Tài liệu dạy học Hình học + Đại số Lớp 9 - Chương trình học kỳ II

Chương
3
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn và là hệ thức có dạng , trong đó là các số thực ( hoặc ).
2. Tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Cặp số gọi là nghiệm của phương trình nếu có đẳng thức .
Ta cũng viết: nghiệm của phương trình là . Với cách viết này, cần hiểu rằng .
Lưu ý: + Đối với phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm tập nghiệm và khái niệm nghiệm của phương trình tương đương cũng tương tự như đối với phương trình một ẩn.
+ Các quy tắc chuyển vế và quy tắc để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.
Tổng quát: Một phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.
Điều kiện
Dạng phương trình 
Tập nghiệm
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ trục tọa độ : Tập nghiệm S của phương trình (*) được biểu diễn bởi đường thẳng và kí hiệu là . Biểu diễn tập nghiệm S trong hệ trục tọa độ , tức là vẽ đường thẳng trong hệ trục tọa độ .
Điều kiện
Dạng phương trình đường thẳng
Tính chất của đường thẳng 
Song song hoặc trùng với trục hoành, vuông góc với trục tung.
Song song hoặc trùng với trục tung, vuông góc với trục hoành.
Đồ thị của là đồ thị hàm số bậc nhất 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận biết hàm số bậc nhất 
Hàm số bậc nhất một ẩn có dạng .
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào xác định một hàm số bậc nhất dạng ?
a) ; 	ĐS: Có.	b) ; 	ĐS: Có.
c) ; 	ĐS: Có.	d) ; 	ĐS: Có.
e) ; 	ĐS: Không.	f) . 	ĐS: Không.
Dạng 2: Kiểm tra các cặp số cho trước có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn không?
Thay giá trị vào phương trình đã cho.
Nếu cặp làm cho đẳng thức đúng thì là nghiệm của phương trình và ngược lại.
Ví dụ 2. Cho các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: Không có điểm nào.
c) ;	ĐS: .	d) .	ĐS: .
Dạng 3: Tìm một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Thay (hoặc ) để từ đó tìm (hoặc ), trong đó là một hằng số cụ thể.
Ví dụ 3. Tìm một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trong các trường hợp sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) . 	ĐS: .
Dạng 4: Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Xem phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 4. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) . 	ĐS: .
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng đi qua một điểm cho trước
Thay tọa độ của điểm vào phương trình để tìm giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 5. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của để:
a) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
b) Điểm .. thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
c) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
d) Điểm thuộc đường thẳng . 	ĐS: .
Dạng 6: Vẽ cặp đường thẳng và tìm giao điểm của chúng
Vẽ đồ thị tương ứng của các đường thẳng và xác định tọa độ giao điểm trong hệ trục tọa độ.
Ví dụ 6. Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó:
a) và ; 	ĐS: .
b) và ; 	ĐS: .
c) và ; 	ĐS: .
d) và . 	ĐS: .
Ví dụ 7. Cho hai phương trình và . 
a) Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó và cho biết tọa độ giao điểm đó là nghiệm của các phương trình nào?
b) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh rằng là nghiệm chung của hai phương trình đó.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào xác định một hàm số dạng ?
a) ;	 ĐS: Có.	b) ; 	ĐS: Có.
c) ; 	ĐS: Có.	d) ; 	ĐS: Có.
e) ;	 ĐS: Không.	f) . 	ĐS: Không.
Bài 2. Cho các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) ; 	ĐS: .	b) ;	 ĐS: .
c) ; 	ĐS: Không cặp nào.	d) .	ĐS: .
Bài 3. Tìm một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trong các trường hợp sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) . 	ĐS: .
Bài 4. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ;	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) .	ĐS: .
Bài 5. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của để:
a) Điểm thuộc đường thẳng ;	 ĐS: .
b) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
c) Điểm thuộc đường thẳng ;	 ĐS: .
d) Điểm thuộc đường thẳng .	 ĐS: .
Bài 6. Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó:
a) và ; 	ĐS: .
b) và ;	 ĐS: .
c) và ; 	ĐS: .
d) và . 	ĐS: .
Bài 7. Cho hai phương trình và . Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó và cho biết tọa độ giao điểm đó là nghiệm của các phương trình nào?
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 8. Trong các phương trình sau, phương trình nào xác định một hàm số bậc nhất dạng ?
a) ;	ĐS: Có.	b) ;	ĐS: Có.
c) ;	ĐS: Có.	d) ;	ĐS: Có.
e) ; 	ĐS: Không.	f) . 	ĐS: Không.
Bài 9. Cho các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: .
c) ; 	ĐS: Không có điểm nào.	d) . 	ĐS: .
Bài 10. Tìm một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trong các trường hợp sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ; 	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) . 	ĐS: .
Bài 11. Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) ; 	ĐS: .	b) ;	ĐS: .
c) ; 	ĐS: .	d) . 	ĐS: .
Bài 12. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của để:
a) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
b) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
c) Điểm thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
d) Điểm thuộc đường thẳng . 	ĐS: .
Bài 13. Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó:
a) và ; 	ĐS: .
b) và ; 	ĐS: .
c) và ; 	ĐS: .
d) và . 	ĐS: Không có giao điểm.
Bài 14. Cho hai phương trình và . Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó và cho biết tọa độ giao điểm đó là nghiệm của các phương trình nào?
--- HẾT ---
Bài 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
.
Trong đó và là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nếu hai phương trình và có nghiệm chung thì được gọi là nghiệm của hệ phương trình.
Nếu hai phương trình và không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các cặp (tìm tập nghiệm) thỏa mãn hai phương trình và .
Hai hệ phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Gọi lần lượt là các đường thẳng và thì tập nghiệm của hệ phương trình được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của và . Khi đó
Nếu cắt hay thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu song song với hay thì hệ vô nghiệm.
Nếu trùng với hay thì hệ vô số nghiệm.
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình bằng số giao điểm của hai đường thẳng 
 và 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không?
Bước 1: Thay cặp số vào hệ đã cho tương ứng .
Bước 2: Nếu các phương trình trong hệ đều thỏa mãn thì kết luận là nghiệm của hệ và ngược lại.
Ví dụ 1. Xét hệ phương trình , cho biết cặp số có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: Có.
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình , và các cặp số . Cặp nào là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: .
Dạng 2: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
Bước 1: Đưa hệ về dạng ;
Bước 2: So sánh các hệ số tương ứng các trường hợp sau
Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu thì hệ vô nghiệm.
Nếu thì hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 3. Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
b) 	ĐS: Vô nghiệm.
c) 	ĐS: Vô số nghiệm.
Ví dụ 4. Xác định số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
b) 	ĐS: Vô nghiệm.
c) .	ĐS: Vô số nghiệm.
Ví dụ 5. Cho hai phương trình và .
a) Cho biết nghiệm tổng quát của mỗi phương trình.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Xác định nghiệm chung của hai phương trình.
Dạng 3: Tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp hình học
Vẽ đường thẳng tương ứng với mỗi phương trình, sau đó tìm giao điểm.
Ví dụ 6. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng phương pháp hình học.
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Ví dụ 7. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: .
b) và . 	ĐS: .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Đưa hệ về dạng .
Bước 2: Xác định các hệ số trong mỗi phương trình ở bước 1 và áp dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Ví dụ 8. Cho hệ phương trình . Tìm tham số để hệ thỏa mãn:
a) Có nghiệm duy nhất; 	ĐS: .
b) Vô nghiệm; 	ĐS: .
c) Vô số nghiệm. 	ĐS: Không có .
Ví dụ 9. Cho hai đường thẳng và Tìm tham số sao cho:
a) cắt tại một điểm; 	ĐS: .
b) và song song; 	ĐS: .
c) trùng với . 	ĐS: Không có .
Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Nếu là cắt tại một điểm.
Nếu là song song với .
Nếu là trùng với .
Ví dụ 10. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: Cắt tại một điểm.
b) và ; 	ĐS: Song song.
c) và . 	ĐS: Trùng nhau.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho biết cặp số có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: Không.
Bài 2. Cho hệ phương trình , và các cặp số . Cặp nào là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: Không có cặp nào.
Bài 3. Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Vô nghiệm.
b) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
c) 	ĐS: Vô số nghiệm.
Bài 4. Xác định số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
b) 	ĐS: Vô nghiệm.
c) 	ĐS: Vô số nghiệm.
Bài 5. Cho hai phương trình và .
a) Cho biết nghiệm tổng quát của mỗi phương trình.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ.
c) Xác định nghiệm chung của hai phương trình.
Bài 6. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng phương pháp hình học.
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 7. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: Vô số giao điểm .
b) và . 	ĐS: .
Bài 8. Cho hệ phương trình . Tìm tham số để hệ thỏa mãn:
a) Có nghiệm duy nhất; 	ĐS: hoặc .
b) Vô nghiệm;
c) Vô số nghiệm.
Bài 9. Cho hai đường thẳng và . Tìm tham số sao cho:
a) cắt tại một điểm; 	ĐS: .
b) và song song; 	ĐS: Không có giá trị .
c) trùng với . 	ĐS: Không có giá trị .
Bài 10. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: Cắt tại một điểm.
b) và ; 	ĐS: Song song.
c) và . 	ĐS: Trùng nhau.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 11. Xét hệ phương trình cho biết cặp số có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: Không.
Bài 12. Cho hệ phương trình , và các cặp số . Cặp nào là nghiệm của hệ phương trình hay không? Vì sao?	ĐS: Không có cặp nào.
Bài 13. Không vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
b) 	ĐS: Vô nghiệm.
c) 	ĐS: Vô số nghiệm.
Bài 14. Xác định số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây:
a) 	ĐS: Nghiệm duy nhất.
b) 	ĐS: Vô nghiệm.
c) 	ĐS: Vô số nghiệm.
Bài 15. Cho hai phương trình và .
a) Cho biết nghiệm tổng quát của mỗi phương trình.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình.
Bài 16. Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng phương pháp hình học.
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 17. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: .
b) và . 	ĐS: .
Bài 18. Cho hệ phương trình . Tìm tham số để hệ thỏa mãn:
a) Có nghiệm duy nhất; 	ĐS: .
b) Vô nghiệm; 	ĐS: .
c) Vô số nghiệm. 	ĐS: Không có .
Bài 19. Cho hai đường thẳng và . Tìm tham số sao cho:
a) cắt tại một điểm; 	ĐS: .
b) và song song; 	ĐS: .
c) trùng với . 	ĐS: Không có .
Bài 20. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) và ; 	ĐS: Cắt tại một điểm.
b) và ; 	ĐS: Trùng nhau. 
c) và . 	ĐS: Trùng nhau. 
--- HẾT ---
Bài 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc thế
Quy tắc thế là quy tắc dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
2. Các bước thực hiện
Bước 1. Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn;
Bước 2. Giải phương trình một ẩn thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý:
Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn giải bằng phương pháp thế có thể lựa chọn việc rút hoặc rút . Để tránh độ phức tạp trong tính toán ta thường chọn rút ẩn có hệ số là trong hệ đã cho.
Ưu điểm của phương pháp thế được thể hiện trong bài toán giải và biện luận hệ phương trình, vì sau khi thế ta được phương trình một ẩn. Số nghiệm của hệ đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Thực hiện theo hai bước ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau
a) ; 	ĐS: vô nghiệm.
b) ; 	ĐS: .
c) . 	ĐS: vô số nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Thu gọn hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản.
Bước 2: Sử dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình vừa nhận được.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Dạng 3: Sử dụng đặt ẩn phụ giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện (nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới thu được.
Bước 3: Từ các giá trị của ẩn phụ vừa nhận được, giải tìm các ẩn của hệ ban đầu.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 5. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Ví dụ 6. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Thay giá trị của biến vào từng phương trình trong hệ đã cho để tìm các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 7. Cho hệ phương trình . Xác định các hệ số và , biết:
a) Hệ có nghiệm ; 	ĐS: .
b) Hệ có nghiệm . 	ĐS: .
Ví dụ 8. Tìm giá trị của và để hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm . 	ĐS: .
Ví dụ 9. Tìm và để đường thẳng đi qua hai điểm:
a) ; 	ĐS: .
b) . 	ĐS: .
Ví dụ 10. Tìm và để đường thẳng đi qua điểm và đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Ví dụ 11. Cho hai đường thẳng và . Tìm để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm thỏa mãn:
a) thuộc trục hoành; 	ĐS: .
b) thuộc trục tung; 	ĐS: .
c) thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
d) thuộc góc phần tư thứ nhất. 	ĐS: .
Ví dụ 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và , biết đi qua điểm và đi qua điểm . 	ĐS: .
Ví dụ 13. Tìm giá trị của để đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Ví dụ 14. Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng và đồng quy. 	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Bài 2. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) ; 	ĐS: .
b) ; 	ĐS: .
c) . 	ĐS: .
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 7. Cho hệ phương trình . Xác định các hệ số và , biết:
a) Hệ có nghiệm ; 	ĐS: .
b) Hệ có nghiệm . 	ĐS: .
Bài 8. Tìm giá trị của và để hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm . 	ĐS: .
Bài 9. Tìm và để đường thẳng đi qua hai điểm:
a) ; 	ĐS: .
b) . 	ĐS: .
Bài 10. Tìm và để đường thẳng đi qua điểm và đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Bài 11. Cho hai đường thẳng và . Tìm để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm thỏa mãn:
a) thuộc trục hoành; 	ĐS: .
b) thuộc trục tung; 	ĐS: .
c) thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
d) thuộc góc phần tư thứ nhất 	ĐS: .
Bài 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và , biết đi qua điểm và đi qua điểm . 	ĐS: .
Bài 13. Tìm giá trị của để đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Bài 14. Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng và . 	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Bài 16. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) ; 	ĐS: vô nghiệm.
b) ; 	ĐS: .
c) . 	ĐS: vô số nghiệm.
Bài 17. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 18. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 19. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
e) 	ĐS: .
f) 	ĐS: .
Bài 20. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 21. Cho hệ phương trình . Xác định các hệ số và , biết:
a) Hệ có nghiệm ; 	ĐS: .
b) Hệ có nghiệm . 	ĐS: .
Bài 22. Tìm giá trị của và để hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm . 	ĐS: .
Bài 23. Tìm và để đường thẳng đi qua hai điểm:
a) ; 	ĐS: .
b) . 	ĐS: .
Bài 24. Tìm và để đường thẳng đi qua điểm và đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Bài 25. Cho hai đường thẳng và . Tìm để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm thỏa mãn
a) thuộc trục hoành; 	ĐS: .
b) thuộc trục tung; 	ĐS: .
c) thuộc đường thẳng ; 	ĐS: .
d) thuộc góc phần tư thứ nhất. 	ĐS: .
Bài 26. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và , biết đi qua điểm và đi qua điểm . 	ĐS: .
Bài 27. Tìm giá trị của để đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Bài 28. Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng và đồng quy. 	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CỘNG ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương, bao gồm hai bước như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới;
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
2. Các bước giải
Bước 1. Biến đổi để các hệ số của một ẩn có giá trị tuyệt đối bằng nhau;
Bước 2. Cộng hoặc trừ vế với vế của hai phương trình để khử đi một ẩn;
Bước 3. Giải phương trình tìm giá trị của ẩn còn lại;
Bước 4. Thay giá trị vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị còn lại;
Bước 5. Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Thực hiện theo các bước đã nêu trong phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình với
a) ; 	ĐS: .
b) ; 	ĐS: vô nghiệm.
c) . 	ĐS: vô số nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được bằng phương pháp cộng đại số.
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Dạng 3: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản. Tìm điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số.
Bước 3: Từ các giá trị của ẩn phụ nhận được, giải tìm các ẩn của hệ ban đầu.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhận cặp số làm nghiệm khi và chỉ khi .
Đường thẳng đi qua điểm .
Ví dụ 5. Xác định để hệ phương trình có nghiệm là . 
	ĐS: .
Ví dụ 6. Xác định để đường thẳng và đường thẳng đi qua điểm . 	ĐS: .
Ví dụ 7. Xác định để đường thẳng đi qua hai điểm . 
	ĐS: .
Ví dụ 8. Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ; 	ĐS: .
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ;	ĐS: .
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng . 	ĐS: .
Ví dụ 9. Với giá trị nào của thì đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Ví dụ 10. Với giá trị nào của thì ba đường thẳng , và đồng quy. 	ĐS: .
Ví dụ 11. Xác định để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm
a) Nằm trên trục hoành; 	ĐS: .
b) Nằm trên trục tung; 	ĐS: .
c) Thuộc góc phần tư thứ nhất; 	ĐS: .
d) Nằm trên đường thẳng . 	ĐS: .
Ví dụ 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và đường thẳng biết rằng đi qua điểm và đi qua điểm . 
	ĐS: .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 2. Cho hệ phương trình sau Giải hệ phương trình với
a) ; 	ĐS: .
b) ; 	ĐS: vô số nghiệm.
c) . 	ĐS: vô nghiệm.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 5. Cho hệ phương trình . Tìm giá trị của để hệ có nghiệm là . 	ĐS: .
Bài 6. Xác định để đường thẳng và đường thẳng đi qua điểm . 	ĐS: .
Bài 7. Xác định để đường thẳng đi qua hai điểm . 	ĐS: .
Bài 8. Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ; 	ĐS: .
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm và ; 	ĐS: .
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng . 	ĐS: .
Bài 9. Với giá trị nào của thì đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng và . 	ĐS: .
Bài 10. Tìm để ba đường thẳng đồng quy. 	ĐS: .
Bài 11. Xác định để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm:
a) Nằm trên trục hoành; 	ĐS: .
b) Nằm trên trục tung; 	ĐS: .
c) Thuộc góc phần tư thứ ba; 	ĐS: hoặc .
d) Nằm trên đường thẳng . 	ĐS: .
Bài 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và đường thẳng , biết rằng đi qua điểm và đi qua điểm .
	ĐS: .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 13. Giải các hệ phương trình sau
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 14. Cho hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình với
a) ; 	ĐS: .
b) ; 	ĐS: vô nghiệm.
c) . 	ĐS: vô số nghiệm.
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 16. Giải hệ phương trình sau:
a) 	ĐS: .
b) 	ĐS: .
c) 	ĐS: .
d) 	ĐS: .
Bài 17. Xác định để hệ phương trình có nghiệm là . 
	ĐS: .
Bài 18. Xác định để đường thẳng và đường thẳng đi qua điểm . 	ĐS: .
Bài 19. Xác định để đường thẳng đi qua hai điểm . 
	ĐS: .
Bài 20. Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ; 	ĐS: .
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm ; 	ĐS: .
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng . 	ĐS: .
Bài 21. Xác định giá trị của để các đường thẳng sau đồng quy: , và . 	ĐS: .
Bài 22. Xác định để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm:
a) Nằm trên trục hoành; 	ĐS: .
b) Nằm trên trục tung; 	ĐS: .
c) Thuộc góc phần tư thứ nhất; 	ĐS: .
d) Nằm trên đường thẳng . 	ĐS: .
Bài 23. Tìm giao điểm của hai đường thẳng và đường thẳng biết rằng đi qua điểm và đi qua điểm . 
	ĐS: .
--- HẾT ---
Bài 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1. Lập hệ phương trình.
Chọn các ẩn số, đặt điều kiện và đơn vị phù hợp cho ẩn số;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn số;
Thiết lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết;
Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập được;
Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) ở Bước 1, từ đó đưa ra kết luận cần tìm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài toán về quan hệ giữa các số
Thực hiện các bước giải trong phần kiến thức trọng tâm.
Chú ý: với a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, ta có
Số tự nhiên có hai chữ số: .
Số tự nhiên có ba chữ số: .
Ví dụ 1. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số của số đó bằng và nếu chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thì được thương là dư . Tìm số đó. 	ĐS: .
Ví dụ 2. Cho hai số tự nhiên biết tổng của chúng là và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là dư . Tìm hai số đã cho. 	ĐS: và .
Ví dụ 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số, lần chữ số hàng chục lớn hơn lần chữ số hàng đơn vị là . Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được một số mới nhỏ hơn số đã cho đơn vị. Tìm số đó. 	ĐS: .
Ví dụ 4. Tổng chữ số hàng đơn vị và lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là . Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là đơn vị. Tìm số đó.	ĐS: .
Dạng 2: Bài toán về chuyển động
Chú ý các công thức:
, trong đó S là quãng đường, v là vận tốc và t là thời gian.
Trong bài toán chuyển động trên mặt nước, ta có
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước.
Vận tốc thực luôn lớn hơn vận tốc dòng nước.
Ví dụ 5. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau km gồm hai đoạn đường nhựa và đường sỏi. Thời gian xe đi trên đoạn đường nhựa và sỏi lần lượt là giờ và giờ. Tính vận tốc của ô tô đi trên từng đoạn đường, biết trên đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn hơn trên đoạn đường sỏi là km /h. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 6. Một ô tô xuất phát từ tỉnh A và đi đến tỉnh B với vận tốc là km/h. Sau khi đến B người đó quay trở về A với vận tốc km/h. Tính thời gian của ô tô lúc đi và lúc về, biết tổng thời gian cả đi lẫn về là giờ.	ĐS: giờ và giờ.
Ví dụ 7. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.	
	ĐS: km/h, giờ, km.
Ví dụ 8. Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định, nếu người này tăng tốc thêm km/h thì sẽ đến B sớm hơn giờ, còn nếu xe chạy với vận tốc giảm đi km/h thì sẽ đến B chậm hơn giờ. Tính quãng đường AB. 	ĐS: km.
Ví dụ 9. Một ca nô chạy trên sông trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ca nô này chạy trong giờ xuôi dòng km và ngược dòng km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước, biết rằng các vận tốc này không đổi. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 10. Hai bến sông A, B cách nhau km. Một ca nô xuôi dòng từ bên A đến bến B rồi ngược từ B trở về A hết tổng thời gian là giờ. Biết thời gian ca nô xuôi dòng km bằng thời gian ca nô ngược dòng km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước. 
	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 11. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được phút. Tìm vận tốc của mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 12. Hai địa điểm A và B cách nhau km. Một xe đạp và xe máy khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, sau giờ thì khoảng cách giữa hai xe là km. Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để đi hết quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy là giờ. 	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 13. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Ví dụ 14. Một xe khách và một xe Du lịch khởi hành cùng một lúc từ Hà Nội đi đến Hải Phòng. Xe Du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là km/h, do đó xe đã đến Hải Phòng trước xe khách phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là km. 
	ĐS: km/h và km/h.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hai số có tổng bằng . Bốn lần của số bé lớn hơn lần của số lớn là . Tìm hai số đã cho. 	ĐS: và .
Bài 2. Tìm số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là , số dư là .	ĐS: và .
Bài 3. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó ta được một số mới lớn hơn số đã cho là . Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là . Tìm số đã cho.	ĐS: .
Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm km/h thì đến B sớm hơn dự định giờ. Nếu người đó giảm vận tốc km/h thì đến B muộn hơn giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.	
	ĐS: km/h, giờ, km.
Bài 5. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B, cách nhau km, đi ngược chiều và gặp nhau sau giờ. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai giờ phút thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được giờ. Tìm vận tốc của mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 6. Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, xuôi dòng km và ngược dòng km hết tất cả giờ. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.	ĐS: km/h và km/h.
Bài 7. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy giờ. Tính vận tốc mỗi xe.	ĐS: km/h và km/h.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số của số đó bằng và nếu chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thì được thương là dư . Tìm số đó.
Lời giải
Gọi số cần tìm là (;). Theo đề bài, ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình ta được ;. Vậy số tự nhiên cần tìm là . 
Cho hai số tự nhiên biết tổng của chúng là và nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là dư . Tìm hai số đã cho.
Lời giải
Gọi số lớn và số bé cần tìm lần lượt là , ().
Theo đề bài, ta có hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được ;.
Vậy hai số cần tìm là và .
Cho một số tự nh