Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Áp dụng liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Ví dụ 1. Cho đường tròn , dây cm.
a) Tính khoảng cách từ đến dây ;
b) Gọi là điểm thuộc dây sao cho cm. Kẻ dây đi qua và vuông góc với . Chứng minh .
Lời giải.
a) Kẻ cm.
Theo định lý Py-ta-go, ta có cm.
b) Kẻ . Tứ giác có nên là hình chữ nhật. Mặt khác, cm nên là hình vuông .
Ví dụ 2. Cho đường tròn có các dây và bằng nhau, các tia và cắt nhau tại điểm nằm bên ngoài đường tròn. Gọi , lần lượt là trung điểm của , .Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải.
a) và (vì , lần lượt là trung điểm của , ).
Vì hai dây và bằng nhau nên .
Từ đó dễ thấy (cạnh huyền-cạnh góc vuông) (đpcm).
b) Ta có . Từ kết quả câu a) suy ra nên .
Dạng 2: So sánh độ dài các đoạn thẳng
Dựa vào kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 3. Cho đường tròn và điểm nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây vuông góc với tại . Vẽ dây bất kì qua và không vuông góc với . Hãy so sánh độ dài dây và .
Lời giải.
Kẻ . Vì , lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ đến .
Ví dụ 4. Cho và là hai dây của đường tròn sao cho và cắt nhau tại điểm nằm trong đường tròn. Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Biết , chứng minh .
Lời giải.
Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung .
Vì . Theo định lý Py-ta-go, ta có
Mà nên .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho đường tròn . Hai dây , song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng cm, cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.
 Lời giải.
Trường hợp 1. nằm ngoài dải song song của hai dây cung và .
Ta có cm và cm.
Tam giác vuông tại nên 
Tam giác vuông tại nên
Do đó cm.
Trường hợp 2. nằm trong dãy song song của hai dây cung và .
Ta có cm.
Bài 2. Cho đường tròn và hai điểm , bất kì nằm trên . Trên cung nhỏ lấy các điểm , sao cho và , cắt nhau tại điểm nằm trong đường tròn. Chứng minh:
a) là phân giác của ;	b) .
 Lời giải.
a) Kẻ ; .
Vì .
Do đó (cạnh huyền-cạnh góc vuông).
 (cặp cạnh tương ứng).
Do nên 
Do đó (c-c-c).
Suy ra là tia phân giác của .
b) Do ; là đường trung trực của .
Bài 3. Cho đường tròn , điểm cách là cm.
a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua ;
b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua .
Lời giải.
a) Dây đi qua và vuông góc với là dây ngắn nhất. vuông tại cm. Vậy cm.
b) Dây dài nhất đi qua là đường kính cm.
Bài 4. Cho đường tròn , các dây cm, cm ( và điểm nằm trong ). Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến bằng cm.
a) Chứng minh cân tại ;	b) Tính bán kính của đường tròn.
Lời giải.
a) Kẻ cm.
Tam giác vuông tại nên
Kẻ cm. Hơn nữa,
 là đường cao và là đường trung tuyến của . cân tại .
b) .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn , dây cm. Vẽ dây song song với . Gọi , lần lượt là trung điểm của , .
a) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng;
b) Biết nằm giữa , và khoảng cách giữa hai dây , bằng cm. Tính độ dài dây .
 Lời giải.
a) Vì , lần lượt là trung điểm của , nên và . Mà nên ba điểm , , thẳng hàng.
b) Theo định lý Py-ta-go, ta được cm.
 cm.
Theo định lý Py-ta-go, ta có cm.
 cm.
Bài 6. Cho đường tròn , các dây và bằng nhau và cắt nhau tại điểm nằm bên trong đường tròn. Chứng minh:
a) là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây cung và ;
b) và .
Lời giải.
a) Kẻ , (dây và bằng nhau).
Do đó (ch-cgv) .
Vậy là tia phân giác của góc .
b) Ta có . Mà (chứng minh trên) nên .
Vì nên ta cũng suy ra .
Vậy điểm chia các đoạn thẳng , thành các đoạn thẳng đôi một bằng nhau.
Bài 7. Cho hai đường tròn và với . Hai dây , thuộc đường tròn sao cho . Đường thẳng cắt tại và , đường thẳng cắt tại và . Kẻ , . So sánh các độ dài:
a) và ;	b) và .
Lời giải.
a) Vì .
b) Vì .
Bài 8. Cho có nội tiếp đường tròn . Gọi , , theo thứ tự là khoảng cách từ đến , , . So sánh các độ dài , và .
Lời giải.
Vì .
--- HẾT ---