Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn - Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau.
Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.
Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
2. Tính chất đường nối tâm
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung ấy.
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh song song, vuông góc.
Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn và tiếp xúc nhau tại ( nằm giữa và ). Một đường thẳng đi qua cắt tại và cắt tại . Chứng minh .
Lời giải
Theo tính chất đường nối tâm thì , , thẳng hàng.
.
. 
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm và . Kẻ các đường kính , . Chứng minh:
a) .	b) , , thẳng hàng.	c) .
Lời giải
a) Ta có nội tiếp đường tròn đường kính 
.
b) Ta có nội tiếp đường tròn đường kính 
.
Do đó .
, , thẳng hàng.
c) Ta có 
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Vận dụng tính chất của đường nối tâm; các dấu hiệu chứng minh song song; định lí Py-ta-go; tính chất hình hình thang; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn ( cm) và ( cm) cắt nhau tại hai điểm . Biết cm, tính đoạn nối tâm .
Lời giải
Trường hợp 1: và nằm khác phía đối với .
Gọi . Theo tính chất đường nối tâm
 là đường trung trực của cm.
Khi đó ta có 
 cm.
 cm.
 cm. 
Trường hợp 2: và nằm cùng về một phía đối với . 
 cm.
Ví dụ 4. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Gọi là trung điểm của . Qua vẽ đường thẳng vuông góc với , cắt đường tròn và tại và (). Chứng minh .
Lời giải
Kẻ , .
Khi đó tứ giác là hình thang vuông có là trung điểm của và .
. 
Mà lần lượt là trung điểm của và (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Do đó .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hai đường tròn () và tiếp xúc với nhau tại điểm sao cho nằm giữa và . Gọi là một điểm bất kì nằm trên (), cắt tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có cân tại . Do đó 
Lại có cân tại . Do đó 
Từ và suy ra .
Mà và đồng vị nên . 
Bài 2. Cho hai đường tròn () và () cắt nhau tại và , trong đó thuộc đường tròn và . Kẻ đường kính của đường tròn .
a) Chứng minh , là các tiếp tuyến của .
b) Đường vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh .
c) Đường vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Lời giải
a) nội tiếp đường tròn tâm đường kính .
.
 là tiếp tuyến của ().
Tương tự: là tiếp tuyến của ().
b) Ta có .
Mà . Do đó . 
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
 cân tại .
c) Ta có .
Ta lại có .
Từ () và () suy ra .
 cân tại .
Do đó suy ra ba điểm , , cùng thuộc đường trung trực của nên , , thẳng hàng.
Bài 3. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm và . Gọi là trung điểm của , gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh:
a) .	b) là hình bình hành.	c) là hình thang cân.
Lời giải
a) Gọi . Theo tính chất đường nối tâm
 là đường trung trực của . Do đó và là trung điểm của .
 là đường trung bình của .
 mà .
b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
c) Ta có do là hình bình hành.
Mà .
Tứ giác có và nên là hình thang cân. 
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hai đường tròn và tiếp xúc nhau tại ( nằm giữa và ). Một đường thẳng đi qua cắt tại , cắt tại . Vẽ tiếp tuyến tại của , vẽ tiếp tuyến tại của . Chứng minh .
Lời giải
Theo tính chất đường nối tâm thì , , thẳng hàng.
.
. 
Ta lại có
 ( là tiếp tuyến của đường tròn (O));
 ( là tiếp tuyến của đường tròn (O’)).
nên ta suy ra . 
Bài 5. Cho hai đường tròn ( cm) và ( cm) cắt nhau tại hai điểm sao cho và nằm khác phía đối với . Biết cm. Tính độ dài .
Lời giải
Gọi . Theo tính chất đường nối tâm
 là đường trung trực của cm.
Khi đó ta có 
 cm.
 cm.
 cm. 
--- HẾT ---