Giáo án Dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương III, Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

BÀI 10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN
I. Tóm tắt lý thuyết
1.Công thức diện tích hình tròn
Diện tích S của một hình tròn bán kinh R được tính theo công thức: 
2. Công thức diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính E, cung n0 được tính theo công thức:
 hay .
(l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn).
II. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các loại lương có liên quan
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức trên và các kiến thức đã có.
Bài 1: Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):
Bán kính đường tròn (R)
Độ dài đường tròn (C)
Diện tích hình tròn (S)
Số đo của cung tròn n0
Diện tích hình quạt tròn cung n0
12cm
450
2cm
12,5cm2
40cm2
10cm2
Hướng Dẫn:
Bán kính đường tròn (R)
Độ dài 
đường tròn (C)
Diện tích
 hình tròn (S)
Số đo của cung tròn n0
Diện tích 
hình quạt tròn cung n0
1,9cm
12cm
11,3cm2
450
1,4cm2
2cm
12,6cm
12,6cm2
351,10
12,5cm2
3,6cm
22,4cm
40,7cm2
900
10,2cm2
Bài 2: Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bán kính đường tròn (R)
Độ dài đường tròn (C)
Diện tích hình tròn (S)
Số đo của cung tròn n0
Diện tích hình quạt tròn cung n0
14cm
600
4cm
15cm2
60cm2
16cm2
Hướng Dẫn:
Bán kính đường tròn (R)
Độ dài 
đường tròn (C)
Diện tích hình tròn (S)
Số đo của cung tròn n0
Diện tích 
hình quạt tròn cung n0
2,2cm
14cm
15,2cm2
600
2,6cm2
4cm
25,1cm
50,3cm2
107,40
15cm2
4,4cm
27,6cm
60cm2
94,80
16cm2
Bài 3: Cho hình vuông có cạng là 4cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).
Hướng Dẫn:
Bài 4: Cho hình vuông có cạnh là 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).
Hướng Dẫn:
	Học sinh tự làm
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OC và cung nhỏ AC khi .
Hướng Dẫn:
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tếp đường tròn (O; 6cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OC và cung nhỏ AC khi .
Hướng Dẫn:
	Học sinh tự làm
Dạng 2. Bài toán tổng hợp
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.
Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính độ dài cung nhỏ AB.
b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB.
Hướng Dẫn:
	a) ;	b) 
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lây M thuộc đoạn AB. vẻ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 2cm và CD = 4cm. Tính:
a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích đường tròn (O);
b) Độ dài cung và diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ .
Hướng Dẫn:
	a) 
b) đều 
.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính diện tích hình tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đều cạnh a.
Hướng Dẫn:
Nối AO cắt BC tại H
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên O đồng thời là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Do đó:
AH ⊥ BC và HB = HC = BC/2 = a/2
Xét tam giác vuông ABH vuông tại H có:
AH2 = AB2 - BH2 = a2 - (a/2)2 = 3a2 /4
=> AH = a/2
Do O là trọng tâm tam giác ABC nên: AO = 2/3 AH = 2/3 . a/2 = a/3
Vậy diện tích hình tròn (O) là: S = πR2 = π(a/3)2 = πa2/3 (đvdt)
Bài 2: Một hình vuông và một hình tròn có diện tích bằng nhau. Hỏi hình nào có chu vi lớn hơn?
Hướng Dẫn:
Giả sử hình vuông có cạnh a và hình tròn có bán kính R.
Vì hình vuông và hình tròn có diện tích bằng nhau nên ta có: a2 = πR2 ⇔ a = R
Mặt khác: Chu vi hình vuông là C1 = 4a = 4R
Chu vi hình tròn là C2 = 2πR
=> => C1 > C2
Vậy hình vuông có chu vi lớn hơn.
Bài 3: Cho tam giác ABC đều có tâm O, cạnh 6cm. Vẽ đường tròn (O;2cm). Tính diện tích của phần tam giác nằm ngoài hình tròn (O).
Hướng Dẫn:
Gọi diện tích phần phải tính (phần gạch sọc trên hình vẽ) là S thì: S = 3(SAMON - SQuạt tròn OMN)
Giả sử giao điểm của đường tròn (O; 2cm) với hai cạnh AB, AC lần lượt là M và N.
Nối CO cắt AB tại E => CE là đường cao của tam giác đều ABC cạnh 6cm nên: CE = 6/2 = 3 (cm)
Xét tam giác OEM vuông tại E nên:
EM2 = OM2 - OE2 = 22 - ()2 = 1 (cm)
=> EM = 1(cm) => AM = 2EM = 2cm = AN
Dễ thấy tứ giác AMON là hình thoi có OA = OC = 2 (cm) và MN = 2cm (do tam giác MON đều) nên: SAMOC = AO.MN/2 = 2 (cm2)
Diện tích hình quạt tròn OMN là: Squạt tròn OMN = πR2n /360 = 2π/3 (cm2)
Do diện tích tam giác cong AMN là: SAMN = SAMON - Squạt tròn OMN = 2 - 2π/3 (cm2)
Vậy diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn là: S = 3(2 - 2π/3) = 2(3 - π) ≈ 4,1 (cm2)
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với AB tại M. Điểm E chuyên động trên cung lớn CD (E khác A). Nôi AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.
a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AK không đổi.
c) Tính theo R diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.
Hướng Dẫn:
a) Chú ý: và 
Þ ĐPCM.
b) 
không đổi.
c) đều.
Bài 5: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M.
a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đ/tròn thì độ lớn góc không đổi.
b) Cho , tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giói hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC.
Hướng Dẫn:
a) Chứng minh được đều 
b)