Tài liệu dạy học Hình học Lớp 9 - Chương 4: Hình trụ. Hình nón. Hình cầu - Bài 3: Hình cầu – diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Bài 3. HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU
VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Diện tích mặt cầu: hay .
Với là bán kính và d là đường kính của mặt cầu.
Thể tích hình cầu: .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu để giải bài toán.
Ví dụ 1. Hãy điền vào các ô trống trong bảng sau:
Bán kính mặt cầu
0,5mm
2cm
0,75dm
3m
50km
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu
Lời giải
Bán kính mặt cầu
0,5mm
2cm
0,75dm
3m
50km
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu
Ví dụ 2. Thể tích của một hình cầu là cm. Thì bán kính của hình cầu là bao nhiêu? (Lấy ).
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Lời giải
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu và biến đổi ta được 
 cm.
Ví dụ 3. Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ như hình vẽ (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng thể tích hình trụ. Nếu đường kính của hình cầu là thì thể tích của hình trụ là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có . Mà .
Dạng 2: Dạng toán tổng hợp
Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã được học kết hợp với các công thức và lý thuyết về hình cầu để giải bài tập.
Ví dụ 4. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ. Tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước như hình vẽ.
Lời giải
Áp dụng công thức tính thể tích cho hình trụ và thể tích hình cầu và kết hợp lại ta có: 
 m.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Một hình nón có bán kính đáy bằng cm và có diện tích xung quanh bằng diện tích của mặt cầu có bán kính cm. Tính chiều cao của hình nón.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón .
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu . 
Từ giả thuyết ta được cm.
Bài 2. Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó như hình vẽ. Tỉ số thể tích của hình cầu và hình trụ là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Nhận thấy và . Nên và 
.
Bài 3. Chiều cao của một hình trụ gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Áp dụng công thức tính thể tích cho hình trụ và thể tích hình cầu . 
Bài 4. Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính cm như hình vẽ. Tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.
b) Thể tích của hình cầu.
c) Diện tích mặt cầu.
Lời giải
a) Nhận thấy: cm, với cm cm.
b) Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu cm.
c) Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu cm.
Bài 5. Cho tam giác đều có cạnh cm, đường cao . Khi đó diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp một vòng quanh .
Lời giải
Nhận thấy: cm
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, đơn vị: mm):
Loại bóng
Gôn
Khúc côn cầu
Ten-nít
Bóng bàn
Bi-a
Đường kính
42,7
65
40
61
Độ dài đường tròn
230
Diện tích
Thể tích
Lời giải
Loại bóng
Gôn
Khúc côn cầu
Ten-nít
Bóng bàn
Bi-a
Đường kính
42,7
73,2
65
40
61
Độ dài đường tròn
134,15
230
204,2
125,66
191,64
Diện tích
1432
4210
3318
1256,64
2922,47
Thể tích
40764,51
205460
143790
33510,32
118846,77
Bài 7. Diện tích của một mặt cầu là m thì đường kính của mặt cầu là bao nhiêu? (Lấy ).
A. cm.	B. mét.	C. mét.	D. mét.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu và biến đổi ta được 
 mét.
(Đơn vị của diện tích mặt cầu là m).
Bài 8. Một khối gỗ dạng hình trụ đứng, bán kính đường tròn đáy là (cm), chiều cao là (cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình vẽ. Diện tích toàn bộ của khối gỗ là
A. cm.	B. cm.
C. cm.	D. cm.
Lời giải
Nhận thấy: Với và .
Câu 8. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính , và là hai tiếp tuyến với nửa mặt đường tròn tại và . Lấy trên điểm rồi vẽ tiếp tuyến cắt tại .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Tính tỉ số khi .
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn quay quanh sinh ra.
Lời giải
a) Ta có: 
- Góc (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 
 là tia phân giác của và là tia phân giác của góc .
Mà và là 2 góc kề bù 
 .
- Xét tứ giác có .
 và cùng chắn cung .
. 
 (g.g).
b) .
c) .
 .
d) Nửa hình tròn quay quanh là hình cầu đường kính .
--- HẾT ---