Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chương
1
HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH
VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Mở đầu
Từ hình vẽ bên, ta có
Cạnh góc vuông: .
Cạnh huyền: .
Đường cao: .
 là hình chiếu của trên cạnh .
 là hình chiếu của trên cạnh .
Định lý Py-ta-go: 
1. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
 hay ;
 hay .
2. Hệ thức liên quan đến đường cao
Trong một tam giác vuông
Bình phương độ dài đường cao bằng tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
 hay .
Tích độ dài đường cao với cạnh huyền bằng tích độ dài hai cạnh góc vuông.
 hay .
Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.
 hay .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố khác dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Vận dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh thứ ba (nếu cần).
Vận dụng các hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác.
Ví dụ 1. Tính các độ dài , trong hình bên.
	a)	b)	c)
Lời giải
a) Áp dụng định lí Pytago ta được
Do đó .
Áp dụng hệ thức ta được
Suy ra .
b) Ta có .
Áp dụng hệ thức ta được
c) Áp dụng hệ thức ta được
Ví dụ 2. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng . Tính tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Lời giải
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có ; , suy ra .
Nếu thì . 
Ví dụ 3. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng , cạnh huyền dài cm. Tính độ dài các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Lời giải
Áp dụng hệ thức ta có ; 
Suy ra .
Nếu thì suy ra .
Do đó ; .
Dạng 2: Tính độ dài dựa vào hệ thức liên quan đến đường cao
Vận dụng các hệ thức liên quan đến đường cao và định lý Py-ta-go.
Ví dụ 4. Tính độ dài , trong hình bên.
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago ta được 
Áp dụng hệ thức ta được 
.
Ví dụ 5. Tính diện tích tam giác trong hình bên.
Lời giải
Áp dụng hệ thức ta được 
Do đó .
Diện tích tam giác là (đvdt).
Ví dụ 6. Tính độ dài trong hình bên.
Lời giải
Ta có .
Áp dụng hệ thức ta được
.
Ví dụ 7. Tính tích trong hình bên.
Lời giải
Ta có .
Vậy .
Dạng 3: Chứng minh các hệ thức hình học
Vận dụng linh hoạt các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Nếu cần thì có thể vẽ thêm đường phụ (thường là đường cao) sao cho hình vẽ xuất hiện tam giác vuông để vận dụng các hệ thức.
Ví dụ 8. Cho hình thang có và . Chứng minh rằng là trung bình nhân của hai đáy.
Lời giải
Qua vẽ đường thẳng vuông góc với và cắt đường thẳng tại (hình bên).
Ta có (vì cùng vuông góc với ). Mặt khác nên tứ giác là hình bình hành. Suy ra .
Áp dụng hệ thức ta có suy ra (đpcm).
Ví dụ 9. Cho tam giác cân tại . Vẽ các đường cao và . Từ vẽ một đường thẳng song song với cắt tia tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
 mà nên (hình bên).
Xét vuông tại có là đường cao ứng với cạnh huyền nên . 
Suy ra (vì ). 
Ví dụ 10. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Áp dụng hệ thức vào các tam giác vuông và ta được ; .
Mặt khác .
Nhưng nên
.
Dễ thấy tứ giác là hình chữ nhật nên .
Do đó .
Ví dụ 11. Cho tam giác cân tại , hai đường cao và . Cho biết ; ; . Chứng minh rằng .
Lời giải
Tam giác cân tại nên đường cao cũng là đường trung tuyến, do đó .
Vẽ thì và là đường trung bình của (hình bên), do đó .
Áp dụng hệ thức vào vuông tại , ta được
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Lấy điểm trên đoạn thẳng sao cho . Qua vẽ một đường thẳng vuông góc với , cắt tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
Vẽ (hình bên), tứ giác là hình chữ nhật nên , do đó .
Xét và có 
 ; ;
 (cùng phụ với ).
 Do đó (g.c.g) suy ra .
 Áp dụng hệ thức ta được
.
Bài 2. Tính , trong hình vẽ sau
	a)	b)
	c)	d)
Lời giải
a) .
Ta có .
.
b) .
c) .
d) .
Bài 3. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Vẽ . Chứng minh rằng
a) ;	b) .
Lời giải
a) Xét vuông tại có .(1)
Xét vuông tại ta có .(2)
Từ () và () suy ra .
b) Tính ; rồi lập tỉ số của chúng và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
Bài 4. Cho tam giác vuông tại , cạnh cm và tỉ số hai hình chiếu của , trên cạnh huyền bằng . Tính diện tích tam giác .
Lời giải
Vẽ , tính được cm; cm. Từ đó tính được cm. 
Diện tích là .
Bài 5. Cho tam giác vuông tại , cm; cm. Tính độ dài hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và tính đường cao tương ứng với cạnh huyền.
Lời giải
Vận dụng hệ thức , tính được cm, từ đó suy ra cm.
Vận dụng hệ thức , ta tính được cm.
Bài 6. Hình thang có cm; cm và cm. Biết diện tích hình thang là .
a) Tính chiều cao của hình thang.	b) Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Vẽ . Xét có (vì ) nên là tam giác vuông tại . Vận dụng hệ thức , ta tính được
cm.
b) Vận dụng công thức , ta tính được cm. Do đó .
Bài 7. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Vẽ , . Chứng minh rằng .
Lời giải
Trước hết, vận dụng các hệ thức ; để tính tỉ số , ta được .
Từ đó suy ra .
Ta có ; .
Do đó . Suy ra .
--- HẾT ---