Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS môn Toán - Chuyên đề 1: Bất đẳng thức (Phần 3)

 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG 
 THỨC BUNYAKOVSKY 
 CHỦ ĐỀ 10
A. KiÕn thøc cÇn nhí
 1) Bất đẳng thức Bunyakovsky .
 Với hai bộ số thực bất kì a1 ,a2 ,...,an và b1 ,b2 ,...,bn ta luôn có:
 2 2 2 2 2 2 2
 a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn 
 a1 a2 an
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ... (quy ước bi 0 thì ai 0 )
 b1 b2 bn
 Chứng minh: Theo bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối thì:
 a1b1 a2b2 ... anbn a1 b1 a2 b2 ... an bn
 2 2
 a1b1 a2b2 ... anbn a1 b1 a2 b2 ... an bn 
 Do đó ta chỉ cần chứng minh: 
 2 2 2 2 2 2 2
 a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn 
 2 2 2 2 2 2
 a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn .
 2 2 2
 Nếu a1 a2 ... an 0 a2 a2 ... an 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng, nên 
 2 2 2 2 2 2
 ta chỉ cần xét a1 a2 ... an 0 . Tương tự, ta cũng chỉ cần xét b1 b2 ... bn 0 . Khi 
 đó bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau:
 2 a b 2 a b
 1 1 2 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn
 2 a b
 ... n n 2.
 2 2 2 2 2 2
 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn
 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), ta được:
 2 a b a2 b2
 1 1 1 1 ,
 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2
 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n
 2 a b a2 b2
 2 2 2 2 ,
 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2
 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n
 .........................................................................................................................
 2 a b a2 b2
 n n n n .
 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2
 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n
BẤT ĐẲNG THỨC THCS Cộng theo vế , ta thu được kết quả trên.
 a1 a2 an
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ... (quy ước bi 0 thì ai 0 )
 b1 b2 bn
 Trong chương trình toán cấp 2, chúng ta chỉ quan tâm tới hai trường hợp cơ bản là 
 n = 2 và n = 3.
 2
 Với n = 2 ta có: Nếu a, b, x, y là các số thực, thì a2 b2 x2 y2 ax by .
 a b
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 x y
 Nếu n = 3 ta có: Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì 
 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 .
 a b c
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 x y z
 2) Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: 
 Cho a1 ,a2 ,...,an và b1 ,b2 ,...,bn hai dãy số thực với bi 0,i . Khi đó
 2
 a2 a2 a2 a a ... a 
 1 2 ... n 1 2 n .
 b1 b2 bn b1 b2 ... bn
 a a a
 Đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... n . 
 b1 b2 bn
 Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số 
 a a a 
 1 , 2 ,..., n và b , b ,..., b ta được:
 1 2 n 
 b1 b2 bn 
 2
 2 2 2 
 a1 a2 an a1 a2 an 2
 ... b1 b2 ... bn . b1 . b2 ... . bn a1 a2 ... an .
 b b b 
 1 2 n b1 b2 bn 
 2
 a2 a2 a2 a a ... a 
 1 2 ... n 1 2 n .
 b1 b2 bn b1 b2 ... bn
 a1 a2 an
CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI
 b1 b2 bn a1 a2 an
 Đẳng thức xảy ra khi. ... ... .
 b1 b2 bn b1 b2 bn
 Trong chương trình toán cấp 2, chúng ta chỉ quan tâm tới hai trường hợp cơ bản là 
 n = 2 và n = 3.
 2
 a2 b2 a b 
 Với n = 2 ta có: Nếu a, b, x, y là các số thực, thì .
 x y x y
 a b
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 x y
 Nếu n = 3 ta có: Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì 
 TỦ SÁCH CẤP 2| 118 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2
 a2 b2 c2 a b c 
 .
 x y z x y z
 a b c
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 x y z
 Trong chương trình toán THCS khi áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta 
 phải chứng minh trước.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
1. Kỹ thuật tách ghép bộ số
Thí dụ 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b c 1 . 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: 9
 a b c
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky :
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 a b c a. b. c. 9
 a b c a b c a b c 
 1 1 1
 Vậy 9
 a b c
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakoysky dạng phân thức: 
 2
 1 1 1 12 12 12 1 1 1 9
 9.
 a b c a b c a b c 1
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
Thí dụ 2. Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng :
 a b b c c a
 6
 a b c a b c a b c
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 2
 2 2 2 a b b c c a a b b c c a 
 6 1 1 1 
 a b c a b c a b c a b c a b c a b c 
 a b b c c a
 6
 a b c a b c a b c
Thí dụ 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab bc ca 4 . Chứng minh rằng: 
 16
 a 4 b 4 c 4 
 3
BẤT ĐẲNG THỨC THCS Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
 2
 12 12 12 a 4 b 4 c 4 1.a 2 1.b 2 1.c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 
 ab bc ca ab bc ca 16
 16
 a 4 b 4 c 4 (đpcm)
 3
 a b
 Thí dụ 4. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng: a b
 b a
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
 2
 a b a b 2 a b
 b a .4 b .4 a a b a b
 4 4 
 b a b a b a
 Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được:
 2 2 2
 a b a b a b 
 a b
 b a b a a b
 Đẳng thức xảy ra khi a = b.
 Thí dụ 5. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 
 a2 b2 c2 a b c
 b c c a a b 2
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky với hai bộ số: 
 a b c 
 , , và b c, c a, a b ta được:
 b c c a a b 
 2 2 2
 a b c 2 2 2
 b c c a a b 
 b c c a a b 
 2
CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a b c 
 . b c . c a . a b 
 b c c a a b 
 2 2 2
 a b c 2
 2 a b c a b c 
 b c c a a b 
 a2 b2 c2 a b c
 .
 b c c a a b 2
 a b c
 b c c a a b a b c
 Đẳng thức xảy ra khi a b c.
 b c c a a b b c a b a b
 Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:
 TỦ SÁCH CẤP 2| 120 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2
 a2 b2 c2 a b c a b c
 .
 b c c a a b 2 a b c 2
 Đẳng thức xảy ra khi a b c.
Thí dụ 6. Cho các số thực dương a, b thỏa a 2 b 2 1 . Tìm GTLN của 
 A a 1 a b 1 b
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 A a 1 a b 1 b a 2 b 2 1 a 1 b a b 2
 12 12 a 2 b 2 2 2 2
 a 2 b 2 1
 a b 2
 Dấu “=” xảy ra a b 
 a 1 b 1 2
 1 1
 a b
 Vậy GTLN của A là 2 2
Thí dụ 7. Cho số thực a, b thỏa 36a 2 16b 2 9 . Tìm GTLN và GTNN của 
 A 2a b 5
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 2 2 2
 2 2 1 1 1 1 2
 36a 16b 6a 4b. 2a b 
 3 4 3 4 
 25
 2a b 2 
 16 
 5 5
 2a b 
 4 4
 15 25
 2a b 5 
 4 4
 Ta có: 
 2 2
 36a 9b 9 2
 a 
 25 6a 4b 5
 GTNN của A là khi 
 4 1 1 9
 b 
 3 4 20
 5
 2a b 
 4
BẤT ĐẲNG THỨC THCS 
 2 2
 36a 9b 9 2
 a 
 25 6a 4b 5
 GTLN của A là khi 
 4 1 1 9
 b 
 3 4 20
 5
 2a b 
 4
 Thí dụ 8. Cho a,b,c 0 và a b c 1. Chứng minh rằng:
 1 1 1
 9.
 a2 2bc b2 2ca c2 2ab
 (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002)
 Hướng dẫn giải
 2
 Quan sát ta thấy rằng: a2 2bc b2 2ca c2 2ab a b c .
 Mà theo giả thiết a b c 1. nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân 
 thức:
 2
 1 1 1 1 1 1 9 9
 9.
 a2 2bc b2 2ca c2 2ab a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c 2 1
 Chứng minh hoàn tất.
 1
 Đẳng thức xảy ra khi a b c .
 3
 Thí dụ 9. Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng:
 1 2009
 670.
 a2 b2 c2 ab bc ca
 (Trích đề vào lớp 10 Hải Phòng năm 2009 - 2010)
 Hướng dẫn giải
 Nhận thấy vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta dự đoán dấu bằng của bất đẳng 
 thức xảy ra khi a b c 1.
 2 2 2 1 1
CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Do a b c nên a b c ab bc ca .
 a2 b2 c2 ab bc ca
 Mặt khác để tận dụng được giả thiết a b c 3 ta nghĩ đến hằng đẳng thức: 
 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca .
 Từ đây ta đi đến lời giải như sau:
 a b c 2
 Ta có: ab bc ca 3.
 3
 1 2009 1 1 1 2007
 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca
 TỦ SÁCH CẤP 2| 122 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 2
 1 1 1 2007 27 27
 669 669 670
 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 a b c 2 27
Đẳng thức xảy ra khi a b c 1.
Thí dụ 10. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:
 a b c 1
 .
 ab a 1 2 bc b 1 2 ca c 1 2 a b c
 (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002)
 Hướng dẫn giải
 Một đẳng thức quen thuộc ta biết là khi abc 1 thì: 
 a b c
 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
 b ab ab c abc 1
Thật vậy: ; 
 bc b 1 abc ab a ab a 1 ca c 1 a2bc abc ab a 1 ab
 a b c a ab 1
Do đó: 1
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a 1 ab a 1 a 1 ab
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được:
 a b c
 ab a 1 2 bc b 1 2 ca c 1 2
 2 2 2
 a b c 
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
 a b c
 2
 a b c 
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1
 .
 a b c a b c
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c.
Thí dụ 11. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1
 .
 b c a c a b a b c a b c
 (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002)
 Hướng dẫn giải
Ta quan sát và nhận xét: b c a c a b 2c,
 c a b a b c 2a,
 a b c b c a 2b.
Do vậy ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:
BẤT ĐẲNG THỨC THCS 2
 1 1 1 1 4 2
 ,
 b c a c a b b c a c a b 2c c
 2
 1 1 1 1 4 2
 .
 c a b a b c c a b a b c 2a a
 2
 1 1 1 1 4 2
 .
 a b c b c a a b c b c a 2b b
 Cộng theo vế rồi chia cho 2, ta thu được điều phải chứng minh. 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.
 Thí dụ 12. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1
 .
 a 3b b 3c c 3a 2a b c 2b c a 2c a b
 Hướng dẫn giải
 Ta tìm sự liên hệ giữa các mẫu thức, khi đó ta nghĩ đến việc tìm x, y, z thỏa mãn:
 x a 3b y b 3c z c 3a 2a b c
 Từ đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức như bài toán trên.
 Hằng đẳng thức trên tương đương với:
 x 3z 2 a 3x y 1 b 3y z 1 c 0
 x 3z 2
 2 1 4
 Đồng nhất hệ số ta được: 3x y 1 x , y , z .
 7 7 7
 3y z 1
 Như vậy ta có sự liên hệ: 2 a 3b b 3c 4 c 3a 7 2a b c .
 Do đó: 
 2
 7 72 2 1 4 
 . 
 2a b c 7 2a b c 2 a 3b b 3c 4 c 3a 
 22 12 42 2 1 4
 2 a 3b b 3c 4 c 3a a 3b b 3c c 3a
CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Đến đây bạn đọc tự chứng minh tiếp.
 Thí dụ 13. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
 441
 A 4 x2 y2 z2 
 x 2x 4z
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có:
 441 4 441
 A 4 x2 y2 z2 1 22 42 x2 y2 z2 
 x 2y 4z 21 x 2y 4z
 TỦ SÁCH CẤP 2| 124 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
 4 2 441 4 2 441 441
 x 2y 4z x 2y 4z 
 21 x 2y 4z 21 2 x 2y 4z 2 x 2y 4z 
 4 2 441 441
 3 x 2y 4z . .
 21 2 x 2y 4z 2 x 2y 4z 
 63
 x y z
 1 2 4 1
 Dấu “=” xảy ra khi: x , y 1,z 2.
 4 2 441
 x 2y 4z 2
 21 2 x 2y 4z 
Thí dụ 14. Cho a,b,c 0,1 . Chứng minh rằng: abc 1 a 1 b 1 c 1
 Hướng dẫn giải
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 2
 abc 1 a 1 b 1 c a 1 a bc 1 b 1 c  bc 1 b 1 c 
 abc 1 a 1 b 1 c bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c 
 Mà
 2
 bc 1 b 1 c b 1 b c 1 c  1
 bc 1 b 1 c 1
 2
 Vậy ta có: abc 1 a 1 b 1 c 1 hay abc 1 a 1 b 1 c 1
Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức x y x y x,y 0 
 Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:
 2
 x y x y 2 xy x y x,y 0 
 x y x y
Thí dụ 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
 a b c 9
 b c 2 c a 2 a b 2 4 a b c 
 Hướng dẫn giải
 Ta có:
 a b c 
 a b c 2 2 2 
 b c c a a b 
 2 2 2 
 2 2 2 a b c 
 a b c 
 b c c a a c 
 2
 a b c 
 b c c a a b 
BẤT ĐẲNG THỨC THCS a b c 3
 Mà ta có: (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước)
 b c c a a b 2
 2
 a b c 9
 b c c a a b 4
 a b c 9
 a b c 
 b c 2 c a 2 a b 2 4
 a b c 9
 đpcm 
 b c 2 c a 2 a b 2 4 a b c 
 ab 3 2 3
 Thí dụ 16. Cho a;b 0 và thỏa mãn a2 b2 9 . Chứng minh: .
 a b 3 2
 Hướng dẫn giải
 2
 Ta có: a2 b2 9 2ab a b 9 2ab a b 3 a b 3 
 2ab ab a b 3
 a b 3 .
 a b 3 a b 3 2 2
 Mà theo bất đẳng thức Bunyakovsky thì: a b 2. a2 b2 3 2
 ab 3 2 3
 Nên 
 a b 3 2
 a;b 0
 2 2 3
 Đẳng thức xảy ra khi: a b 9 a b .
 2
 a b
 Thí dụ 17. Cho x; y 0 và thỏa mãn x2 y2 x y . Chứng minh: x 3y 2 5
 Hướng dẫn giải
 2 2
 2 2 1 1 1
 Giả thiết x y x y x y 
 2 2 2
 1 1 
 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số 1;3 và x ; y ta có: 
 2 2 
 2 2 2
 1 1 1 1 
 1. 1 3. y 10 x y 5
 2 2 2 2 
CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI
 x 3y 2 2 5 x 3y 2 5 x 3y 2 5
 1 5
 x 
 2 10
 Đẳng thức xảy ra khi 
 1 3 5
 y 
 2 10
 2
 y 9 
  x; y 0 1 x 1 1 256.
 Thí dụ 18. Cho Chứng minh rằng: 
 x y 
 Hướng dẫn giải
 TỦ SÁCH CẤP 2| 126