Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (Phần 2)

 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG 
 THỨC AM-GM (CAUCHY) 
 9
 CHỦ ĐỀ
A. Kiến thức cần nhớ
Cho a,b,c là cỏc số khụng õm. Khi đú theo bất đẳng thức AM-GM:
 a b
 ab ;
 2
 a b c
 3 abc ;.
 3
 n
Tổng quỏt: Trung bỡnh cộng của số khụng õm lớn hơn hoặc bằng trung bỡnh nhõn của 
chỳng.
 a a ... a
 1 2 n n a a ...a với a ,a ,...,a là cỏc số khụng õm.
 n 1 2 n 1 2 n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 .... an .
B. VÍ DỤ MINH HỌA
1) Kĩ thuật đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng qua trung bỡnh nhõn
Sử dụng bất đẳng thức AM –GM dạng: 
 a a ... a
 1 2 n n a a ...a với a ,a ,...,a là cỏc số khụng õm.
 n 1 2 n 1 2 n
Thớ dụ 1. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b b c c a 8abc
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta cú:
 a b b c c a 2 ab.2 bc.2 ac 8abc (đpcm)
Thớ dụ 2. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1 1 
 a) x y 4 b) x y z 9
 x y x y z 
 Hướng dẫn giải
a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 x y 2 xy 0 
 1 1 1 1 1 
1 1 1  x y 2 xy.2 x y 4 (đpcm)
 2 0 x y xy x y 
 x y xy 
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x = y.
b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
 x y z 3 xyz 0 
 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1  x y z 3 xyz.3 x y z 9
 3 0 x y z xyz x y z 
 x y z xyz 
 Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
 3 3 3 2 2 2
Thớ dụ 3. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c a b b c c a
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta cú:
 a3 a3 b3 33 a3.a3.b3 3a2b
 b3 b3 c3 33 b3.b3.c3 3b2c
 c3 c3 a3 33 c3.c3a3 3c2a
Cộng ba bất đẳng thức trờn theo vế ta được:
 3 a3 b3 c3 3 a2b b2c c2a a3 b3 c3 a2b b2c c2a (đpcm)
2) Kĩ thuật đỏnh giỏ từ trung bỡnh nhõn qua trung bỡnh cộng
Sử dụng bất đẳng thức AM –GM theo chiều: 
 a a ... a
 n a a ...a 1 2 n với a ,a ,...,a là cỏc số khụng õm.
 1 2 n n 1 2 n
Ta thường ỏp dụng khi gặp bài toỏn bất đẳng thức cú dạng:
 m m m
 A1 A2 .... An B
Ta cú hai hướng xử lý:
+ Đỏnh giỏ trực tiếp
+ Nhõn thờm hằng số mục đớch lược bỏ biến hoặc hằng số khụng thớch hợp.
Một số vớ dụ minh họa
Thớ dụ 1. Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món ab + bc + ca = 1. Chứng minh bất đẳng thức:
 1 a2 1 b2 1 c2 2 a b c 
 Hướng dẫn giải
 Ta cú ab + bc + ca = 1 nờn
 a b a c b c
 1 a2 ab bc ca a2 a b a c a . 
 2 2
BẤT ĐẲNG THỨC THCS Từ đú:
 2 2 2 b c c a a b 
 1 a 1 b 1 c a b c 
 2 2 2 
 2 a b c 
 1
 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c 
 3
Thớ dụ 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món điều kiện a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị lớn 
 ab bc ca
nhất của biểu thức: P = .
 c ab a bc b ca
 Hướng dẫn giải
Cú: a b c 1 c a b c .c ac bc c2
 c ab ac bc c2 ab a(c b) c(b c) = (c a)(c b)
 a b
 ab ab
 c a c b
 c ab (c a)(c b) 2
Tương tự: a bc a b a c , b ca b c b a 
 b c
 bc bc
 a b a c
 a bc (a b)(a c) 2
 c a
 ca ca
 b c b a
 b ca (b c)(b a) 2
 a b b c c a
 P c a c b a b a c b c b a =
 2
 a c c b b a
 3
 = a c c b b a = 
 2 2
 1
Dấu “=” xảy ra khi a b c 
 3
 3 1
Từ đú giỏ trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi a b c 
 2 3
Thớ dụ 3. Chứng minh với mọi a 1, b 1. Chứng minh rằng a b 1 b a 1 
 Hướng dẫn giải
Nhận xột: Vế phải khụng chứa hằng số do vậy sử dụng AM-GM để triệt tiờu cỏc số -1 
trong 2 căn thức do đú nhõn thờm vào mỗi căn với 1.
 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta cú:
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 b 1 1 ab
 a b 1 a b 1 .1 a. 
 2 2
 a 1 1 ab
 b a 1 b a 1 .1 b. 
 2 2
 Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trờn ta cú điều phải chứng minh.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2. 
3) Kĩ thuật tỏch nghịch đảo
 a b
Thớ dụ 1. Chứng minh rằng: 2 , a,b 0
 b a
 Hướng dẫn giải
 a b
Vỡ a,b 0 nờn 0, 0 
 b a
 a b a b
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú: 2 . 2 (đpcm)
 b a b a
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 1
Thớ dụ 2. Chứng minh rằng: a 3 , a 1
 a 1
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 1 1 1
 a a 1 1 2 a 1 1 2 1 3 (đpcm)
 a 1 a 1 a 1
 1
Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2
 a 1
 1
Thớ dụ 3. Chứng minh rằng: a 3 , a b 0
 b(a b)
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 1 1 1
 a b a b 33 b. a b . 3
 b a b b a b b a b 
Đẳng thức xảy ra khi b a b b a b a 2,b 1
 4
Thớ dụ 4. Chứng minh rằng: a 3 , a b 0 
 a b b 1 2
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 4 b 1 b 1 1
 a a b 1
 a b b 1 2 2 2 b 1 b 1 
 a b 
 2 2
BẤT ĐẲNG THỨC THCS b 1 b 1 1
 4. a b . . . 1 3
 4 2 2 b 1 b 1 
 a b 
 2 2
 a 2 2
Thớ dụ 5. Chứng minh rằng: 2 , a R
 a 2 1
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 a 2 2 a 2 1 1 1 1
 a 2 1 2 a 2 1 2 (đpcm)
 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1
 Đẳng thức xảy ra khi a = 0.
 3a2 1
Thớ dụ 5. Chứng minh rằng: , a 0
 1 9a4 2
 Hướng dẫn giải
 Với a 0 , ỏp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 3a2 1 1 1 1
 4 4 (đpcm)
 1 9a 1 9a 1 2 1 2 2
 2 3a 2 .3a
 3a2 3a2 3a 3a2
 2 2
 2 a 
Thớ dụ 6. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1 2 , a 1
 a 1 
 Hướng dẫn giải
 2 2
 2 a 2a 2 
A a 1 
 a 1 
 2 2
 2 a 1 1 
 a 1 
 a 1 
 2
 2 1 
 a 1 a 1 
 a 1 
 1 Cauchy 1
 2 a 1 2 2 2 2 a 1 2 2 2 2 2
 a 1 2 a 1 2
 1 2 4 8
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 2 hay a 
 a 1 2 2
 Vậy GTNN của A 2 2 2
4) Kĩ thuật ghộp đối xứng
 Trong nhiều bài toỏn mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh 
trực tiếp trở nờn khú khăn thỡ ta cú thể sử dụng kỹ thuật ghộp đối xứng để bài toỏn trở nờn 
đơn giản hơn.
ở cỏc bài toỏn bất đẳng thức, thụng thường chỳng ta hay gặp hai dạng sau:
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
Dạng 1: Chứng minh X Y Z A B C
ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X Y 2A. Sau đú, tương tự húa đẻ chỉ ra Y Z 2B 
và Z X 2C (nhờ tớnh đối xứng của bài toỏn). Sau đú cộng ba bất đẳng thức trờn lại theo 
vế rồi rỳt gọn cho 2, ta cú ngay điều phải chứng minh.
Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X ,Y, Z 0
í tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2 . Sau đú, tương tự húa để chỉ ra YZ B2 và 
ZX C 2 (nhờ tớnh chất đối xứng của bài toỏn). Sau đú nhõn ba bất đẳng thức trờn lại theo 
vế rồi lấy căn bậc hai, ta cú:
XYZ A2 B2C 2 ABC ABC .
 Trong kỹ thuật ghộp đối xứng ta cần nắm một số thao tỏc sau:
 a b b c c a
 a b c 
 Phộp cộng: 2 2 2
 2 a b c a b b c c a 
 abc ab bc ca, a,b,c 0 
 Phộp nhõn:
 2 2 2
 a b c ab bc ca 
 bc ca ab
Thớ dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c
 a b c
 Hướng dẫn giải
 Ta cú:
 bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc 
 a b c 2 a b 2 b c 2 c a 
 bc ca ca ab ab bc
 . . . a b c
 a b b c c a
 a 2 b 2 c 2 b c a
Thớ dụ 2. Cho ba số thực abc 0 . Chứng minh rằng: 
 b 2 c 2 a 2 a b c
 Hướng dẫn giải
 Ta cú:
 a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 b c a 2 b c 2 c a 2 a b 
 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b c a b c a
 . . 
 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a b c a b c
Thớ dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1. Chứng minh rằng:
 b c c a a b
 a b c 3
 a b c
 Hướng dẫn giải
BẤT ĐẲNG THỨC THCS b c c a a b 2 bc 2 ca 2 ab bc ca ab 
 2 
 a b c a b c a b c 
 bc ca ca ab ab bc 
 a b b c c a 
 bc ca ca ab ab bc
 2 2 2
 a b b c c a
 2 a b c a b c a b c 
 a b c 33 a b c a b c 3
 b c c a a b
 Vậy a b c 3
 a b c
 a b c
Thớ dụ 4. Cho ABC, AB c, BC a,CA b, p . Chứng minh rằng:
 2
 1
 p a p b p c abc
 8
 Hướng dẫn giải
 Ta cú:
 p a p b p c p a p b p b p c p c p a 
 p a p b p b p c p c p a 
 . .
 2 2 2
 2 p a b 2 p b c 2 p c a 1
 . . abc
 2 2 2 8
 a b c
Thớ dụ 5. Cho ABC, AB c, BC a,CA b, p . Chứng minh rằng:
 2
 1 1 1 1 1 1 
 2 
 p a p b p c a b c 
 Hướng dẫn giải
 Ta cú:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 p a p b p c 2 p a p b 2 p b p c 2 p c p a 
 1 1 1
 p a p b p b p c p c p a 
 1 1 1
 p a p b p b p c p c p a 
 2 2 2
 1 1 1 
 2 
 a b c 
5) Kĩ thuật ghộp cặp nghịch đảo
 Trong kỹ thuật ghộp cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
 Với n N và x1 , x2 ,..., xn 0 thỡ
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 1 1 1 
 2
 x1 x2 ... xn .. n
 x1 x2 xn 
 Chứng minh bất đẳng thức trờn : 
 Ta cú với x1 , x2 ,..., xn 0 thỡ
 1 1 1 1 2
 n n
 x1 x2 ... xn .. n x1 x2 ...xn .n n
 x1 x2 xn x1 x2 ...xn
 Với n 3 và x1 , x2 , x3 0 thỡ
 1 1 1 
 x1 x2 x3 9
 x1 x2 x3 
 b c c a a b
Thớ dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 6
 a b c
 Hướng dẫn giải
 Ta cú:
 b c c a a b b c c a a b 
 1 1 1 3
 a b c a b c 
 a b c b c a c a b
 3
 a b c
 1 1 1 
 a b c 3 9 3 6
 a b c 
 a b c 3
Thớ dụ 2. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
 b c c a a b 2
 (Bất đẳng thức Nesbit)
 Hướng dẫn giải
Ta cú: 
 a b c a b c 
 1 1 1 3
 b c c a a b b c c a a b 
 a b c b c a c a b
 3
 b c c a a b
 1 1 1 
 a b c 3
 b c c a a b 
 1 1 1 1 
  b c c a a b  3
 2 b c c a a b 
 9 3
 3 
 2 2
 c 2 a 2 b 2 a b c
Thớ dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
 a b b c c a 2
 Hướng dẫn giải
BẤT ĐẲNG THỨC THCS c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 
 c a b a b c 
 a b b c c a a b b c c a 
 c a b 
 c 1 a 1 b 1 a b c 
 a b b c c a 
 a b c b c a c a b 
 c a b a b c 
 a b b c c a 
 c a b 
 a b c a b c 
 a b b c c a 
 c a b 
 a b c 1 
 a b b c c a 
 Theo bất đẳng thức Nesbit đó chứng minh ở bài 2 thỡ:
 a b c 3
 b c c a a b 2
 c 2 a 2 b 2 3 a b c
 Do đú a b c 1 (đpcm)
 a b b c c a 2 2
Thớ dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 1. Chứng minh bất đẳng thức 
 1 1 1
sau: 9
 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab
 Hướng dẫn giải
 Do a b c 1 ta cú:
 1 1 1 2 1 1 1 
 a b c 
a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 
 1 1 1 
 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac 
 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 
 1 1 1 
  a 2 2bc b 2 2ac c 2 2ab  9
 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 
6) Kỹ thuật đổi biến số
 Cú những bài toỏn về mặt biểu thức toỏn học tương đối cồng kềnh, khú nhận biết 
được phương hướng giải. Bằng cỏch đổi biến số, ta cú thể đưa bài toỏn về dạng đơn giản 
và dễ nhận biết hơn.
Thớ dụ 1. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng:
 b c a c a b a b c abc (1)
 Hướng dẫn giải
 y z
 a 
 2
 b c a x 
 z x
Đặt: c a b y b 
 2
 a b c z 
 x y
 c 
 2
B￿T Đ￿NG TH￿C THCS BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 Khi đú bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
 x y y z z x
 x.y.z . .
 2 2 2
Trong tam giỏc, tổng độ dài của hai cạnh luụn lớn hơn độ dài cạnh cũn lại nờn: x, y, z 0
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta cú:
 x y y z z x
 . . xy. yz zx xyz 
 2 2 2
Hay b c a c a b a b c abc (đpcm)
Thớ dụ 2. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng: 
 a b c
 3 1 
 b c a c a b a b c
 Hướng dẫn giải
 y z
 a 
 2
 b c a x 0 
 z x
 Đặt: c a b y 0 b 
 2
 a b c z 0 
 x y
 c 
 2
 y z z x x y
Khi đú vế trỏi của bất đẳng thức (1) trở thành: 
 2x 2y 2z
 y z z x x y 1 y x 1 z x 1 z y 
Ta cú: 
 2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z 
 2 y x 2 z x 2 z y
 . . . 3
 2 x y 2 x z 2 y z
 a b c
Hay 3 (đpcm)
 b c a c a b a b c
Thớ dụ 3. Cho ABC, AB c, BC a,CA b. Chứng minh rằng:
 a 2 b 2 c 2
 a b c (1)
 b c a c a b a b c
 Hướng dẫn giải
 y z
 a 
 2
 b c a x 0 
 z x
Đặt: c a b y 0 b 
 2
 a b c z 0 
 x y
 c 
 2
Khi đú bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
BẤT ĐẲNG THỨC THCS