Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 6: Cung chứa góc

Bài 6. CUNG CHỨA GÓC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng và góc () cho trước thì quỹ tích các điểm thỏa mãn là hai cung chứa góc dựng trên đoạn .
Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua . Hai điểm và được coi là thuộc quỹ tích.
Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính .
2. Cách vẽ cung chứa góc 
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng .
Vẽ tia tạo với một góc .
Vẽ đường thẳng vuông góc với . Gọi là giao điểm của với .
Vẽ cung , tâm , bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia .
Cung được vẽ như trên là một cung chứa góc .
3. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần
Phần thuận. Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình .
Phần đảo. Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất .
Kết luận. Quỹ tích (tập hợp) các điểm có tính chất là hình .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc 
Bước 1: Tìm đoạn thẳng cố định trong hình vẽ.
Bước 2: Nối điểm phải tìm quỹ tích với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc không đổi.
Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng cố định.
Ví dụ 1. Cho tam giác có cố định, . Gọi là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Tìm quỹ tích điểm .
Lời giải
Ta có .
.
.
Do đó quỹ tích điểm là hai cung chứa góc dựng trên đoạn BC.
Ví dụ 2. Cho hai điểm , cố định. Từ vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm có bán kính không lớn hơn . Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Lời giải
Gọi , lần lượt là các tiếp điểm, khi đó .
Vậy quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính .
Dạng 2: Dựng cung chứa góc
Bước 1: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng .
Bước 2: Vẽ tia tạo với một góc .
Bước 3: Vẽ đường thẳng vuông góc với . Gọi là giao điểm của với .
Bước 4: Vẽ cung , tâm , bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia .
Cung được vẽ như trên là một cung chứa góc .
Ví dụ 3. Dựng cung chứa góc trên đoạn thẳng cm.
Lời giải
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng cm, dựng đường trung trực của .
Bước 2. Vẽ tia tạo với một góc .
Bước 3. Vẽ cắt tại .
Bước 4. Vẽ cung , tâm , bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia .
Cung và cung đối xứng với qua là cung cần vẽ.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác vuông tại , cạnh cố định. Gọi là giao điểm của các đường phân giác trong. Tìm quỹ tích của điểm .
Lời giải
Ta có .
.
.
Do đó quỹ tích điểm là hai cung chứa góc dựng trên đoạn BC.
Bài 2. Cho tam giác cân tại , cạnh cố định. Tìm quỹ tích trung điểm của .
Lời giải
Ta có .
Vậy quỹ tích điểm là đường tròn đường kính .
Bài 3. Dựng cung chứa góc trên đoạn thẳng cm.
Lời giải
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng cm, dựng đường trung trực của .
Bước 2. Vẽ tia tạo với một góc .
Bước 3. Vẽ cắt tại .
Bước 4. Vẽ cung , tâm , bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia .
Cung và cung đối xứng với qua là cung cần vẽ.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hình thoi có cạnh cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường chéo.
Lời giải
Ta có nên .
Vậy quỹ tích điểm là đường tròn đường kính .
Bài 5. Cho điểm cố định nằm trên đường tròn , điểm di chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải
Ta có .
Do đó quỹ tích điểm là đường tròn đường kính .
Bài 6. Dựng cung chứa góc trên đoạn thẳng cm.
Lời giải
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng cm, dựng đường trung trực của .
Bước 2. Vẽ tia tạo với một góc .
Bước 3. Vẽ cắt tại .
Bước 4. Vẽ cung , tâm , bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia .
Cung và cung đối xứng với qua là cung cần vẽ.
--- HẾT ---