Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Bài 4+5: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 4-5. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng
Tích của cạnh huyền với sin của góc đối hoặc cô-sin của góc kề.
Tích của cạnh góc vuông kia với tang góc đối hoặc cô-tang góc kề.
Trong hình bên, ta có
2. Giải tam giác vuông
Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó khi biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Vận dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm cạnh.
Vận dụng công thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm cạnh.
Vận dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.
Lưu ý:
Nếu cho trước 1 góc nhọn thì nên tìm góc nhọn còn lại.
Nếu cho trước hai cạnh thì dùng định lý Py-ta-go tìm cạnh thứ hai.
Ví dụ 1. Giải tam giác vuông tại , biết và .
Lời giải
Ta có .
Suy ra mà 
nên.
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có 
Ví dụ 2. Giải tam giác vuông tại , biết và .
Lời giải
Do giả thiết ta có suy ra .
Mà nên .
Mặt khác theo định lí Py-ta-go
.
suy ra 
Ví dụ 3. Giải tam giác vuông tại , biết và .
Lời giải
Ta có .
Mặt khác .
Tương tự .
Ví dụ 4. Giải tam giác vuông tại , biết và .
Lời giải
Ta có .
Mặt khác 
và .
Ví dụ 5. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết , . Tính , và .
Lời giải
Xét tam giác vuông tại , ta có
 suy ra .
Mà nên .
Xét vuông tại , ta có
. 
Dạng 2: Giải tam giác nhọn
Bước 1: Vẽ đường cao để vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bước 2: Tính đường cao rồi tính các độ dài cạnh hay góc trong tam giác đã cho.
Lưu ý: Dùng đường cao làm trung gian để tính các độ dài cạnh hoặc số đo góc.
Nếu tam giác cho trước một cạnh (hoặc một góc) thì khi vẽ đường cao không thể chia đôi cạnh đó (hoặc góc đó) vì như vậy sẽ khó khăn cho việc tính toán.
Ví dụ 6. Cho tam giác có , và . Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác đó (gọi là giải tam giác ).
Lời giải
Ta có .
Kẻ đường cao . Xét vuông tại , ta có
.
Tương tự .
Mặt khác, do giả thiết suy ra tam giác vuông cân tại nên . Do đó .
Xét vuông tại , ta có
Ví dụ 7. Giải tam giác biết , và .
Lời giải
Ta có .
Kẻ đường cao . Xét vuông tại , ta có
. 
Tương tự, xét vuông tại , ta có
Mặt khác, ta có 
Ví dụ 8. Giải tam giác nhọn biết , và .
Lời giải
Vẽ . Xét vuông tại , ta có
.
Tương tự, xét .
Mặt khác, xét vuông tại , ta có do đó .
Mà .
Ta có .
Mà . 
Dạng 3: Tính diện tích tam giác, tứ giác
Tính các yếu tố cần thiết rồi thay vào công thức tính diện tích và thực hiện phép tính.
Ví dụ 9. Cho tam giác như hình vẽ bên. Chứng minh rằng diện tích tam giác có diện tích là .
Lời giải
Vẽ đường cao của tam giác .
Xét vuông tại , ta có .
Do đó diện tích của tam giác là .
Nhận xét: Qua ví dụ này ta có thêm một cách tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn xen giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh đó.
Ví dụ 10. Tứ giác như hình vẽ phía dưới. Biết , và . Tính diện tích của tứ giác đó.
Lời giải
Vẽ và . Xét ta có .
Tương tự, xét ta có .
Mà 
Tương tự 
Gọi là diện tích tứ giác ta có 
	.
Ví dụ 11. Tam giác có , , . Tính độ dài đường phân giác .
Lời giải
Do giả thiết nên .
Mà là đường phân giác nên .
Mà .
Mặt khác 
và 
Ví dụ 12. Hình bình hành có và , . Tính diện tích của hình bình hành.
Lời giải
Xét vuông tại , ta có
.
Khi đó gọi là diện tích hình bình hành , ta có 
Dạng 4: Ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác vuông
Vẽ lại hình vẽ theo yêu cầu bài toán (chú ý tạo ra tam giác vuông).
Xác định các yếu tố cần thiết rồi tính theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác hoặc sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm góc.
Ví dụ 13. Tính khoảng cách giữa hai điểm và trên một bờ hồ nước sâu, biết , , như hình bên.
Lời giải
Xét vuông tại , ta có
.
Mà .
Ví dụ 14. Trong hình vẽ bên dưới, tính chiều rộng của con sông, biết , , . 
Lời giải
Xét vuông ở , ta có và .
Do đó 
Vậy bằng .
Ví dụ 15. Khoảng cách giữa hai chân tháp và là như hình vẽ bên dưới. Từ đỉnh của tháp nhìn lên đỉnh của tháp ta được góc . Từ đỉnh nhìn xuống chân của tháp ta được góc (so với phương nằm ngang ). Hãy tìm chiều cao nếu , , .
Lời giải
Xét vuông tại , ta có .
Tương tự, xét vuông tại , ta có .
Mà 
Vậy chiều cao là .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải tam giác vuông tại , biết
a) và ;	b) và .
Lời giải
a) Xét vuông ở , ta có
Suy ra mà nên
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có 
b) Xét vuông ở , ta có
Suy ra mà nên
Mặt khác, theo định lí Py-ta-go ta có 
Bài 2. Giải tam giác vuông tại , biết
a) và ;	b) và .
Lời giải
a) Xét vuông ở ,
ta có .
Tương tự, . 
Do nên
b) Xét vuông ở , ta có
.
Tương tự, . 
Do nên
Bài 3. Cho tam giác cân tại , đường cao . Biết , . Tính chu vi của .
Lời giải
Do giả thiết suy ra nên 
Xét vuông tại , ta có 
Tương tự, xét vuông tại , ta có 
và .
Mà . Do đó chu vi tam giác bằng 
Bài 4. Hình thang có . Biết , và . Tính diện tích hình thang.
Lời giải
Vẽ , do giả thiết suy ra là hình chữ nhật nên .
Mà .
Xét vuông tại , ta có 
Gọi là diện tích hình thang .
Ta có 
Bài 5. Cho tam giác nhọn , , đường cao và đường trung tuyến . Gọi là số đo góc . 
a) Chứng minh rằng ;
b) Chứng minh rằng .
Lời giải
a) Do giả thiết là trung tuyến nên .
Mà 
b) Đặt , xét , ta có .
Tương tự, xét , ta có .
Suy ra hay .	(1)
Mặt khác, xét vuông tại , ta có 
hay .	(2)
Từ và suy ra .
Bài 6. Giải tam giác nhọn biết , và .
Lời giải
Kẻ đường cao . Xét vuông tại , ta có
. 
Tương tự, xét .
Mà .
Theo định lí Py-ta-go ta có suy ra .
Xét vuông tại ta có .
Do . 
Bài 7. Hình thang () có , , , . Tính diện tích hình thang đó. 
Lời giải
Vẽ , do giả thiết suy ra là hình chữ nhật. Do đó , .
Xét vuông tại , ta có 
Mà .
Gọi là diện tích hình thang khi đó 
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 8. Các cạnh của một tam giác vuông có độ dài 4cm; 6cm và 6cm. Hãy tính góc nhỏ nhất của tam giác đó.
Bài 9. Tam giác vuông tại có cm, . Hãy tính các độ dài
a) ;	b) ;	c) Phân giác .
Bài 10. Cho hình bên, biết: cm, cm, và . Hãy tính
a) Độ dài cạnh ;
b) ;
c) Khoảng cách từ điểm đến cạnh .
Bài 11. Trong một tam giác có cm, , , là chân đường vuông góc kẻ từ đến . Hãy tính , .
Bài 12. Tìm và trong các hình sau
Bài 13. Cho tam giác đều cạnh cm và . Hãy tính
a) ;	b) .
--- HẾT ---