Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bài 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa 1
Cho đường tròn (O) có là tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB. Khi đó, được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
2. Định lí 1
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc tạo nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau, các đẳng thức hoặc tam giác đồng dạng
Dùng hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và Hệ quả của góc nội tiếp.
Ví dụ 1. Cho đường tròn và dây cung . Hai tiếp tuyến của đường tròn tại cắt nhau tại . Tính .
Lời giải
Gọi là trung điểm , khi đó (đường kính đi qua trung điểm của dây cung).
Xét tam giác , ta có .
Do tam giác cân tại nên 
Suy ra và .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Tiếp tuyến tại của cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Tia cắt đường tròn tại . Chứng minh song song với tiếp tuyến tại của đường tròn .
Lời giải
 là tiếp tuyến tại của . là góc ngoài tại đỉnh của tam giác . .
.
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và . Tiếp tuyến tại của cắt đường tròn tại điểm thứ hai là và đối với đường tròn cắt đường tròn tại . Chứng minh .
Lời giải
Xét tam giác và tam giác có , 
 (g.g) .
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là tiếp tuyến của đường tròn
Sử dụng hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và Hệ quả của góc nội tiếp.
Ví dụ 4. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , tia phân giác của góc cắt ở và cắt đường tròn ở .
a) Chứng minh vuông góc với .
b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh của tam giác cắt ở . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
c) Gọi là giao điểm của và , là trung điểm của . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
a) là phân giác góc nên là điểm chính giữa cung . Do đó .
b) là phân giác của .
 là phân giác của .
Từ , suy ra .
Suy ra là đường kính, do đó thẳng hàng.
c) do tam giác cân tại .
 do tam giác cân tại .
Mà . Suy ra .
Mà 
 là tiếp tuyến của .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho nửa đường tròn đường kính . Trên tia đối của tia lấy một điểm . Vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh
a) Tia là tia phân giác của góc . 
b) Tam giác và tam giác đồng dạng.
Lời giải
a) .
 (cùng phụ ).
. Do đó, tia là tia phân giác của góc 
Theo câu trên ta có tam giác và tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc
Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính , dây và tiếp tuyến nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đưởng tròn. Tia phân giác của góc cắt dây tại , cắt nửa đường tròn tại , cắt tại .
a) Chứng minh và .
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh .
Lời giải
a) 
 là phân giác của góc .
Tam giác có là phân giác vừa là đường cao.
 cân tại .
 là đường trung tuyến của . 
b) .
Bài 3. Cho tam giác nội tiếp đường tròn , tia phân giác của góc cắt đường tròn ở . Tiếp tuyến kẻ từ với đường tròn cắt các tia và lần lượt tại và . Chứng minh
a) song song với .
b) Các cặp , và , đồng dạng.
c) Nếu thì .
Lời giải
a) .
b) Xét và ta có
 (g.g).
c) Xét và ta có
 (g.g).
.
Bài 4. Cho đường tròn tiếp xúc với cạch , của góc lần lượt tại và . Đường thẳng kẻ qua song song với cắt đường tròn tại , cắt đường tròn ở , cắt ở . Chứng minh
a) .	b) .
Lời giải
a) (g.g).
.	(1)
Ta có (g.g) 
.	(2)
Từ và , ta có .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho đường tròn và dây cung . Hai tiếp tuyến của đường tròn tại cắt nhau tại . Tính .
Lời giải
Gọi là trung điểm , khi đó (đường kính đi qua trung điểm của dây cung).
Tam giác đều nên và 
Suy ra 
và .
Bài 6. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính . Lấy điểm khác và trên nửa đường tròn. Gọi là giao điểm của và tiếp tuyến tại của nửa đường tròn. Chứng minh .
Lời giải
Tam giác cân tại nên .
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung). 
Vậy .
Bài 7. Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua kẻ tiếp tuyến và cát tuyến . Chứng minh .
Lời giải
Tam giác và tam giác đồng dạng theo trường hợp g-g. 
.
Bài 8. Cho nửa đường tròn đường kính và một điểm trên nửa đường tròn. Gọi là một điểm trên đường kính , qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt ở , cắt ở . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại cắt tại . Chứng minh
a) là trung điểm của .
b) Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Lời giải
a) cân tại .
. Ta lại có 
 cân tại 
Từ va ta có .
b) Đường tròn đường kính ngoại tiếp tam giác . 
Ta có .
 tại .
Vậy đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
--- HẾT ---