè ch½n.
Gi¶ sö b lµ sè ch½n
	NÕu C lµ sè ch½n Þ M M 4
	NÕu C lµ sè lÎ mµ a2 = b2 + c2 Þ a lµ sè lÎ 
Þ b2 = (a - c) (a + b) Þ 
Þ ch½n Þ b M 4 Þ m M 4
VËy M = abc M 3.4.5 = 60
5. Ph­¬ng ph¸p 5: biÕn ®æi biÓu thøc cÇn chøng minh vÒ d¹ng tæng
Gi¶ sö chøng minh A(n) M k ta biÕn ®æi A(n) vÒ d¹ng tæng cña nhiÒu h¹ng tö vµ chøng minh mäi h¹ng tö ®Òu chia hÕt cho k.
VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n M 6 víi " n Î z.
Gi¶i
Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
	 = n(n + 1) (n - 1) + 12n
V× n, n - 1; n + 1 lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp
Þ n(n + 1) (n - 1) M 6 vµ 12n M 6
VËy n3 + 11n M 6
VÝ dô 2: Cho a, b Î z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) M 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) M 121
Gi¶i
Cã 11 sè nguyªn tè mµ (16a +17b) (17a +16b) M 11
Þ (1)
Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) M 11 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ 
VËy (16a +17b) (17a +16b) M 121
VÝ dô 3: T×m n Î N sao cho P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
Gi¶i
Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
	= 12n + n2 - n + 30
V× 12n M 6n nªn ®Ó P M 6n Û n2 - n + 30 M 6n
Û 
Tõ (1) Þ n = 3k hoÆc n = 3k + 1 (k Î N) 
Tõ (2) Þ n Î {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
VËy tõ (1); (2) Þ n Î {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay c¸c gi¸ trÞ cña n vµo P ta cã 
n Î {1; 3; 10; 30} lµ tho¶ m·n
VËy n Î {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 M 23
Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 M 24
Bµi 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 M 59
	b. 9 2n + 14 M 5
Bµi 4: T×m n Î N sao cho n3 - 8n2 + 2n M n2 + 1
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53)
	= 8m + 8N M 23
Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thÊy n vµ 3n + 5 kh«ng ®ång thêi cïng ch½n hoÆc cïng lÎ 
Þ n(3n + 5) M 2 Þ §PCM
Bµi 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 
	= 5n(25 + 26) + 8 2n+1 
	= 5n(59 - 8) + 8.64 n
	= 5n.59 + 8.59m M 59
b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15
	= (81n - 1) + 15
	= 80m + 15 M 5
Bµi 4: Cã n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 M (n2 + 1) Û n + 8 M n2 + 1
NÕu n + 8 = 0 Þ n = -8 (tho¶ m·n)
NÕu n + 8 ¹ 0 Þ ½n + 8½³ n2 + 1
Þ 
Þ n Î {-2; 0; 2} thö l¹i
VËy n Î {-8; 0; 2}
6. Ph­¬ng ph¸p 6: Dïng quy n¹p to¸n häc
Gi¶ sö CM A(n) M P víi n ³ a (1)
B­íc 1: Ta CM (1) ®óng víi n = a tøc lµ CM A(n) M P
B­íc 2: Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k tøc lµ CM A(k) M P víi k ³ a
Ta CM (1) ®óng víi n = k + 1 tøc lµ ph¶i CM A(k+1) M P
B­íc 3: KÕt luËn A(n) M P víi n ³ a
VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 1 M 225 víi " n Î N*
Gi¶i
Víi n = 1 Þ A(n) = 225 M 225 vËy n = 1 ®óng
Gi¶ sö n = k ³ 1 nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 1 M 225
Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 M 225
ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1
	= 16.16k - 15k - 16
	= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
	= 16k - 15k - 1 + 15.15m
	= A(k) + 225
mµ A(k) M 225 (gi¶ thiÕt quy n¹p) 
225mM 225
VËy A(n) M 225
VÝ dô 2: CMR: víi " n Î N* vµ n lµ sè tù nhiªn lÎ ta cã 
Gi¶i
Víi n = 1 Þ m2 - 1 = (m + 1)(m - 1) M 8 (v× m + 1; m - 1 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch cña chóng chia hÕt cho 8)
Gi¶ sö víi n = k ta cã ta ph¶i chøng minh
ThËt vËy Þ 
Þ 
cã 
	= 
VËy víi " n ³ 1
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 M 29 víi " n ³ 1
Bµi 2: CMR: 42n+2 - 1 M 15
Bµi 3: CMR sè ®­îc thµnh lËp bëi 3n ch÷ sè gièng nhau th× chia hÕt cho 3n víi n lµ sè nguyªn d­¬ng.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: T­¬ng tù vÝ dô 1.
Bµi 2: T­¬ng tù vÝ dô 1.
Bµi 3: Ta cÇn CM M 3n (1)
Víi n = 1 ta cã 
Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k tøc lµ M 3k
Ta chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1 tøc lµ ph¶i chøng minh
M 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k
Cã 
7. Ph­¬ng ph¸p 7: sö dông ®ång d­ thøc 
Gi¶i bµi to¸n dùa vµo ®ång d­ thøc chñ yÕu lµ sö dông ®Þnh lý Euler vµ ®Þnh lý Fermat
VÝ dô 1: CMR: 22225555 + 55552222 M 7
Gi¶i
Cã 2222 º - 4 (mod 7) Þ 22225555 + 55552222 º (- 4)5555 + 45555 (mod 7)
L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 
= - 42222 (43333 - 1) = 
	V× 43 = 64 º (mod 7) (mod 7)
Þ 22225555 + 55552222 º 0 (mod 7)
VËy 22225555 + 55552222 M 7
VÝ dô 2: CMR: víi " n Î N
Gi¶i
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 
310 º 1 (mod 11)
210 º 1 (mod 11)
Ta t×m d­ trong phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10
	Cã 24n+1 = 2.16n º 2 (mod 10)
Þ 24n+1 = 10q + 2 (q Î N)
	Cã 34n+1 = 3.81n º 3 (mod 10)
Þ 34n+1 = 10k + 3 (k Î N)
Ta cã: 
= 32.310q + 23.210k + 5
º 1+0+1 (mod 2)
	º 0 (mod 2) 
mµ (2, 11) = 1
VËy víi " n Î N
VÝ dô 3: CMR: víi n Î N
Gi¶i
Ta cã: 24 º 6 (mod) Þ 24n+1 º 2 (mod 10)
Þ 24n+1 = 10q + 2 (q Î N)
Þ 
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 210 º 1 (mod 11)
Þ 210q º 1 (mod 11)
	º 4+7 (mod 11) º 0 (mod 11) 
VËy víi n Î N (§PCM)
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR víi n Î N
Bµi 2: CMR víi " n ³ 1 ta cã
52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 M 38
Bµi 3: Cho sè p > 3, p Î (P)
CMR 3p - 2p - 1 M 42p
Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyªn tè p ®Òu cã d¹ng
	2n - n (n Î N) chia hÕt cho p.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: Lµm t­¬ng tù nh­ VD3
Bµi 2: Ta thÊy 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 M 2
MÆt kh¸c 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 9. 6n-1)
V× 25 º 6 (mod 19) Þ 5n-1 º 6n-1 (mod 19)
Þ 25n-1.10 + 9. 6n-1 º 6n-1.19 (mod 19) º 0 (mod 19)
Bµi 3: §Æt A = 3p - 2p - 1 (p lÎ)
	DÔ dµng CM A M 2 vµ A M 3 Þ A M 6
NÕu p = 7 Þ A = 37 - 27 - 1 M 49 Þ A M 7p
NÕu p ¹ 7 Þ (p, 7) = 1
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã:
	A = (3p - 3) - (2p - 2) M p
§Æt p = 3q + r (q Î N; r = 1, 2)
Þ A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2)
= 3r.27q - 2r.8q - 1 = 7k + 3r(-1)q - 2r - 1 (k Î N)
víi r = 1, q ph¶i ch½n (v× p lÎ)
Þ A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14
VËy A M 7 mµ A M p, (p, 7) = 1 Þ A M 7p
Mµ (7, 6) = 1; A M 6
Þ A M 42p.
Bµi 4: NÕu P = 2 Þ 22 - 2 = 2 M 2
NÕu n > 2 Theo ®Þnh lý Fermat ta cã:
2p-1 º 1 (mod p)
Þ 2m(p-1) º 1 (mod p) (m Î N)
XÐt A = 2m(p-1) + m - mp
A M p Þ m = kq - 1
Nh­ vËy nÕu p > 2 Þ p cã d¹ng 2n - n trong ®ã
N = (kp - 1)(p - 1), k Î N ®Òu chia hÕt cho p
8. Ph­¬ng ph¸p 8: sö dông nguyªn lý §irichlet
	NÕu ®em n + 1 con thá nhèt vµo n lång th× cã Ýt nhÊt 1 lång chøa tõ 2 con trë lªn.
VÝ dô 1: CMR: Trong n + 1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n.
Gi¶i
LÊy n + 1 sè nguyªn ®· cho chia cho n th× ®­îc n + 1 sè d­ nhËn 1 trong c¸c sè sau: 0; 1; 2; ; n - 1
Þ cã Ýt nhÊt 2 sè d­ cã cïng sè d­ khi chia cho n.
Gi¶ sö ai = nq1 + r 	0 £ r < n
aj = nq2 + r	a1; q2 Î N
Þ aj - aj = n(q1 - q2) M n
VËy trong n +1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n.
NÕu kh«ng cã 1 tæng nµo trong c¸c tæng trªn chia hÕt cho n nh­ vËy sè d­ khi chia mçi tæng trªn cho n ta ®­îc n sè d­ lµ 1; 2; ; n - 1
VËy theo nguyªn lý §irichlet sÏ tån t¹i Ýt nhÊt 2 tæng mµ chi cho n cã cïng sè d­ Þ (theo VD1) hiÖu cïadr tæng nµy chia hÕt cho n (§PCM).
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: Tån t¹i n Î N sao cho 17n - 1 M 25
Bµi 2: CMR: Tån t¹i 1 béi cña sè 1993 chØ chøa toµn sè 1.
Bµi 3: CMR: Víi 17 sè nguyªn bÊt kú bao giê còng tån t¹i 1 tæng 5 sè chia hÕt cho 5.
Bµi 4: Cã hay kh«ng 1 sè cã d¹ng.
	19931993 1993000 00 M 1994
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: XÐt d·y sè 17, 172, , 1725 (t­¬ng tù VD2)
Bµi 2: Ta cã 1994 sè nguyªn chøa toµn bé sè 1 lµ:
	1
	11
	111
Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d­ Þ theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d­.
Gi¶ sö ®ã lµ 
	ai = 1993q + r 	0 £ r < 1993
aj = 1993k + r	i > j; q, k Î N
Þ aj - aj = 1993(q - k) 
mµ (10j, 1993) = 1
M 1993 (§PCM)
Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyªn bÊt kú lµ 
a1, a2, , a17
Chia c¸c sè cho 5 ta ®­îc 17 sè d­ ¾t ph¶i cã 5 sè d­ thuéc tËp hîp{0; 1; 2; 3; 4}
NÕu trong 17 sè trªn cã 5 sè khi chia cho 5 cã cïng sè d­ th× tæng cña chóng sÏ chia hÕt cho 5.
NÕu trong 17 sè trªn kh«ng cã sè nµo cã cïng sè d­ khi chia cho 5 Þ tån t¹i 5 sè cã sè d­ kh¸c nhau Þ tæng c¸c sè d­ lµ: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 M 10
VËy tæng cña 5 sè nµy chia hÕt cho 5.
Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, 
a1994 = 
®em chia cho 1994 Þ cã 1994 sè d­ thuéc tËp {1; 2; ; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè h¹ng cã cïng sè d­.
Gi¶ sö: ai = 1993 1993 (i sè 1993)
aj = 1993 1993 (j sè 1993)
Þ aj - aj M 1994 	1 £ i < j £ 1994
Þ 
Chuyên đề 2
SỐ CHÍNH PHƯƠNG(6 Tiết)
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích mét sè chÝnh ph­¬ng ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.Ch¼ng h¹n:3600 = 602=243252.Tõ ®ã suy ra: Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
TQ: Sè chÝnh ph­¬ng N chia hÕt cho p2k+1 th× N chia hÕt cho p2k+2(p P,k N)
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).(chia cho 3 d­ 0 hoÆc d­ 1)
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).(chia 4 d­ 0 hoÆc d­ 1)
 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Soá chính phöông leû chia cho 4 hoaëc chia cho 8 ñeàu dö 1
+ Giöõa hai soá chính phöông lieân tieáp khoâng coù soá chính phöông naøo. n2 < x2 < (n +1)2 Khoâng toàn taïi x Z . n2 < x2 < (n +2)2 .suy ra x2 = (n + 1)2.
+ Neáu hai soá nguyeân lieân tieáp coù tích laø moät soá chính phöông thì moät trong hai soá ñoù laø soá 0.
3.Nhaän bieát moät soá chính phöông.
a)Ñeå chöùng minh N la ømoät soá chính phöông ta coù theå :
-Bieán ñoåi N thaønh bình phöông cuûa moät soá töï nhieân (hoaëc soá nguyeân)
-Vaän duïng tính chaát: Neáu hai soá töï nhieân a vaø b nguyeân toá cuøng nhau coù tích laø moät soá chính phöông thì moãi soá a,b cuõng laø moät soá chính phöông.
b) Ñeå chöùng minh N khoâng phaûi laø soá chính phöông ta coù theå :
-Chöùng minh N coù chöõ soá taän cuøng laø 2,3,7,8 hoaëc coù moät soá leû chöõ soá 0 taän cuøng.
-Chöùng minh N chöùa soá nguyeân toá vôùi soá muõ leû
-Xeùt soá dö khi chia N cho 3 hoaëc cho 4 hoaëc cho 5 ,cho 8 
-Chöùng minh N naèm giöõa hai soá chính phöông lieân tieáp.
Löu yù :Khi bieán ñoåi moät soá trong ñoù coù nhieàu chöõ soá gioáng nhau thaønh moät soá chính phöông ta neân ñaët Số = a thì = 9a 9a + 1 = + 1 = 10n 
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
 Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)
S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 + + k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; 
 Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44 488 89 = 44 488..8 + 1 = 44 4 . 10n + 8 . 11 1 + 1
 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
 = 4. . 10n + 8. + 1
2
 = = 
 = 
2
Ta thấy 2.10n +1=200 01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 
 Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
 A = 11 1 + 44 4 + 1 
 2n chữ số 1 n chữ số 4
 B = 11 1 + 11 1 + 66 6 + 8
 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
 C = 44 4 + 22 2 + 88 8 + 7 
 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
2
2
2
Kết quả: A = ; B = ; C = 
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) 
c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589
Giải
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
 k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)- 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 
 n = 1
 a = 2 2n + 3 – 2a = 1 
c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
 y = 13k 4 (Với k N)
 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
 n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương.
Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a2 + a + 43 
a2 + 81
a2 + 31a + 1984 
Kết quả: a. 2; 42; 13
 b. 0; 12; 40
 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 
Bài 3: Tìm n N để các số sau là số chính phương: 
n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
(23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
n2 – n + 2 (Kết quả : 2)
n5 – n + 2 (Không có giá trị nào của n)
Bài 4: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. 
Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
 (m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
2
Bài 5: Biết x N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số 
 B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100
 a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 Ta có A = abcd = k2
 B = abcd + 1111 = m2 
 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do đó m – k == 11 m = 56 A = 2025
 m + k = 101 k = 45 B = 3136 
Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k N,