Phân loại và phương pháp giải Hình học 9 - Chương 5: Chùm bài toán về tiếp tuyến, cát tuyến

 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 CHÙM BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN
Những tính chất cần nhớ: 
1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCD của một đường tròn cắt 
nhau tại M thì MA.MB MC.MD
2). Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M và 
 MA.MB MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.
 D
 A B
 M
 O A
 O
 C
 M C D
 B
3). Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì 
 MC2 MA.MB MO2 R2
 B
 A
 M
 C
4). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát tuyến 
 KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K,A,H,O,B nằm trên một 
đường tròn.
 85 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 A D
 H
 C
 K O
 B
5). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát tuyến 
 AC BC
 KCD thì 
 AD BD
 A
 D
 C
 K O
 B
 AC KC
Ta có: K· AC A· DK KAC# KAD 
 AD KA
 BC KC AC BC
Tương tự ta cũng có: mà KA KB nên suy ra 
 BD KB AD BD
86 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 AC BC
Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: 
 AD BD
 CA DA
và 
 CB DB
 NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU
Bài 1: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát 
tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . Vẽ dây DI qua M . 
Chứng minh
 a) KIOD là tứ giác nội tiếp 
 b) KO là phân giác của góc IKD
Giải:
 A
 D
 C
 M
 K O
 I
 B
 a) Để chứng minh KIOD là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất 
 khó khăn.
Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến.
Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và AB  ID M nên ta có: MA.MB MI.MD
Mặt khác KAOB là tứ giác nội tiếp nên MA.MB MO.MK
Từ đó suy ra MO.MK MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp.
 87 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD . Ta có 
 IO OD R O· KI O· KD
 suy ra KO là phân giác của góc IKD
 Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
 cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . Chứng minh
 a) CMOD là tứ giác nội tiếp 
 b) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD
 Giải:
 A A
 D
 C
 O
 O M
K M K
 C
 D
 B B
 h1 h2
 a) Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB2 KC.KD KO2 R2
 Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM  KO nên KB2 KM.KO suy 
 ra
 KC.KD KM.KO hay CMOD là tứ giác nội tiếp 
 b) CMOD là tứ giác nội tiếp nên K· MC O· DC,O· MD O· CD .
 Mặt khác ta có: O· DC O· CD K· MC O· MD
 Trường hợp 1: 
 Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)
 88 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Hai góc A· MC,A· MD có 2 góc phụ với nó tương ứng là K· MC,O· DC mà 
 K· MC O· DC nên A· MC A· MD hay MA là tia phân giác của góc C· MD
Trường hợp 2:
Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương tự ta 
cũng có MB là tia phân giác của góc C· MD
Suy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc C· MD .
Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD . Vẽ dây AF đi qua H . 
Chứng minh BF / /CD
Giải:
 A D
 H
 C
 K O
 F
 B
Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh A· HK A· FB
 1
Ta có A· FB A· OB ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ).
 2
Mặt khác KO là phân giác góc A· OB nên 
 1
 A· OK B· OK A· OB A· FB A· OK . Vì A,K,B,O,H cùng nằm trên đường 
 2
tròn đường kính KO nên A· HK A· OK A· FB A· HK BF / /CD
 89 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Bài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD . Đường thẳng qua H 
song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh CI  OB
Giải:
 A D
 H
 C I
 K O
 F
 B
Ta có HI / /BD C· HI C· DB . Mặt khác C· AB C· DB cùng chắn cung CB 
nên suy ra C· HI C· AB hay AHIC là tứ giác nội tiếp. Do đó 
 I·AH I·CH B· AH I·CH . Mặt khác ta có A,K,B,O,H cùng nằm trên 
đường tròn đường kính KO nên B· AH B· KH
Từ đó suy ra I·CH B· KH CI / /KB . Mà KB  OB CI  OB
Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề OB  KB .Thay vì chứng minh 
 CI  OB ta chứng minh CI / /KB
Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI . Gọi I là điểm đối xứng với A 
qua D . Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) . Tiếp tuyến của đường tròn 
 (O) tại A cắt IB ở K . Gọi C là giao điểm thứ hai của KD với đường tròn 
 (O) . Chứng minh rằng BC / /AI .
Giải:
90 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 K
 C B
 O
 A
 D I
Ta cần chứng minh: A· IK K· BC
 1
Mặt khác ta có: K· BC C· AB sđC»B nên ta sẽ chứng minh A· IK C· AB hay 
 2
 CB DB
 BID : BCA Thật vậy theo tính chất 5 ta có: mà 
 CA DA
 CB DB
 DA DI 
 CA DI
Tứ giác ACBD nội tiếp nên B· CA B· DI BID : BCA A· IK C· AB
Hay A· IK K· BC BC / /AI
Bài 6 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . Vẽ dây CF qua 
 M . Chứng minh DF / /AB
Giải:
 91 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 A D
 H 1
 C
 2
 1 M
 K O
 B
Kẻ OH  CD F
 ¶ ¶
Ta chứng minh được: CMOD là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên M1 D1 
 ¶ · 0 ¶ · 0 · ·
mà M1 M2 90 ; D1 DOH 90 M2 DOH . Mặt khác ta có: 
 1 1
 C· FD C· OD,D· OH C· OD C· FD D· OH . Từ đó suy ra 
 2 2
 · ·
 M2 CFD DF / /AB
Chú ý: DF / /AB ABFD là hình thang cân có hai đáy là 
 AB,DF O· MD O· MF
Bài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB . Kẻ OH vuông 
góc với CD cắt AB ở E . Chứng minh
 a) CMOE là tứ giác nội tiếp
 b) CE,DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Giải:
 E
 a) Theo bài toán 2, ta có CMOD
 · · · D
là tứ giác nội tiếp nên CMK ODC OCD . A
 H
 C
Do đó các góc phụ với chúng 
 K
 M O
bằng nhau: C· ME C· OE .
92
 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).
 c) Cũng theo bài toán 2, CMOD nội tiếp. 
Mặt khác CMOE là tứ giác nội tiếp nên E,C,M,O,D thuộc một đường tròn.
Từ đó dễ chứng minh CE,DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 8) Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Vẽ đường kính AI . Các dây IC,ID cắt KO theo 
thứ tự ở G,N . Chứng minh rằng OG ON .
Giải:
 A
 1 D
 C 1
 K
 G M O N
 1
 I
Ta vẽ trong hình trường hợp O và A nằm khác phía đối với CD . Các 
trường hợp khác chứng minh tương tự.
Để chứng minh OG ON , ta sẽ chứng minh IOG AON .
Ta đã có OI OA,I·OG A· ON , cần chứng minh C· IA I·AN , muốn vậy phải 
có AN / /CI . Ta sẽ chứng minh A· ND C· ID . Chú ý đến AI là đường kính, 
ta có A· DI 900 , do đó ta kẻ AM  OK Ta có AMND là tứ giác nội tiếp, suy 
ra A· ND A· MD (1)
 93 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9
 1 1
Sử dụng bài 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp và A· MD C· MD C· OD 
 2 2
 1 1
(2). Từ (1) và (2) suy ra A· ND C· OD . Ta lại có C· ID C· OD nên 
 2 2
 1
 A· ND C· ID .
 2
HS tự giải tiếp.
Bài 9 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB 
cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh rằng 
 A· DC M· DB .
Giải:
 E
 D
 A
 H
 C
 K O
 M
 B
Kẻ OH  CD , cắt AB ở E .
Theo bài 7 , EC là tiếp tuyến của đường tròn O , nên theo bài toán quen 
thuộc 3, ta có ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra E· BD E· CD (2).
Từ (1) và (2) suy ra C· BD E· MD .
Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau: 
 · · · ·
 CAD BMD CAD : BMD (g.g) nên ADC MDB 
94