Phân loại và phương pháp giải Hình học 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
 CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải cỏc bài toỏn liờn quan đến cạnh và đường cao trong tam giỏc 
vuụng, ngoài việc nắm vững cỏc kiến thức về định lý Talet, về cỏc trường 
hợp đồng dạng của tam giỏc, cần phải nắm vững cỏc kiến thức sau:
Tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , ta cú:
1) a2 = b2 + c2 .
 A
2) b2 = a.b';c2 = a.c '
 b
3) h2 = b'.c '
 c h
4) a.h = b.c .
 b'
 B c' H C
 1 1 1
5) = + . a
 h2 b2 c2
 b' b2
6) = . 
 a a2
 1
Chỳ ý: Diện tớch tam giỏc vuụng: S = ab
 2
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Biết 
 AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm .
a) Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC .
b) Tớnh độ dài cỏc đoạn AH,BH,CH .
Giải:
 A
a). Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4, 
 1
 B H C PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
 AB AC AB + AC
suy ra = = = 3. Do đú AB = 3.3 = 9 (cm); 
 3 4 3 + 4
 AC = 3.4 = 12(cm).
Tam giỏc ABC vuụng tại A , theo định lý Pythagore ta cú:
 BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm .
b) Tam giỏc ABC vuụng tại A , ta cú AH.BC = AB.AC , suy ra 
 AB.AC 9.12
 AH = = = 7,2(cm).
 BC 15
 AH 2 = BH.HC . Đặt BH = x (0 < x < 9) thỡ HC = 15 - x , ta cú:
 2
 (7,2) = x (15 - x) Û x 2 - 15x + 51,84 = 0 Û x (x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0
 Û (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 Û x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại) 
Vậy BH = 5,4cm . Từ đú HC = BC - BH = 9,6(cm).
Chỳ ý: Cú thể tớnh BH như sau:
 AB 2 92
 AB 2 = BH.BC suy ra BH = = = 5,4(cm).
 BC 15
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc cõn ABC cú đỏy BC = 2a , cạnh bờn bằng 
b(b > a).
 a) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC
 AK
 b) Dựng BK ^ AC . Tớnh tỷ số .
 AC
Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta cú:
 AH 2 = AC 2 - HC 2 = b2 - a2
2 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
 A
 1 1
Suy ra S = BC.AH = a b2 - a2
 ABC 2 2
 ị AH = b2 - a2
 K
 1 1
b). Ta cú BC.AH = BK .AC = S
 2 2 ABC
 H
 B C
 BC.AH 2a
Suy ra BK = = b2 - a2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam 
 AC b
giỏc vuụng AKB ta cú: 
 2
 2 2
 4a2 (b - 2a )
 AK 2 = AB 2 - BK 2 = b2 - (b2 - a2) = . Suy ra 
 b2 b2
 2 2 2 2
 b - 2a AK b - 2a
 AK = do đú = .
 b AC b2
Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC với cỏc đỉnh A,B,C và cỏc cạnh đối diện với 
cỏc đỉnh tương ứng là: a,b,c . 
 a) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a
 b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
Giải:
a). Ta giả sử gúc A là gúc lớn nhất của tam giỏc A
 ABC ị B,C là cỏc gúc nhọn. Suy ra chõn 
đường cao hạ từ A lờn BC là điểm 
 H thuộc cạnh BC .
 B H
 C
Ta cú: BC = BH + HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho cỏc tam giỏc vuụng 
 3 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
AHB,AHC ta cú:AB 2 = AH 2 + HB 2,AC 2 = AH 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trờn ta cú:
c2 - b2 = HB 2 - HC 2 = (HB + HC )(HB - HC ) = a.(HB - HC ) 
 c2 - b2
ị HB - HC = ta cũng cú: 
 a
 a2 + c2 - b2
HB + HC = a ị BH = . Áp dụng định lý Pitago cho tam 
 2a
giỏc vuụng 
 2
 ổa2 + c2 - b2 ử ổ a2 + c2 - b2 ửổ a2 + c2 - b2 ử
 2 2 ỗ ữ ỗ ữỗ ữ
AHB ị AH = c - ỗ ữ = ỗc - ữỗc + ữ
 ốỗ 2a ứữ ốỗ 2a ứữốỗ 2a ứữ
 ộ 2 ự ộ 2 ự
 ờ(a + c) - b2 ỳ ờb2 - (a - c) ỳ (a + b + c)(a + c - b)(b + a - c)(b + c - a)
= ờ ỳ.ờ ỳ=
 ờ 2a ỳ ờ 2a ỳ 4a2
 ởờ ỷỳ ởờ ỷỳ
Đặt 2p = a + b + c thỡ 
 16p(p - a)(p - b)(p - c) p(p - a)(p - b)(p - c)
AH 2 = ị AH = 2 . 
 4a2 a
 1
Từ đú tớnh được S = BC.AH = p(p - a)(p - b)(p - c)
 2
b). Từ cõu a) ta cú: S = p(p - a)(p - b)(p - c). Áp dụng bất đẳng thức 
 3
 ổ ử 3
 ỗp - a + p - b + p - cữ p
Cụ si ta cú: (p - a)(p - b)(p - c)Ê ỗ ữ = . Suy 
 ốỗ 3 ứữ 27
 2
 p3 p2 (a + b + c)
ra S Ê p. = . Hay S Ê . Mặt khỏc ta dễ chứng minh 
 27 3 3 12 3
 2
được: (a + b + c) Ê 3(a2 + b2 + c2) suy ra 
 3(a2 + b2 + c2)
S Ê Û a2 + b2 + c2 ³ 4 3S
 12 3
4 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giỏc ABC đều.
Vớ dụ 4. Cho tam giỏc nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tõm của tam 
 ã 0
giỏc. Gọi M là một điểm trờn CK sao cho AMB = 90 . S,S1,S2 theo thứ 
tự là diện tớch cỏc tam giỏc AMB,ABC và ABH . Chứng minh rằng 
 S = S1.S2 .
Giải:
 A
Tam giỏc AMB vuụng tại M cú 
 D
 M
 MK ^ AB nờn MK 2 = AK .BK (1).
 H
 DAHK : DCBK vỡ cú 
 ã ã 0 ã ã B C
 AKH = CKB = 90 ; KAH = KCB K
 ã AK HK
(cựng phụ với ABC ). Suy ra = , do đú AK .KB = CK .KH (2)
 CK BK
Từ (1) và (2) suy ra MK 2 = CK .HK nờn MK = CK .HK ; 
 1 1 1 1
 S = .AB.MK = AB. CK .HK = AB.CK . AB.HK = S S .
 AMB 2 2 2 2 1 2
Vậy S = S1.S2 .
Vớ dụ 5. Cho hỡnh thang ABCD cú 
 à à 0 à 0
 A = D = 90 ,B = 60 ,CD = 30cm,CA ^ CB . Tớnh diện tớch của hỡnh 
thang.
Giải:
 ã ã 0 ã
Ta cú CAD = ABC = 60 (cựng phụ với CAB ), vỡ thế trong tam giỏc 
vuụng ACD ta cú AC = 2AD .
 5 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
Theo định lý Pythagore thỡ: AC 2 = AD 2 + DC 2 hay 
 2
 (2AD) = AD 2 + 302
Suy ra 3AD 2 = 900 Û AD 2 = 300 nờn AD = 10 3 (cm).
 à à à 0
Kẻ CH ^ AB . Tứ giỏc AHCD là hỡnh chữ nhật vỡ cú A = D = H = 90 , 
suy ra AH = CD = 30cm;CH = AD = 10 3(cm).
Tam giỏc ACB vuụng tại C , ta cú: CH 2 = HA.HB , suy ra 
 2
 CH 2 (10 3) 300
 HB = = = = 10(cm), do đú 
 HA 30 30
 AB = AH + HB = 30 + 10 = 40(cm).
 1 1 2
 SABCD = CH (AB + CD) .10 3.(40 + 30) = 350 3(cm ).
 2 2
Vậy diện tớch hỡnh thang ABCD bằng 350 3cm2 .
 Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn a (hỡnh) được định nghĩa như sau:
 AB AC AB AC
 sin a = ;cosa = ;tan a = ;cot a =
 BC BC AC AB
 B
+ Nếu a là một gúc nhọn thỡ 
 Cạnh huyền
 0 < sin a < 1;0 < cosa < 1; Cạnh đối
 tan a > 0;cot a > 0
 α
 A Cạnh kề C
2. Với hai gúc a,b mà a + b = 900 , 
6 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
ta cú: sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b .
Nếu hai gúc nhọn a và b cú sin a = sin b hoặc cosa = cosb thỡ 
 a = b .
3. sin2 a + cos2 a = 1;tga.cot ga = 1.
4. Với một số gúc đặc biệt ta cú: 
 1 2
 sin 300 = cos600 = ;sin 450 = cos450 =
 2 2
 3 1
 cos300 = sin 600 = ;cot 600 = tan 300 =
 2 3
 tan 450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan 600 = 3 .
 5
Vớ dụ 1. Biết sin a = . Tớnh cosa, tan a và cot a .
 13
Giải:
Cỏch 1. Xột DABC vuụng tại A . C
 à AC 5
Đặt B = a . Ta cú: sin a = = 
 BC 13
 AC BC
suy ra = = k , do đú A α
 5 13 B
 AC = 5k,BC = 13k . Tam giỏc ABC vuụng tại A nờn: 
 2 2
 AB 2 = BC 2 - AC 2 = (13k) - (5k) = 144k2 , suy ra AB = 12k .
 AB 12k 12
Vậy cosa = = = ; 
 BC 13k 13
 AC 5k 5 AB 12k 12
 tan a = = = ; cot a = = =
 AB 12k 12 AC 5k 5
 7 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
 5 25
Cỏch 2. Ta cú sin a = suy ra sin2 a = , mà sin2 a + cos2 a = 1, do 
 13 169
 25 144 12
đú cos2 a = 1- sin2 a = 1- = , suy ra cosa = .
 169 169 13
 sin a 5 12 5 13 5
 tan a = = : = . = ; 
 cosa 13 13 13 12 12
 cosa 12 5 12 13 12
 cot a = = : = . = .
 sin a 13 13 13 5 5
Ở cỏch giải thứ nhất ta biểu thị độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC theo 
đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn để tớnh 
 5
 cosa, tan a,cot a . Ở cỏch giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin a = để 
 13
tớnh sin2 a rồi tớnh cosa từ sin2 a + cos2 a = 1. Sau đú ta tớnh tan a và 
 cot a qua sin a và cosa .
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại 
 H . Biết HD : HA = 1 : 2. Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .
Giải:
 A
 AD AD
Ta cú: tgB = ;tgC = . E
 BD CD
 H
 AD 2
Suy ra tan B.tanC = (1) 
 BD.CD B C
 D
 ã ã ã ã ã 0
 HBD = CAD (cựng phụ với ACB ); HDB = ADC = 90 .
 DH BD
Do đú DBDH : DADC (g.g), suy ra = , do đú 
 DC AD
 BD.DC = DH.AD (2). Từ (1) và (2) suy ra 
 AD 2 AD HD 1
 tan B.tanC = = (3). Theo giả thiết = suy ra 
 DH.AD DH AH 2
8 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
 HD 1 HD 1
 = hay = , suy ra AD = 3HD . Thay vào (3) ta 
AH + HD 2 + 1 AD 3
 3HD
được: tan B.tanC = = 3 .
 DH
 12
Vớ dụ 3. Biết sin a.cosa = . Tớnh sin a,cosa .
 25
Giải:
 12
Biết sin a.cosa = . Để tớnh sin a,cosa ta cần tớnh sin a + cosa rồi 
 25
giải phương trỡnh với ẩn là sin a hoặc cosa .
Ta cú: 
 2 12 49
(sin a + cosa) = sin2 a + cos2 a + 2sin a.cosa = 1+ 2. = . Suy 
 25 25
 7 7
ra sin a + cosa = nờn sin a = - cosa . Từ đú ta cú: 
 5 5
 ổ ử
 ỗ7 ữ 12 7 2 12
cosa ỗ - cosaữ= Û cosa - cos a =
 ốỗ5 ứữ 25 5 25
Û 25cos2 a - 35cosa + 12 = 0 Û 5cosa (5cosa - 4)- 3(5cosa - 4) = 0
 4 3
Û (5cosa - 4)(5cosa - 3) = 0. Suy ra cosa = hoặc cosa = .
 5 5
 4 12 4 3
+ Nếu cosa = thỡ sin a = : = .
 5 25 5 5
 3 12 3 4
+ Nếu cosa = thỡ sin a = : = .
 5 25 5 5
 3 4 4 3
Vậy sin a = , cosa = hoặc sin a = ,cosa = .
 5 5 5 5
 Hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng.
 9 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HèNH HỌC 9
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giỏc vuụng, mỗi cạnh gúc vuụng bằng:
a) Cạnh huyền nhõn với sin gúc đối hay nhõn với cosin gúc kề.
b) Cạnh gúc vuụng kia nhõn với tan của gúc đối hay nhõn với cot của gúc 
kề. 
b = a.sin B = a cosC;c = a.sinC = a.cosB;b = c.tgB = c.cot gC;
 c = b.tgC = b.cot gC
2. Giải tam giỏc vuụng là tỡm tất cả cỏc cạnh và cỏc gúc chưa biết của tam 
giỏc vuụng đú.
 à 0
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cú AB = 16,AC = 14 và B = 60 .
a) Tớnh độ dài cạnh BC
b) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC .
Giải:
 A
a). Kẻ đường cao AH . 
Xột tam giỏc vuụng ABH , ta cú: 
 1
 BH = AB.cosB = AB.cos600 = 16. = 8
 2 600
 B C
 3 H
 AH = AB.sin B = AB.sin 600 = 16. = 8 3 . Áp dụng định lý 
 2
Pythagore vào tam giỏc vuụng AHC ta cú:
 2
 HC 2 = AC 2 - AH 2 = 142 - (8 3) = 196 - 192 = 4 . Suy ra HC = 2. 
Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.
 1 1
b) Cỏch 1. S = BC.AH = .10.8 3 = 40 3 (đvdt)
 ABC 2 2
10