Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng bất kì. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng đó. Ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Cắt nhau
2
Tiếp xúc nhau
1
Không giao nhau
0
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
So sánh d và R rồi kết luận dựa vào phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Điền vào các chỗ trống () trong bảng sau ( là bán kính của đường tròn, là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
 cm
 cm
 cm
Tiếp xúc nhau
 cm
 cm
Lời giải
R
d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
 cm
 cm
Cắt nhau
 cm
 cm
Tiếp xúc nhau
 cm
 cm
Không giao nhau
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục tọa độ.
Lời giải.
Khoảng cách từ đến là nên không giao .
Khoảng cách từ đến là nên tiếp xúc với .
Ví dụ 3. Cho điểm cách đường thẳng là cm. Vẽ đường tròn tâm , bán kính cm. Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
Lời giải
Vì cm nên đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài
Nối tâm và tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Py-ta-go.
Ví dụ 4. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài sao cho . Kẻ tiếp tuyến với ( là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng theo .
Lời giải.
Xét tam giác vuông tại , theo định lý Py-ta-go ta có
Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm , đường kính . Từ kẻ tiếp tuyến . Trên lấy điểm sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng theo .
Lời giải.
Tam giác vuông tại nên theo định lý Py-ta-go, ta có
Vậy .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm . Xác định điều kiện của để đường tròn thỏa mãn:
a) Cắt trục ;	b) Cắt trục ;	c) Tiếp xúc với .
Lời giải.
a) cắt .
b) cắt .
c) tiếp xúc . 
Bài 2. Cho hình thang vuông (). Biết cm, cm và cm. Vẽ đường tròn tâm , đường kính . Chứng minh tiếp xúc với .
Lời giải.
Kẻ .
Ta có là đường trung bình của hình thang nên 
 tiếp xúc với .
Bài 3. Cho đường tròn có dây cm. Gọi là trung điểm của , tia cắt tại , tiếp tuyến của tại cắt lần lượt tại . Tính độ dài và .
Lời giải.
 là trung điểm (quan hệ giữa đường kính và dây cung).
 cm. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có
Vì nên theo định lý Ta-lét, ta có
Bài 4. Cho điểm cách đường thẳng là cm.
a) Chứng minh cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt;
b) Gọi hai giao điểm của với là . Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải.
a) nên cắt tại hai điểm phân biệt.
Kẻ . Tam giác vuông tại nên theo định lý Py-ta-go, ta có Do đó cm. 
Bài 5. Cho đường tròn tâm bán kính cm. Điểm nằm ngoài đường tròn và cm. Kẻ tiếp tuyến với trong đó là tiếp điểm. Tính chu vi tam giác .
Lời giải.
Tam giác vuông tại nên theo định lý Py-ta-to, ta có
Vậy chu vi tam giác là cm.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục tọa độ.
Lời giải.
Khoảng cách từ đến là nên không cắt .
Khoảng cách từ đến là nên cắt tại hai điểm phân biệt.
Bài 7. Cho điểm cách đường thẳng là cm. Vẽ đường tròn tâm , bán kính cm. Chứng minh đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Vì nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Bài 8. Cho đường tròn bán kính cm và điểm cách là cm. Kẻ tiếp tuyến với ( là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải.
Xét tam giác vuông tại , áp dụng định lý Py-ta-go ta có
Vậy cm.
Bài 9. Cho đường tròn tâm bán kính cm và điểm nằm trên đường tròn đó. Từ vẽ tiếp tuyến . Trên lấy điểm sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải.
Xéttam giác vuông tại , áp dụng định lý Py-ta-go ta có
Vậy cm.
--- HẾT ---