Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn - Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bài 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Trong hình 1, tứ giác nội tiếp đường tròn và đường tròn gọi là ngoại tiếp tứ giác.
2. Định lí: Tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng số đo của hai góc đối bằng .
Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Tổng của hai góc đối bằng .
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh không kề với nó.
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại với góc bằng nhau.
Chú ý Trong các hình tứ giác đã học thì hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính số đo các góc và chứng minh tứ giác nội tiếp
Sử dụng định lý về điều kiện của tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm . Biết , và . Tính số đo các góc , và .
Lời giải
Ta có .
Do tam giác cân tại nên .
Do tứ giác nội tiếp nên .
Ví dụ 2. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , và cắt nhau tại , và cắt nhau tại . Cho biết . Tính số đo các góc của tứ giác.
Lời giải
Ta có , .
Suy ra .
Hay .
Mà tứ giác nội tiếp nên . Do đó .
Tương tự như trên ta suy ra .
Ví dụ 3. Trên đường tròn có một cung , là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây lấy hai điểm . Các đường thẳng cắt đường tròn theo thứ tự tại . Chứng minh rằng:
a) .	b) Tứ giác nội tiếp.
Lời giải
a) Ta có 
và do . Do đó .
Theo câu trên ta có mà nên . Suy ra tứ giác nội tiếp. 
Ví dụ 4. Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ và là một điểm thuộc cung nhỏ . , cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Ta có 
và do . Do đó , suy ra tứ giác nội tiếp.
Dạng 2: Khai thác tính chất của tứ giác nội tiếp
Sử dụng các tính chất về tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp hay các góc chắn một cung 
Ví dụ 5. Cho đường tròn tâm đường kính và điểm thuộc đường tròn đó ( khác ). Lấy điểm thuộc dây ( khác ). Tia cắt cung nhỏ tại điểm , tia cắt tại . Chứng minh
a) nội tiếp.	b) .	c) .
Lời giải
a) Ta có suy ra tứ giác nội tiếp.
Do tứ giác nội tiếp nên . Mà , do đó . 
Ta có và (cùng chắn cung ).
Suy ra, hai tam giác và đồng dạng (g-g), nên
.
Ví dụ 6. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại . Chứng minh
a) Các tứ giác và nội tiếp.
b) .	c) .
Lời giải
a) Ta có hay . Suy ra tứ giác nội tiếp.
Và có hai góc kề nhìn cạnh còn lại góc bằng nhau nên nội tiếp.
Xét hai tam giác vuông và có là góc chung, do đó chúng đồng dạng. Suy ra .
Vẽ tiếp tuyến với đường tròn khi đó ta có . Suy ra , mà hay .
Ví dụ 7. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại và cắt đường tròn lần lượt tại . Chứng minh rằng
a) Tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
c) và .
d) đối xứng nhau qua .
Lời giải
a) Ta có suy ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng nên nội tiếp.
Ta có suy ra tứ giác nội tiếp.
Do hai tam giác vuông và đồng dạng (g-g) nên .
Ta có .
Ta có nên tứ giác nội tiếp.Do đó (cùng chắn cung ) nên . Suy ra tam giác cân tại hay đối xứng nhau qua .
Ví dụ 8. Cho tam giác cân tại các đường cao cắt nhau tại . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng
a) Tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
c) .
d) là tiếp tuyến của đường tròn .
Lời giải
a) Ta có suy ra tứ giác có nên nội tiếp.
Ta có suy ra tứ giác nội tiếp.
Ta có tam giác vuông tại và là trung điểm suy ra .
Ta có . Do tứ giác nội tiếp suy ra . Mà . Suy ra hay là tiếp tuyến của đường tròn .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác nhọn các đường cao cắt nhau tại . Chứng minh rằng và là các tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Ta có suy ra hay tứ giác nội tiếp. 
Và có nên nội tiếp.
Bài 2. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Từ vẽ hai tiếp tuyến và cát tuyến với đường tròn (). Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn ( là trung điểm của ). Chứng minh
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) .
c) song song với .
Lời giải
a) Ta có là trung điểm của đoạn nên , là tiếp tuyến của nên . Do đó hay tứ giác nội tiếp.
Vì là các tiếp tuyến của nên hay .
Do tứ giác nội tiếp nên , mà theo câu trên lại có suy ra . Do đó song song với .
Bài 3. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Từ vẽ hai tiếp tuyến và cát tuyến với đường tròn. Gọi là trung điểm , kẻ . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
c) .
d) là hình thoi.
e) thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có là các tiếp tuyến của nên , . Suy ra hay nội tiếp.
Ta có các điểm cùng nhìn một góc vuông nên năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
Tam giác vuông tại và là đường cao nên .
Ta có vì cùng vuông góc với . Tương tự nên tứ giác là hình bình hành. Hơn nữa, nên là hình thoi.
Ta có do là hình thoi và nên thẳng hàng.
Bài 4. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Từ vẽ hai tiếp tuyến . Một đường thẳng đi qua cắt tại hai điểm (, không đi qua ). Chứng minh
a) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh . Tính độ dài khi cm, cm.
c) Gọi là trung điểm . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Chứng minh .
Lời giải
a) Ta có là các tiếp tuyến của nên , . Do đó hay tứ giác nội tiếp đường tròn.
Xét hai tam giác và có là góc chung, (do cùng chắn cung ). Do đó hai tam giác và đồng dạng nhau. Suy ra .
Do suy ra . Do đó 
Ta có các điểm cùng nhìn một góc nên năm điểm cùng nằm trên một đường tròn suy ra . Lại có hay suy ra .
--- HẾT ---