Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bài 5. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2: Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Để chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm C, ta có thể làm theo một trong hai cách
Cách 1: Chứng minh C nằm trên (O) và tại C.
Cách 2: Kẻ tại H và chứng minh .
Ví dụ 1. Cho tam giác có ba góc nhọn, kẻ đường cao , vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Do và tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Ví dụ 2. Cho tam giác có cm, cm, cm. Vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Do nên vuông tại (theo định lí Pi-ta-go đảo).
Suy ra mà nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Ví dụ 3. Cho tam giác , các đường phân giác trong , cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu của trên , vẽ đường tròn tâm , bán kính . Chứng minh , tiếp xúc với .
Lời giải
Kẻ tại , tại thì .
Suy ra , mà , lần lượt vuông góc với , nên , là tiếp tuyến của .
Ví dụ 4. Cho tam giác cân tại có các đường cao và cắt nhau tại . Chứng minh
a) Đường tròn tâm đường kính đi qua ;
b) là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
a) Do là đường cao của nên vuông tại .
Mà là trung điểm của nên kéo theo .
b) vuông tại có là trung điểm . 
Suy ra cân tại .
Do đó .
Dẫn tới .
Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn .
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài
Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài.
Ví dụ 5. Cho đường tròn đường kính . Vẽ dây sao cho . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh
a) là tiếp tuyến của ;	b) .
Lời giải
a) Do nên vuông tại 
Suy ra .
Xét có
 đều tại .
Suy ra .
Xét có vuông tại tại .
Suy ra là tiếp tuyến của .
b) Do nên .
Xét vuông tại có .
Suy ra .
Ví dụ 6. Cho đường tròn tâm có bán kính , dây vuông góc với tại trung điểm của .
a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại , cắt đường thẳng tại . Tính độ dài theo .
Lời giải
a) Do nên cân tại .
Mà là đường cao (do ), suy ra là đường trung trực của .
Tứ giác có
OA là đường trung trực của BC;
M là trung điểm của OA.
 Suy ra là hình thoi.
b) Ta có là trung điểm của suy ra .
Mà là tiếp tuyến của tại .
Do vuông tại có là đường cao nên
.
Mà , suy ra .
Kéo theo .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình vuông . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Chứng minh
a) là tiếp tuyến của đường tròn ;
b) là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
a) Do là bán kính của và nên là tiếp tuyến của đường tròn .
b) Ta có mà .
Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 2. Cho tam giác cân tại . Gọi là trung điểm của và là hình chiếu vuông góc của trên . Vẽ đường tròn . Chứng minh tiếp xúc với .
Lời giải
Kẻ tại .
Do vuông tại và vuông tại nên
 (chgn) mà tại .
Kéo theo tiếp xúc với tại .
Bài 3. Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn và đường tròn , chúng cắt nhau tại điểm ( khác ). Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Ta có (ccc) suy ra .
Kéo theo là tiếp tuyến của .
Bài 4. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Kẻ tiếp tuyến với ( là tiếp điểm). Qua kẻ đường thẳng vuông góc với , cắt tại . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Do cân tại và nên là đường trung trực của .
Suy ra (ccc).
 ( do là tiếp tuyến của ).
Kéo theo là tiếp tuyến của .
Bài 5. Cho đường tròn tâm , đường kính và là tiếp tuyến tại của . Trên lấy điểm sao cho , tia cắt tại .
a) Tính số đo các góc của tam giác ;
b) Tính độ dài theo ;
c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh là tiếp tuyến của .
Lời giải
a) Do nên đều.
Từ đó, ta tính được , , .
b) Xét vuông tại có .
c) Ta có vuông tại có là trung điểm .
Suy ra .
Kéo theo (ccc) .
Dẫn tới là tiếp tuyến của .
Bài 6. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Kẻ các tiếp tuyến , (, là các tiếp điểm) và đường kính của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh
a) ;	b) là tia phân giác của ;	c) là tiếp tuyến của .
Lời giải
a) Ta có (chcgv).
b) nên là tia phân giác của , mà 
Suy ra là tia phân giác của .
c) Từ phần b) ta chứng minh được (cgc).
, suy ra là tiếp tuyến của .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7. Cho tam giác vuông tại , vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Do và tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 8. Cho hình chữ nhật , vẽ đường tròn tâm , đường kính . Chứng minh , là các tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
Do và tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Tương tự, do và tại nên là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài 9. Cho tam giác vông tại , tia phân giác góc cắt tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Chứng minh tiếp xúc với đường tròn .
Lời giải
Kẻ tại , khi đó .
Suy ra mà vuông góc với nên là tiếp tuyến của .
Bài 10. Cho tam giác vuông tại , kẻ đường cao . Gọi là trung điểm của . Chứng minh
a) Đường tròn tâm đường kính đi qua ;
b) là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
a) Xét vuông tại có là trung điểm .
b) Xét vuông tại có là trung điểm 
.
Xét và có
Suy ra (ccc) 
Kéo theo dẫn tới là tiếp tuyến của .
Bài 11. Cho đường tròn có dây không là đường kính. Qua kẻ đường thẳng vuông góc với , cắt tiếp tuyến tại của ở điểm .
a) Chứng minh là tiếp tuyến của ;
b) Cho bán kính của bằng cm và dây cm. Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
a) Do nên cân tại .
Mà là đường cao (do ) là đường trung trực của .
Suy ra .
Xét và có
Suy ra (ccc) tại 
Kéo theo là tiếp tuyến của .
b) Gọi là giao điểm của và .
Khi đó, do là đường trung trực của nên là trung điểm của .
Suy ra cm.
Mà vuông tại nên , suy ra cm.
 vuông tại có là đường cao nên .
Do đó cm.
Bài 12. Cho đường tròn tâm có bán kính , vẽ dây sao cho . Gọi là điểm đối xứng với qua .
a) Chứng minh là tiếp tuyến của ;
b) Tính độ dài đoạn thẳng theo .
Lời giải
a) Do nên vuông tại .
Suy ra tại hay là tiếp tuyến của .
b) Áp dụng Định lí Pi-ta-go cho vuông tại , ta có 
.
--- HẾT ---