Giáo án Dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chủ đề: Bài tập tổng hợp (Phần 2)

TỔNG ÔN HÌNH LỚP 9 CHƯƠNG III
I. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1 (1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC thứ tự ở D và E
Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng
Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB và HC
Cho AB = 8 cm, AC = 19 cm. Tính diện tích tứ giác MDEN
Hướng dẫn: 
Dễ chứng minh
Vì MD = MH và OD = OH, nên OM là trung trực của HD. Suy ra OM //AB. Từ đó OM là đường trung bình của tam giác AHB. Suy ra MB = MH. Tương tự cho NC = NH
SMDEN = 2.SMON = 2.SABC = 38 (cm2)
Bài 2 (1) Đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC (D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). Chứng minh:
Góc BED = góc DAE
DE2 = DA.DB
Hướng dẫn: 
Góc BED = góc BCE + góc CBE = góc DAB + góc EAB = góc DAE
Ta có góc ADE = góc ABC = góc CAB = góc EDB. Từ đó chứng minh ∆BED đồng dạng với ∆EAD. Suy ra đpcm
Bài 3 (1) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn. Qua trung điểm B của đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với (O) (theo thứ tự ấy) Các đường thẳng PC và PD cắt (O) lần lượt ở E và F. Chứng minh
Góc DCE = góc DPE + góc CAF
AB2 = BC. BD
AP // EF
Hướng dẫn: 
2(Góc DPE + góc CAF) = Sđ cung ED – Sđ cung CF + Sđ cung CF = 2.Góc DCE (đpcm)
Chứng minh tam giác BAC đồng dạng với tam giác BDA. Suy ra đpcm
Từ kết quả câu b) ta chứng minh được tam giác BPC đồng dạng với tam giác BDP (c. g. c). suy ra góc BPC = góc BDP = góc PEF. Suy ra đpcm
II- TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Bài 1 (2). Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Tia BO cắt (O) tại M, gọi I là giao của BM và DE, K là giao của AC và HM
Chứng minh các tứ giác AEDC và CMID nội tiếp
Chứng minh OK vuông góc với AC
Cho góc AOK = 600. Chứng minh tam giác HBO cân
K
H
I
O
A
B
M
D
C
E
. 
Hướng dẫn: 
Góc IDB = góc IMC (cùng = góc BAC), suy ra tứ giác CMID nội tiếp
Hãy chứng minh tứ giác AMCH là hình bình hành. Suy ra OK vuông góc với AC
Theo giả thiết 2OK = OA = OB. Mà OK là đường trung bình của tam giác MBH, nên 2OK = BH. Suy ra đpcm
Bài 2 (2) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn gần B hơn, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt hai đường tròn (O1) và (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và DF cắt nhau ở I. Chứng minh:
∆IEF = ∆AEF 
IA vuông góc với CD
Tứ giác IEBF nội tiếp
Đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF
Hướng dẫn: 
Chứng minh ∆IEF = ∆AEF (g.c.g), 
Từ a) suy ra IE = AE. Tam giác IEA cân tại E có EF là phân giác góc IEA nên cũng đồng thời là đường cao. Suy ra đpcm
Góc IEB + góc IFB = Góc BAC + góc BAD = 1800. từ đó suy ra đpcm
Gọi J là giao điểm của AB và EF. Hãy chứng minh JE2 = JB.JA và JF2 = JB.JA, để suy ra đpcm
B
A
C
F
D
E
I
J
Bài 3 (2) Từ điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là các tiếp điểm), và một cát tuyến MCD (theo thứ tự ấy). Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI
Chứng minh R2 = OE.OM = OI.OK
Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn
Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh góc DEC = 2.góc DBC
M
B
O
K
C
I
A
F
E
D
Hướng dẫn: 
Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuông OAM, kết hợp xét hai tam giác đồng dạng MIO và KEO (g.g), suy ra đpcm
Vì các góc MAO, MBO, MIO cùng bằng 900. Suy ra đpcm
Chứng minh được ME.MO = MC.MD (= MA2), suy ra hai tam giác MEC và MDO đồng dạng (c.g.c), nên góc MEC = góc MDO. Suy ra tứ giác CEOD nội tiếp. Suy ra đpcm
Bài 4 (2) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q, tiếp tuyến chung với hai đường tròn gần P hơn, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là A và B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P. Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh.
 Góc QAP = góc QPD = góc QBD và bốn điểm A, Q, B, R cùng thuộc một đường tròn 
Tam giác BPR cân 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB
Q
P
R
B
D
A
Hướng dẫn: 
Vì góc QAP = góc QBD (= góc QPD) nên bốn điểm A, Q, B, R cùng thuộc một đường tròn
Ta có góc BRP = góc BQA (theo a) = góc BQP + góc AQP = góc ABP + góc BAP = góc BPR (góc ngoài của tam giác). Suy ra đpcm
Ta có góc BPR = góc ABP + góc BAP = góc PQB + góc BQR (theo a) = góc PQR, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB. Tương tự cho RB
Bài 5 (2) Cho hình vuông ABCD, điểm M thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và điểm N thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho góc MAN =450. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q.	
Chứng minh tứ giác ABMP nội tiếp
Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (A; AB) khi M và N thay đổi 
Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S1 và diện tích của tứ giác PQMN là S2. Chứng minh tỉ số không đổi khi M và N thay đổi.
Hướng dẫn: 
Góc PAM = góc PBM = 450
A
Q
P
C
D
H
M
B
N
Từ câu a suy ra góc APM = 1800 – góc ABM = 900. Tương tự góc AQN = 900. Từ đó năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn
Kẻ AH vuông góc với MN. Góc AMH = góc APQ = góc AMB. Nên ∆AMH = ∆AMB (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AH = AB. Suy ra đpcm
Tam giác APQ đồng dạng với tam giác AMN nên SAPQ: SAMN = (AP : AM)2= cos2 (450) = . Từ đó S1 = S2
Bài 6 (2) Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Đường thẳng BE cắt AC tại F
Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Chứng minh tam giác BEP đồng dạng với tam giác BCQ, và tam giác KPQ cân
Tứ giác MPNQ là hình gì? Vì sao?
Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh r2 = r12 + r22
M
D
C
B
E
K
F
A
N
P
Q
Hướng dẫn 
Vì góc BED = góc DCF (= góc BAD), suy ra đpcm
Tam giác BEP đồng dạng với tam giác BCQ (g. g). Suy ra góc BPE = góc BQC nên góc KPQ = góc KQP nên tam giác KPQ cân
Tam giác KPQ cân tại K nên phân giác góc K đồng thời là trung tuyến và đường cao của tam giác KPQ. Có nghĩa là MN là đường trung trực của đoạn PQ. Hoàn toàn tương tự PQ là đường trung trực của MN. Từ đó tứ giác MPNQ là hình thoi
Ta chứng minh được các tam giác ABC, DBA, DAC đồng dạng. Áp dụng tính chất tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng, ta suy ra đpcm
Bài 7 (2) Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PE và PF. Tia PO cắt đường tròn ở A và B (A nằm giữa P và O). Kẻ EH vuông góc với FB. Gọi I là trung điểm EH. Tia BI cắt (O) tại điểm thứ hai M (M khác B), EF cắt AB tại N. Chứng minh
NI // FB
Tứ giác MEIN nội tiếp và góc EMN = 900
Bốn điểm P, M, N, F cùng thuộc một đường tròn
AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEM
B
.
O
F
A
I
E
P
N
M
H
Hướng dẫn: 
NI là đường trung bình của tam giác EFH, suy ra đpcm
Góc EMI = góc ENI (= góc EFB), suy ra đpcm
Góc MFP = góc MBF (1). Mà góc MNP và góc MBF lần lượt phụ với hai góc bằng nhau là góc MNE và góc MIE nên góc MNP = góc MBF (2) . Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Góc MPN = góc MFE = góc MEP, suy ra đpcm
Bài 8 (2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). H là trực tâm của tam giác, M là một điểm trên cung nhỏ BC
Xác định vị trí của điểm M để tứ giác BHCM là hình bình hành
Gọi N và E lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh các tứ giác AHCE và AHBN nội tiếp và ba điểm N, H, E thẳng hàng 
Xác đinh vị trí của điểm M để độ dài đoạn NE lớn nhất
Hướng dẫn: 
Để tứ giác BHCM là hình bình hành thì BM phải vuông góc với AB. Ngược lại đúng. Vậy M đối xứng với A qua O
Giả sử AH cắt BC tại A1, CH cắt AB tại C1. Khi đó góc AHC = góc A1HC1 (1). Còn góc AEC = góc AMC = góc ABC (2). Do tứ giác A1BC1H nội tiếp nên từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCE nội tiếp. Tương tự với tứ giác AHBN. Từ các kết quả trên ta có góc AHE + góc AHN = góc ACE + góc ABN = góc ACM + góc ABM = 1800. Suy ra ba điểm N, H, E thẳng hàng
Chứng minh được tam giác ANE cân tai A (vì AN = AM = AE) và góc ở đỉnh NAE = 2. góc BAC (cố định) nên cạnh đáy NE lớn nhất khi và chỉ khi cạnh bên AN lớn nhất khi và chỉ khi AM lớn nhất khi và chỉ khi M đối xứng với A qua O
Bài 9 (2) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn tâm O đi qua B và C. Qua A vẽ các tiếp tuyến AE, AF với (O). Gọi I là trung điểm BC, N là trung điểm của EF
Chứng minh AE2 = AF2 = AB.AC
Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) ở E’. Chứng minh EE’ // AB
Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi 
Hướng dẫn: 
Dễ chứng minh
Tứ giác AOIF nội tiếp ( vì góc AFO = góc AIO = 900). Nên suy ra góc 2AIF = 2góc AOF = góc EOF = 2góc EE’F. Suy ra EE’ // AB
Gọi K là giao điểm của BC và EF. Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng sẽ chứng minh được AK.AI = AN.AO = AE2 = AB.AC, mà AI, AB, AC cố định nên AK cố đinh, suy ra điểm K cố định. Từ đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI hay tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ONKI chạy trên chạy trên đường trung trực của đoạn KI (cố định)
Bài 10 (2) Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M bên ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O (A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E
Chứng minh MC = ME
Chứng minh DE là phân giác của góc ADB
Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh năm điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh IM là phân giác của góc CID
Hướng dẫn: 
góc MEC = góc EBC + góc BCE = góc ACM + góc ECA = góc ECM. Suy ra đpcm
Theo câu a, ta suy ra ME = MD, nên góc MED = góc MDE. Tức là góc MBD + góc BDE = góc MDA + góc ADE (1). Nhưng góc MBD = góc MDA (2). Từ (1) và (2) suy ra góc BDE = góc ADE, suy ra đpcm
Dễ chứng minh
Theo câu c) tứ giác CIDM nội tiếp, lại chú ý rằng MC = MD, nên suy ra đpcm
Bài 11 (2) Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB và AC (B và C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BO cắt BC, BE thứ tự ở H và K. Gọi M là trung điểm của DE
Chứng minh năm điểm A, B, O, M, C cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh góc KDM = góc BCM
Chứng minh DH = HK
Hướng dẫn: 
Dễ chứng minh
Góc KDM = góc BCM (vì cùng bằng góc BAM)
Từ câu b), suy ra tứ giác HDCM nội tiếp. Từ đó góc HMD = góc HCD = góc BED, suy ra HM // BE (1). Lại có DM = ME (2) nên DH = HK
Bài 12 (2) Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D và E là đối xứng của M lần lượt qua AB và AC. Vẽ hình bình hành DMEI. 
Tính góc DME
Chứng minh bốn điểm D, A, E, I cùng thuộc một đường tròn 
Chứng minh AI // BC
Hướng dẫn: 
Dễ tính được góc DME = 1200
Tính được góc DAE = 1200 và góc DIE = 1200. Suy ra đpcm
Tính được góc IAC = góc IAE + góc EAC = góc IDE + góc EAC = góc DEM + góc KAM = góc HKM + góc KAM = góc HAM + góc KAM = góc BAC = 600 = góc ACB. Suy ra đpcm